2022年中考数学真题分类汇编：23锐角三角函数解析版

这是一份2022年中考数学真题分类汇编：23锐角三角函数解析版，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学真题分类汇编：23 锐角三角函数
一、单选题
1．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 α ，则高BC是（　　）
A．12sinα 米 B．12cosα 米 C．12sinα 米 D．12cosα 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= BCAB ，
∴BC= sinα ⋅ AB=12 sinα（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.
2．如图，在 △ABC 中， CA=CB=4，∠BAC=α ，将 △ABC 绕点A逆时针旋转 2α ，得到 △AB′C′ ，连接 B′C 并延长交AB于点D，当 B′D⊥AB 时， BB′ 的长是（　　）
A．233π B．433π C．839π D．1039π
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵CA=CB，B'D⊥AB ，
∴AD=DB=12AB ，
∵△AB′C′ 是 △ABC 绕点A逆时针旋转 2α 得到，
∴AB=AB' ， AD=12AB' ，
在 RtΔAB'D 中， cos∠B'AD=ADAB'=12 ，
∴∠B'AD=60° ，
∵∠CAB=α，∠B'AB=2α ，
∴∠CAB=12∠B'AB=12×60°=30° ，
∵AC=BC=4 ，
∴AD=AC·cos30°=4×32=23 ，
∴AB=2AD=43 ，
∴BB′ 的长= 60πAB180=433π .
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD=DB=12AB，根据旋转的性质可得AB=AB′，AD=12AB′，求出sin∠B′AD的值，可得∠B′AD=60°，则∠CAB=30°，根据三角函数的概念可得AD，然后求出AB，接下来结合弧长公式计算即可.
3．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）
A．52 B．3 C．22 D．103
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分AD，BD=BC=6，
∴AF=12AD，∠AFE=90°，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴AB=AC2+BC2=10，
∴AD=4，AF=2，cos∠A=ACAB=45，
∴AE=AFcos∠A=52.
故答案为：A.
【分析】由题意得：MN垂直平分AD，BD=BC=6，AF=12AD，∠AFE=90°，利用勾股定理可得AB，然后根据三角函数的概念进行计算.
4．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
A．35 B．255 C．25 D．55
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图.
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC.
在△DCE中，有EC=22+12=5，DC=22+42=25，DE=32+42=5，
∴EC2+DC2=5+20=25=DE2，
∴ΔDCE是直角三角形，且∠DCE=90°，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝DCDE=255.
故答案为：B.
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，根据平行线的性质可得∠APC＝∠EDC.，利用勾股定理可得EC、DC、DE，结合勾股定理逆定理知△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，然后结合三角函数的概念进行计算.
5．tan45°的值等于（　　）
A．2 B．1 C．22 D．33
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，tan∠A=BCAC=1，
∵∠A=45°，
∴tan45°=1，
故答案为： B．

【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
6．如图，等腰△ABC的面积为23，AB=AC，BC=2.作AE∥BC且AE=12BC.点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点.那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（　　）
A．3 B．3 C．23 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，
∵AB=AC，
∴BD=DC=12BC=1，
∵AE=12BC，
∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，
∴四边形AECD是矩形，
∴S△ABC=12BC×AD=12×2×AD=23，
∴AD=23，则CE=AD=23，
当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，
当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN.
∵BC=2，CE=23，
由勾股定理得BE=4，
cos∠EBC=BCBE=BEBF，即24=4BF，
∴BF=8，
∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，
∴MN=12CF=3，
∴点M的运动路径长为4.
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，根据等腰三角形的性质可得BD=DC=12BC=1，由已知条件知AE=12BC，则AE=DC=1，推出四边形AECD是矩形，利用△ABC的面积公式可得AD，当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，当点P与B重合时，点M的运动轨迹是线段MN，利用勾股定理求出BE，根据三角函数的概念可得BF，易得NM为△ECF的中位线，据此求解.
7．如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长为（　　）
A．32 B．35 C．37 D．62
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵BD=2CD=6，
∴CD=3，
∵直角△ADC中，tan∠C=2，
∴AD=CD⋅tan∠C=3×2=6，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=AD2+BD2=62+62=62.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.
8．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（　　）
A．(4+3sinα)m B．(4+3tanα)m C．(4+3sinα)m D．(4+3tanα)m
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，

∵配电房是轴对称图形，BC=6m，
∴BH=HC=3m，
在Rt△AHB中，∠ABH=α，
∴AH=3tanα m，
∵HQ=4m，
∴AQ=AH+HQ=（3tanα+4）m，
即房顶A离地面EF的高度（3tanα+4）m.
故答案为：B.
【分析】如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，由轴对称图形性质，可得BH=HC=3m，再由锐角三角函数正切关系，求得AH=3tanα m，从而得AQ=（3tanα+4）m，即可求得房顶A离地面EF的高度.
9．家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（　　）
A．12π 米2 B．14π 米2 C．18π 米2 D．116π 米2
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BC，

∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC=1，
∵AB=AC，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴AB=BCsin∠ACB=1×sin45°，
∴AB=AC=22，
∴扇形部件的面积=90π×222360= 18π 米2 .
故答案为：C.

【分析】连接BC，根据圆周角定理求出BC是⊙O的直径，得出等腰直角三角形，再解Rt△BAC，求出AB=AC22，再计算扇形的面积即可.
10．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ 14 ，则FG的长是（　　）
A．3 B．83 C．2153 D．52
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，

由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
∵cosB= 14 ，
∴BH=1=12BE，
∴H是BE的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，
∴∠FAG=∠AFG，
∴AG=FG，
又∵PF∥AD， AP∥DF，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cos∠B=cos∠AGP=12PGAG=2-x2x=14，
解得x=83.
故答案为：B.

【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，cosB= 14 ，推出H是BE的中点，根据条件求出AG=FG， EG=GP，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出∠AGP=∠B，根据cos∠AGP=14建立方程，即可求出FG的长.
11．P 为⊙ O 外一点， PT 与⊙ O 相切于点 T ， OP=10 ， ∠OPT=30∘ ，则 PT 的长为（　　）
A．53 B．5 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OT，

∵PT是圆O的切线，
∴∠PTO=90°，
在Rt△PTO中
PT=POcos∠OPT=10×cos30°=10×32=53.
故答案为：A.
【分析】连接OT，利用圆的切线垂直于过切点的半径，可得到∠PTO=90°，再利用解直角三角形求出PT的长.
12．如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，CD=a，则建筑物AB的高度为（　　）
A．atanα−tanβ B．atanβ−tanα
C．atanαtanβtanα−tanβ D．atanαtanβtanβ−tanα
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】设AB=x，由题意知，∠ACB=α，∠ADB=β，
∴BD=xtanβ，BC=xtanα，
∵CD=BC-BD，
∴xtanα−xtanβ=a，
∴x=atanαtanβtanβ−tanα，即AB=atanαtanβtanβ−tanα，
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形分别表示出BD，BC的长；再根据CD=BC-BD=a，建立关于x的方程，解方程表示出x，即可得到建筑物AB的高.
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD.若tan∠A=12，tan∠ABD=13，则CD的长为（　　）
A．25 B．3 C．5 D．2
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，
∴tan∠A=BCAC=12
∴AC=2BC=25，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=(25)2+(5)2=5
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵tan∠A=12，tan∠ABD=13，
∴DEAE=12，DEBE=13，
∴DE=12AE，DE=13BE，
∴12AE=13BE
∴BE=32AE
∵AE+BE=5，
∴AE+32AE=5
∴AE=2，
∴DE=1，
在RtΔADE中，AD2=AE2+DE2
∴AD=AE2+DE2=22+12=5
∵AD+CD=AC=25，
∴CD=AC−AD=25−5=5，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的概念可得AC，由勾股定理求出AB，过点D作DE⊥AB于点E，根据三角函数的概念可得DE=12AE，DE=13BE，则BE=32AE，结合AE+BE=5可得AE，然后求出DE，利用勾股定理求出AD，由AD+CD=AC可得AC，然后根据CD=AC-AD进行计算.
14．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为(　　)
A．cosθ(1+cosθ) B．cosθ(1+sinθ)
C．sinθ(1+sinθ) D．sinθ(1+cosθ)
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，

∵A′D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，
∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ
∴S△ABC=12BC·AD=12×2sinθ1+cosθ=sinθ1+cosθ.
故答案为：D.
【分析】当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，利用垂径定理和圆周角定理可证得BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，利用解直角三角形表示出BD，OD的长，由此可得到AD，BC的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的最大面积.
15．下列计算结果，正确的是（　　）
A．(a2)3=a5 B．8=32 C．38=2 D．cos30°=12
【答案】C
【知识点】立方根及开立方；特殊角的三角函数值；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、(a2)3=a2×3=a6，该选项不符合题意；
B、8=2×2×2=22，该选项不符合题意；
C、38=32×2×2=2，该选项符合题意；
D、cos30°=32，该选项不符合题意；
故答案为：C．

【分析】利用幂的乘方、二次根式的性质、立方根的性质和特殊角的三角函数值逐项判断即可。
二、填空题
16．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=200米，则点P到赛道AB的距离约为　 　米（结果保留整数，参考数据：3≈1.732）.
【答案】87
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为P，
设PC=x米，
在Rt△APC中，∠APC=30°，
∴AC=PC⋅tan30°=33x（米），
在Rt△CBP中，∠CPB=60°，
∴BC=CP⋅tan60°=3x（米），
∵AB=200米，
∴AC+BC=200，
∴33x+3x=200，
∴x=503≈87，
∴PC=87米，
∴点P到赛道AB的距离约为87米.
故答案为：87.
【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC=x米，根据三角函数的概念可得AC=33x米，BC=3x米，由AB=AC+BC=200米可求出x，据此解答.
17．如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是　 　.（填写序号，参考数值：3≈1.7，2≈1.4）
【答案】①③④
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+43≈12+4×1.7=18.8故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=43≈6.8米，故②不正确；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④.
故答案为①③④.

【分析】过点D的水平线交AB于E，易证四边形EACD是矩形，利用矩形的性质可求出DE的长，利用解直角三角形求出AB的长，可对①作出判断；利用CD=AE=DEtan30°，代入计算求出CD的长，可对②作出判断；利用AB的长，可对③作出判断；先求出点B到砍伐点的距离，再根据第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
18．如图， C 岛在A岛的北偏东 50° 方向， C 岛在 B 岛的北偏西 35° 方向，则 ∠ACB 的大小是　 　.
【答案】85°
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解： ∵C岛在A岛的北偏东50°方向，
∴∠DAC=50° ，
∵C岛在B岛的北偏西35°方向，
∴∠CBE=35° ，
过C作CF∥DA交AB于F ，如图所示：
∴DA∥CF∥EB ，
∴∠FCA=∠DAC=50°，∠FCB=∠CBE=35° ，
∴∠ACB=∠FCA+∠FCB=85°.
故答案为：85°.
【分析】易得∠DAC=50°，∠CBE=35°，过C作CF∥DA交AB于F，根据平行线的性质得∠FCA=∠DAC=50°，∠FCB=∠CBE=35°，然后根据∠ACB=∠FCA+∠FCB进行计算.
19．菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为　 　.
【答案】2
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，
∴Rt△BEC中，EC=22BC=2
∴PQ+QC的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，根据菱形的性质以及三角函数的概念可得EC，据此解答.
20．如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为　 　m.（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）.
【答案】16
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，设AE=x，
根据题意可得：AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AED=∠BED=∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∵从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度CD为6，
∴BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴∠EAD=90°−∠ADE=45°，
∴∠EAD=∠ADE，
∴DE=AE=x，
∴BC=DE=x，
∴AB=AE+BE=x+6，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC
即tan58°=x+6x≈1.60，
∴tan∠ACB=tan58°=ABBC=x+6x≈1.60
解得x≈10，
经检验x≈10是原分式方程的解且符合题意，
∴AB=x+6≈16(m).
故答案为：16.
【分析】过D点作DE⊥AB于E，设AE=x，易得四边形BCDE是矩形，由题意可得BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，则DE=AE=x，BC=DE=x，AB=AE+BE=x+6，根据三角函数的概念可得x，进而可得AB.
三、解答题
21．如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC=30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC=48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：3≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
【答案】解：根据题意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，
则BC=AC-AB=30-10=20，
在Rt△ADC中，DC=AC×tan∠A=30×tan30∘=103，
在Rt△BEC中，EC=BC×tan∠EBC=20×tan48∘，
∴DE=EC−DC=20×tan48∘−103，
即DE=20×tan48∘−103≈20×1.111−10×1.732=4.9
故广告牌DE的高度为4.9m．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】先利用锐角三角函数求出DC=AC×tan∠A=30×tan30∘=103，EC=BC×tan∠EBC=20×tan48∘，再利用线段的和差可得DE=EC−DC=20×tan48∘−103，最后计算即可。
22．小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125．
【答案】解：过点M作MN⊥AB，
根据题意可得：tan∠MAN=tan22°=MNAN≈25，
∴AN≈52MN
tan∠MBN=tan67°=MNBN≈125，
∴BN≈512MN
∵AN+BN=AB=50，
∴52MN+512MN=50，
解得：MN=127≈1.7m，
∴河流的宽度约为1.7米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】利用锐角三角函数可得 AN≈52MN ， BN≈512MN，再结合AN+BN=AB=50，可得52MN+512MN=50，最后求出MN的长即可。
23．宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地.某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE.（结果精确到1米.参考数据：3≈1.7，2≈1.4）
【答案】解：由已知可得，
tan∠BAF=BFAF=724，AB=25米，∠DBE=60°，∠DAC=45°，∠C=90°，
设BF=7a米，AF=24a米，
∴(7a)2+(24a)2=252，
解得a=1，
∴AF=24米，BF=7米，
∵∠DAC=45°，∠C=90°，
∴∠DAC=∠ADC=45°，
∴AC=DC，
设DE=x米，则DC=(x+7)米，BE=CF=x+7−24=(x−17)米，
∵tan∠DBE=DEBE=xx−17，
∴tan60°=xx−17，
解得x≈40，
答：东楼的高度DE约为40米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由已知可得：AB=15米，∠DBE=60°，∠DAC=45°，∠C=90°，根据∠BAF的正切三角函数的概念可设BF=7a，AF=24a，结合勾股定理可得a的值，进而可得AF、BF的值，易得AD=DC，设DE=x米，则DC=(x+7)米，BE=CF=(x-17)米，根据∠DBE的正切三角函数的概念求出x，据此解答.
24．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，3≈1.73）．
【答案】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°．
又∵∠GAC=90°，
∴四边形ACHG是矩形．
∴GH=AC．
由题意，得AG=60，OF=24，∠AOG=70°，∠EOF=30°，∠EFH=60°．
在Rt△AGO中，∠AGO=90°，tan∠AOG=AGOG，
∴OG=AGtan∠AOG=60tan70°≈602.75≈21.8≈22﹒
∵∠EFH是△EOF的外角，
∴∠FEO=∠EFH−∠EOF=60°−30°=30°．
∴∠EOF=∠FEO．
∴EF=OF=24．
在Rt△EHF中，∠EHF=90°，cos∠EFH=FHEF
∴FH=EF⋅cos∠EFH=24×cos60°=12．
∴AC=GH=GO+OF+FH=22+24+12≈58(m)．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°，利用锐角三角函数求出OG=AGtan∠AOG=60tan70°≈602.75≈21.8≈22，FH=EF⋅cos∠EFH=24×cos60°=12，再利用线段的和差可得AC=GH=GO+OF+FH=22+24+12≈58(m)。
25．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ=3cm.开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB=4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC=120°，求BC的长.
注：弹簧的弹力与形变成正比，即F=k⋅Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx=x−x0.
【答案】解：由题意可得：当F=100时，△x=4−3=1，
∴k=100， 即F=100·△x，
当F=300时，则△x=3，
∴PC=3+3=6，
如图，记直角顶点为M，
∵∠PBC=120°，∠PMB=90°，
∴∠BPM=30°， 而PB=4，
∴BM=2，PM=42−22=23，
∴MC=62−(23)2=24=26，
∴BC=MC−BM=26−2.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】由题意可得：当F=100时，△x=1；当F=300时，△x=3，据此可得PC的值，记直角顶点为M，易得∠BPM=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BM，利用勾股定理可得PM、MC，然后根据BC=MC-BM进行计算.