福建省泉州市晋江市2021-2022学年八年级下学期期末跟踪检测数学试题(word版含答案)

这是一份福建省泉州市晋江市2021-2022学年八年级下学期期末跟踪检测数学试题(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省泉州市晋江市2021-2022学年八年级下学期期末跟踪检测数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）（）﹣1的计算结果为（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．﹣
2．（4分）据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米＝0.000000001米，则580纳米用科学记数法表示为（　　）
A．58×10﹣6米 B．0.58×10﹣8米
C．5.8×10﹣8米 D．5.8×10﹣7米
3．（4分）点Q（3，4）与点Q'（3，﹣4）的对称轴是（　　）
A．直线y＝x B．x轴 C．y轴 D．原点
4．（4分）下列四边形中，不是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
5．（4分）对于直线y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的减小而增大
C．直线y＝﹣2x+1经过第二、三、四象限
D．直线y＝﹣2x+1向下平移1个单位后经过原点
6．（4分）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（　　）
A．＜ B．＞ C．s2＞s12 D．s2＜s12
7．（4分）要说明“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，可作为反例的图形是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）若点A（x1，y1）与B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2．则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0
9．（4分）对于式子的描述，正确的是（　　）
A．该代数式的值必大于0 B．该代数式的值必小于0
C．该代数式的值可能为0 D．该代数式的值不能为0
10．（4分）已知过点（1，2）的直线y＝mx+n（m≠0）不经过第四象限，设t＝m+3n，则t的取值范围为（　　）
A．2＜t＜6 B．2≤t＜6 C．2＜t≤6 D．2≤t≤6
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）当a＝　 　时，分式的值为0．
12．（4分）计算：＝　 　．
13．（4分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝10，BD＝24，则AB＝　 　．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，以点D为圆心，以DA的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，若∠ADE＝30°，则∠AEB＝　 　．

15．（4分）已知直线y＝（k2+1）x与双曲线y＝相交于A（x1，y1）与B（x2，y2）两点，则3x1y2﹣5x2y1＝　 　．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，F是边CD上的点，线段BF的中垂线EG分别交AD、BF于点E、G，EG＝GF，连接EC、EF．现给出以下四个结论：
①DF＝AE；
②∠DEF＝30°；
③ED+DF＝BC；
④∠CBF+∠GEC＝45°；
其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程：．
18．（8分）先化简，再求值：（﹣a﹣1）÷，其中a＝﹣．
19．（8分）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB∥x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积．

20．（8分）八年级学生去距离学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．

21．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）尺规作图：在AD的右侧作等边三角形ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，且点F在边AC上，CF＝BD，连接BF，EF，求证：∠FBD＝∠FED．

22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，在边BC上取一点E，使得BE＝8，剪下△ABE．并将它沿着AD方向平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE'D．
（1）求证：四边形AEE'D是菱形；
（2）求四边形AEE'D的两条对角线的长．

23．（10分）某校初二年级为了了解本年级学生体育模拟考试（包含体育与健康基本知识、身体素质与运动技能）情况，随机抽取了男、女各60名考生的体育考试成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
数据分为A、B、C、D四个等级分别是：
A：34≤x≤40；B：28≤x＜34；C：24≤x＜28；D：0≤x＜24
60名男生成绩的条形统计图及60名女生成绩的扇形统计图如图1和图2所示，

男生成绩在B等级前10名考生的分数为：
33.5、33.5、33.5、33、33、33、32、31.5、31、31．
性别
平均数
中位数
众数
男生
32
a
37
女生
32
33
37.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求a与b的值，在这次模拟考试中，若从平均数和中位数的角度看，你觉得男生与女生成绩哪个更好一点？试说明理由．
（3）若该年级有1000名学生，请估计该年级所有参加体育模拟考试的考生中，成绩为A等级的考生人数．

24．（13分）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象经过点Q（1，2），过点A（2，3）且长为2个单位长度的线段AB平行于x轴，点B在第一象限．
（1）求a与b的关系式；
（2）当直线y1＝ax+b（a≠0）与线段AB有公共点时，求a的最大值p与最小值q的差；
（3）对于一次函数y2＝mx+3m﹣1（m≠0），无论x取何值，始终有y1＞y2，求a与m的数量关系及m的取值范围．

25．（13分）阅读理解
在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
请运用上述知识解答下列问题．
问题解决
如图1，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接BE交对角线AC于点G，连接DG，点F在AC的延长线上，EG＝ED，∠EFG+∠ABE＝45°．
（1）求证：EF垂直平分GD；
（2）如图2，在线段AD的延长线上取一点P，作∠BPQ＝60°，交射线EF于点Q，试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．



福建省泉州市晋江市2021-2022学年八年级下学期期末跟踪检测数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）（）﹣1的计算结果为（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．﹣
【分析】根据负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）可得答案．
【解答】解：原式＝21＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数为正整数指数的倒数．
2．（4分）据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米＝0.000000001米，则580纳米用科学记数法表示为（　　）
A．58×10﹣6米 B．0.58×10﹣8米
C．5.8×10﹣8米 D．5.8×10﹣7米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：580纳米＝580×0.000000001米
＝580×10﹣9米
＝5.8×10﹣7米．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）点Q（3，4）与点Q'（3，﹣4）的对称轴是（　　）
A．直线y＝x B．x轴 C．y轴 D．原点
【分析】利用已知两点横纵坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：∵点Q（3，4）与点Q'（3，﹣4），
∴P，Q关于x轴对称．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同与纵坐标互为相反数．
4．（4分）下列四边形中，不是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（4分）对于直线y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的减小而增大
C．直线y＝﹣2x+1经过第二、三、四象限
D．直线y＝﹣2x+1向下平移1个单位后经过原点
【分析】根据一次函数的性质以及平移的规律即可判断．
【解答】解：在直线y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，b＝1＞0，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故A、B正确，不合题意；C不正确，符合题意；
直线y＝﹣2x+1向下平移1个单位后得到y＝﹣2x，
∴当x＝0时，y＝0，
∴直线y＝﹣2x+1向下平移1个单位后经过原点，故D正确，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
6．（4分）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（　　）
A．＜ B．＞ C．s2＞s12 D．s2＜s12
【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：∵超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
∴货架上原有鸡蛋的质量的方差s2＞该顾客选购的鸡蛋的质量方差s12，而平均数无法比较．
故选：C．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．（4分）要说明“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，可作为反例的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】举例说明命题是假命题，所举的例子是反例，举的例子应满足命题的条件，不满足命题的结论．
【解答】解：选项A，是一个菱形，既满足条件，又满足结论，不符合题意；
选项B，长对角线是短对角线的垂直平分线，四边形的两组邻边相等，不是菱形，满足题设，不满足结论，所以符合题意；
选项C，是一个正方形，既满足条件，又满足结论，不符合题意；
选项D，是一个长方形，既不满足条件，又不满足结论，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8．（4分）若点A（x1，y1）与B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2．则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A在第二象限，B在第四象限，
∴y1＞0＞y2；
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y＝图象和性质是解题的关键，即当k＞0时图象在第一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时图象在第二四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大．
9．（4分）对于式子的描述，正确的是（　　）
A．该代数式的值必大于0 B．该代数式的值必小于0
C．该代数式的值可能为0 D．该代数式的值不能为0
【分析】先进行通分化简，根据已知可得a≠0，b≠0，c≠0，进一步分析代数式的值即可．
【解答】解：由题意可知，a≠0，b≠0，c≠0，

＝
＝，
∵a≠0，b≠0，c≠0，
∴a2+b2+c2＞0，abc≠0，
∴≠0，
∴该代数式的值不能为0．
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，代数式求值题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简．
10．（4分）已知过点（1，2）的直线y＝mx+n（m≠0）不经过第四象限，设t＝m+3n，则t的取值范围为（　　）
A．2＜t＜6 B．2≤t＜6 C．2＜t≤6 D．2≤t≤6
【分析】根据一次函数图象与系数的关系可得m＞0，n≥0，将点（1，2）代入y＝mx+n，得到m+n＝2，即m＝2﹣n，由m＞0，n≥0得出不等式组解不等式组求出n的范围，再根据不等式的性质即可求出t的取值范围．
【解答】解：∵过点（1，2）的直线y＝mx+n（m≠0）不经过第四象限，
∴m＞0，n≥0，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴，
解得：0≤n＜2，
所以t＝m+3n＝2﹣n+3n＝2+2n，
∴2≤2n+2＜6，
即t的取值范围为：2≤t＜6．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，以及不等式的性质．掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b≥0时函数的图象不经过第四象限是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）当a＝　1　时，分式的值为0．
【分析】根据分式值为零的条件得出a﹣1＝0且a+2≠0，解之可得答案．
【解答】解：根据题意知a﹣1＝0且a+2≠0，
解得a＝1，
即a＝1时，分式的值为0，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12．（4分）计算：＝　﹣1　．
【分析】直接根据分式的加法运算法则计算即可得到答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查的是分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
13．（4分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝10，BD＝24，则AB＝　13　．
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理求出AB．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝5，OB＝BD＝12，
在Rt△AOD中，AB＝＝13．
故答案为：13．

【点评】此题考查的是菱形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，以点D为圆心，以DA的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，若∠ADE＝30°，则∠AEB＝　75°　．

【分析】由题意得DE＝DA，则∠DEA＝∠DAE＝75°，再由平行四边形的性质得AD∥BC，然后由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：由题意得：DE＝DA，
∴∠DEA＝∠DAE＝（180°﹣∠ADE）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（4分）已知直线y＝（k2+1）x与双曲线y＝相交于A（x1，y1）与B（x2，y2）两点，则3x1y2﹣5x2y1＝　6　．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标并结合函数图象上点的坐标特征来解答即可．
【解答】解：根据题意，x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，并且x1y1＝x2y2＝3，
∴x1y2＝﹣x1y1，x2y1＝﹣x1y1，
∴3x2y1﹣5x1y2＝﹣3x1y1+5x1y1＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性，重点是两点关于原点成中心对称．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，F是边CD上的点，线段BF的中垂线EG分别交AD、BF于点E、G，EG＝GF，连接EC、EF．现给出以下四个结论：
①DF＝AE；
②∠DEF＝30°；
③ED+DF＝BC；
④∠CBF+∠GEC＝45°；
其中正确的是 　①③④　．（写出所有正确结论的序号）

【分析】①连接BE，因为EG是线段BF的中垂线且EG＝GF，根据等腰三角形的判定与性质、矩形的性质可得∠ABE＝∠DEF，然后由全等三角形的判定与性质可判断；
②根据F是CD上的动点，可判断；
③根据线段的和差关系可判断；
④根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得∠BCE＝∠EFG，记BF与CE交点为H，然后由角的和差关系即可判断．
【解答】解：连接BE，因为EG是线段BF的中垂线且EG＝GF，

∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF＝90°，BE＝EF，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
在△ABE和△DEF中，
，
∴△ABE≌△DEF（AAS），
∴DF＝AE，故①正确；
∵F是CD上的动点，
∠DEF不一定为30°，故②错误；
∵AE＝DF，
∴BC＝AD＝AE+ED＝DF+ED，
∴ED+DF＝BC，故③正确；
∵EG＝GF，EG⊥BF，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
∵△ABE≌△DEF，
∴AB＝DE，
∵AB＝CD，
∴CD＝DE，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE＝45°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝45°，
∴∠BCE＝∠EFG，
记BF与CE交点为H，
∵∠BHC＝∠EHF，
∴∠CBF＝∠CEF，
∴∠CBF+∠GEC＝∠CEF+∠GEC＝∠GEF＝45°，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点评】此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程：．
【分析】将原式化为整式后进行计算，得出答案后记得检验．
【解答】解：去分母得：（x+2）+x（x﹣1）＝（x﹣1）（x+2），
化简得：x﹣4＝0，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
所以x＝4．
【点评】本题考查了解分式方程，关键在于求出答案后记得检验．
18．（8分）先化简，再求值：（﹣a﹣1）÷，其中a＝﹣．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分化简后将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣时，
原式＝
＝
＝﹣3．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将所求式子化简．
19．（8分）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB∥x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积．

【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAP＝，S△OBP＝＝2，
∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP＝+2＝，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型．
20．（8分）八年级学生去距离学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．

【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用20min，据此列分式方程求解．
【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，
由题意得：﹣＝，
解得：x＝15，
经检验：x＝15是原方程的解，且符合题意，
答：骑车学生的速度为15km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
21．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）尺规作图：在AD的右侧作等边三角形ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，且点F在边AC上，CF＝BD，连接BF，EF，求证：∠FBD＝∠FED．

【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明四边形BDEF是平行四边形即可．
【解答】（1）解：如图，△ADE即为所求．


（2）证明：连接CE．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝60°，
∵CF＝BD，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE＝BD，∠CFE＝∠ACB＝60°，
∴EF∥DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴∠FBD＝∠FED，
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，在边BC上取一点E，使得BE＝8，剪下△ABE．并将它沿着AD方向平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE'D．
（1）求证：四边形AEE'D是菱形；
（2）求四边形AEE'D的两条对角线的长．

【分析】（1）根据平移的性质得到AE∥DF，AE＝DF，则由此判定四边形AEFD是平行四边形；然后由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论；
（2）根据勾股定理，可得答案．
【解答】（1）证明：由平移的性质得：AE∥DF，AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠DCE＝90°，
∴AE＝＝＝10＝AD，
∴四边形AEFD是菱形；

（2）解：连接DE、AF，如图所示：
在直角△ABF中，BF＝BE+EF＝8+10＝18，
由勾股定理得到：AF＝＝＝6，
在直角△DCE中，CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
由勾股定理得到：DE＝＝＝2．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、图形的剪拼以及平移的性质、勾股定理．熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理得出AE是解决问题的关键．
23．（10分）某校初二年级为了了解本年级学生体育模拟考试（包含体育与健康基本知识、身体素质与运动技能）情况，随机抽取了男、女各60名考生的体育考试成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
数据分为A、B、C、D四个等级分别是：
A：34≤x≤40；B：28≤x＜34；C：24≤x＜28；D：0≤x＜24
60名男生成绩的条形统计图及60名女生成绩的扇形统计图如图1和图2所示，

男生成绩在B等级前10名考生的分数为：
33.5、33.5、33.5、33、33、33、32、31.5、31、31．
性别
平均数
中位数
众数
男生
32
a
37
女生
32
33
37.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求a与b的值，在这次模拟考试中，若从平均数和中位数的角度看，你觉得男生与女生成绩哪个更好一点？试说明理由．
（3）若该年级有1000名学生，请估计该年级所有参加体育模拟考试的考生中，成绩为A等级的考生人数．

【分析】（1）用总数60分别减去其它三个等级的人数即可得出B等级人数，进而补全条形统计图；
（2）计算出男生B类的人数，进而计算出男生体考成绩从大到小排列后处在第30、31位两个数的平均数，即为男生的成绩的中位数，确定a的值；根据扇形统计图计算出女生B类所占的百分比，可得b的值；
（3）男生60人A等有24人，女生60人A等有24人，因此A等占总人数的（24+24）÷（60+60）＝40%，估计总体中，有40%的人为A等，800×40%即可求解．
【解答】解：（1）男生B等级人数为：60﹣24﹣25﹣5＝16（人），
补全条形统计图如下：

（2）男生成绩在B组的前10名考生的分数从大到小为：31、31、31.5、32、33、33、33、33.5、33.5、33.5．
男生成绩在A组的人数和为24，男生成绩处在第30、31位的两个数的平均数为（33+33）÷2＝33，
因此a＝33；
1﹣40%﹣20%﹣10%＝30%，故b＝30，
女生的成绩较好，理由：女生的众数都比男生好；
（3）1000×＝400（人），
答：估计该年级所有参加体育模拟考试的考生中，成绩为A等级的考生人数为400人．
【点评】本题考查中位数的意义和求法，条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法，掌握各个统计量的意义是解决问题的前提，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
24．（13分）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象经过点Q（1，2），过点A（2，3）且长为2个单位长度的线段AB平行于x轴，点B在第一象限．
（1）求a与b的关系式；
（2）当直线y1＝ax+b（a≠0）与线段AB有公共点时，求a的最大值p与最小值q的差；
（3）对于一次函数y2＝mx+3m﹣1（m≠0），无论x取何值，始终有y1＞y2，求a与m的数量关系及m的取值范围．

【分析】（1）将点Q（1，2）代入y1＝ax+b，即可求解；
（2）当直线经过B点时，此时a的最小值q＝，当直线经过A点时，此时a的最大值p＝1，则p﹣q＝；
（3）先求出直线y2经过定点（﹣3，﹣1），再由题意可知y1∥y2，且y1在y2的上方，则a＝m，当y1＝ax+2﹣a经过点（﹣3，﹣1）时，a＝，此时两直线相交，则a＜时，y1＞y2．
【解答】解：（1）将点Q（1，2）代入y1＝ax+b，
∴a+b＝2；
（2）由题意可得B（4，3），
∵a+b＝2，
∴y＝ax+2﹣a，
当直线经过B点时，4a+2﹣a＝3，
∴a＝，
∴a的最小值q＝，
当直线经过A点时，2a+2﹣a＝3，
∴a＝1，
∴a的最大值p＝1，
∴p﹣q＝；
（3）∵y2＝mx+3m﹣1＝m（x+3）﹣1，
∴直线经过定点（﹣3，﹣1），
∵无论x取何值，始终有y1＞y2，
∴y1∥y2，且y1在y2的上方，
∴a＝m，
当y1＝ax+2﹣a经过点（﹣3，﹣1）时，
﹣1＝﹣3a+2﹣a，
∴a＝，
此时两直线相交，
∴a＜时，y1＞y2，
即m＜．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键．
25．（13分）阅读理解
在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
请运用上述知识解答下列问题．
问题解决
如图1，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接BE交对角线AC于点G，连接DG，点F在AC的延长线上，EG＝ED，∠EFG+∠ABE＝45°．
（1）求证：EF垂直平分GD；
（2）如图2，在线段AD的延长线上取一点P，作∠BPQ＝60°，交射线EF于点Q，试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．


【分析】（1）由“SAS”可证△ABG≌△ADG，可得∠ABG＝∠ADG，由角的数量关系可得∠EDG＝∠DHE，由余角的性质可得∠EOD＝90°，由等腰三角形的可得结论；
（2）在EQ上截取EH＝EP，连接HP，由图1可求∠AEB＝∠BEH＝∠DEH＝60°，由直角三角形的性质可得BE＝2AE，BA＝AE，由“ASA”可证△EPB≌△HPQ，可得BE＝HQ，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，设DC与EF交于点H，EF与DG交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°＝∠ACD，
在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴∠ABG＝∠ADG，
∵∠EFG+∠ABE＝45°，∠ACD＝∠EFG+∠CHF＝45°，
∴∠ABE＝∠CHF＝∠DHE，
∴∠EDG＝∠DHE，
∵∠DHE+∠DEH＝90°，
∴∠EDG+∠DEH＝90°，
∴∠EOD＝90°，即EF⊥DG，
又∵DE＝EG，
∴EF垂直平分DG；
（2）解：是定值，理由如下：
如图1，∵∠ABE＝∠DHE，
∴∠AEB＝∠DEH，
∵EG＝ED，EF⊥GD，
∴∠DEH＝∠GEF，
∵∠AEB+∠BEH+∠DEH＝180°，
∴∠AEB＝∠BEH＝∠DEH＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∵∠BAE＝90°，
∴BE＝2AE，BA＝AE，
如图2，在EQ上截取EH＝EP，连接HP，

∵EH＝EP，∠PEF＝60°，
∴△EHP是等边三角形，
∴EP＝HP＝EH，∠EHP＝∠EPH＝60°，
∴∠PHQ＝120°，
∵∠BEH＝∠DEH＝60°，
∴∠BEP＝∠PHQ＝120°，
∵∠∠BPQ＝60°＝∠EPH，
∴∠EPB＝∠HPQ，
∴△EPB≌△HPQ（ASA），
∴BE＝HQ，
∴＝＝＝＝＝．
∴＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．