2022年新高考数学二轮提升数列专题第5讲《通项公式的求解策略构造法》（2份打包，解析版+原卷版）

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第5讲 通项公式的求解策略:构造法 参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．已知数列中，，，求通项公式　　．【解答】解：数列中，，，，数列是等比数列，首项为7，公比为3．，，故答案为：，2．已知数列中，，，则求的通项公式　　．【解答】解：，，，，，，是以3为首项，以3为公比的等比数列，，，故答案为：3．（2021秋•殷都区校级月考）已知数列满足，求数列的通项公式　　．【解答】解：数列满足，，数列是以1为首项，为公差的等差数列；，．故答案为：．4．（2021•岳麓区校级二模）已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是　　．【解答】解：因为，所以，因为，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以．故答案为：．5．（2021秋•清远期中）若数列满足，，则数列的通项公式　　．【解答】解：数列满足，，可得，是以2为首项，6为公比的等比数列，所以，所以．故答案为：．6．已知，求通项公式　　．【解答】解：因为，所以，，可得，所以是以25为首项，3为公差的等差数列，．可得．故答案为：．7．（2021•南关区校级四模）已知在数列中，，则数列的通项公式为　　．【解答】解：在数列中，，，，，，由此猜想：．下面用数学归纳法进行证明：①当时，，成立．②假设时，成立，即，当时，，成立．由①②得．数列的通项公式为．8．已知数列，满足，，且（其中，则数列的通项公式为　　．【解答】解：，又，数列是首项为3、公差为2的等差数列，，又，且，数列是首项为1、公比为的等比数列，，，故答案为：．9．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和　　．【解答】解：数列的首项为9，且，所以：，所以两边取对数得：，整理得：（常数），所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．所以：，所以：，由于，所以：，故：两边取倒数得到：，所以数列的前项和．故答案为：10．（2021•蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为　　．【解答】解：数列满足，．，，变形为：，．数列是等比数列，首项为，公比为．．则．，只考虑为偶数时，时，．时，．因此（4）取得最大值．最大值为．故答案为：．二．解答题（共22小题）11．（2021秋•黄浦区期末）已知数列满足，．（1）若数列是等差数列，求通项公式；（2）已知，求证数列是等比数列，并求通项公式．【解答】解：（1）数列是等差数列，，，设数列的公差为，则．，即对成立，于是．，且，解得．；证明：（2），，．，数列是以3为首项，公比为2的等比数列．．．12．已知数列中，，，且，求通项公式．【解答】解：，两边同加，得，又，，是首项为4，公比为2的等比数列，①；，两边同减，得，是首项为1，公比为的等比数列，②，由①②得．13．已知数列满足下列条件，求通项公式：（1），，；（2），，．【解答】解：（1）由，得，，，，则，即，又，数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，则；（2）由，得，，，，，则数列是以9为首项，以3为公比的等比数列，．．则．当为奇数时，，，，，．累加得：，验证时上式成立；当为偶数时，，，，，．累加得：．综上，．14．在数列中，，，当，，求通项公式．【解答】解：，，即数列是以为首项，公比的等比数列，则，即，即数列是以为首项，公比的等比数列，则．即．故通项公式．15．（2021•广东）设，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．【解答】解：（1），，当时，，数列是以为首项，以1为公差的等差数列，，即，当，且时，，即数列是以为首项，公比为的等比数列，，即，数列的通项公式是（2）证明：当时，不等式显然成立当，且时，，要证对于一切正整数，，只需证，即证所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数，有，16．（2021春•襄阳期末）在数列中，已知，．（1）求，，的值；（2）若，证明：数列是等差数列；（3）设数列的前项和为，比较与的大小．【解答】解：（1），，可得；；（2）证明：，可得，数列是首项和公差均为1的等差数列；（3），可得，设，则，相减可得，化简可得，则为，，当时，；当时，；当，，．17．（2021•道里区校级模拟）已知数列满足，，数列满足．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：（2）数列的前项和为，设，求数列的前80项和．【解答】解：（1）证明：，可得，则，即，可得数列是首项为1，公差为2的等差数列；则，即，可得，；（2），，．18．（2021秋•东莞市校级月考）已知数列中，已知，，（1）求证数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．【解答】解：（1）数列中，已知，，可得，可得．所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列的通项公式：．19．（2021秋•七星区校级月考）在数列中，已知；．（Ⅰ）求，及；（Ⅱ）求证：．【解答】解：（Ⅰ），，，，，，于是是以为首项，2为公比的等比数列，故，即；（Ⅱ），当时，，；时，成立，．20．（2021•沙坪坝区校级二模）在数列中，已知．（1）求，的值；（2）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（3）求证：．【解答】解：（1）（2分）（2）由得：所以数列为等比数列，其首项为，公比为（6分）所以即为数列的通项公式．（9分）（3）证明：当时，所以原不等式成立．（12分）21．（2021春•浦东新区校级期末）已知数列中，，．（1）求证：是等差数列，并求数列的通项公式．（2）设，且恒成立，求整数的最小值．【解答】（1）证明：，，又，是以为首项，为公差的等差数列，，则；（2）解：由（1）知，，，恒成立，，故整数的最小值为0．22．（2021春•洛阳期末）已知数列首项，且满足，令．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列中的最小项．【解答】解：（1）证明：，，即．又，是首项为，公差为1的等差数列．（2）由，得．又，，，当时，．数列中的最小项为．23．（2021春•九龙坡区校级期中）已知在数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解答】解：（1）因为，所以，所以，所以，所以．（2）记，所以，①，②①②得：，所以．24．已知数列满足：，且．证明：为一个等比数列，求数列的通项公式．【解答】证明：，两边取倒数得，，两边乘以，并裂项得，，两边减1得，，因此，，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，其中，解得，．25．（2021•全国模拟）已知各项都为正数的数列满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，，求的通项公式．【解答】证明：（1）各项都为正数的数列满足，得，，所以数列是公比为3的等比数列；（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，于是，，所以，即，也符合．故．26．（2021•全国）在数列中，，，，2，3，，（Ⅰ）求，，．（Ⅱ）求数列的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）在数列中，，，，2，3，，可得，，；（Ⅱ），可得，两边除以，可得即为，则，则．27．（2021•香坊区校级二模）已知数列中，，．（1）求证：是等差数列；（2）若，且数列，数列的前项和为，求的取值范围．【解答】（1）证明：，，，，是以1为首项，2为公差的等差数列．；（2）解：，，，．，是递增数列，的最小值为，又，．28．（2021春•碑林区校级期中）已知数列中，，（1）求、的值；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）求通项公式．【解答】解：（1）数列中，，根据递推关系式求出：（2）假设存在实数，使得数列为等差数列，则：，则：解得：（3）由（2）的结论：数列是以为首项，公差为1的等差数列．解得：当时，数列的通项公式为：29．（2015春•禅城区校级月考）定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点，在函数的图象上．其中为正整数．（1）求，，，并求证：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设．求数列的通项公式及关于的表达式；（3）记，的前项和为．求证：对恒成立．【解答】解：（1），点，在函数的图象上．其中为正整数．，，同理可得，．，数列是“平方递推数列”，，．数列为等比数列，公比为2，首项为．（2）由（1）可得：，．．．（3）证明：，时，，故．．时，．故对恒成立．30．（2021•虹口区一模）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”．已知：数列中，，．①求证：数列是“平方递推数列”；②求证：数列是等比数列；③求数列的通项公式．（2）已知：数列中，，，求：数列的通项．【解答】解：（1）①由条件，得．数列是“平方递推数列”；②令，．则．，．数列是等比数列；③由②知，，，（2）两边同乘以得，，，两边取对数得：数列是以为首项，3为公比的等比数列31．已知数列是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式．【解答】解：，，化为：，，，化为：，．数列是等比数列，首项为4，公比为2．，可得．32．（2021秋•凌源市期末）已知首项为1的正项数列，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【解答】解： ，即，即，所以，所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以．（2）因为，所以，，所以．