2022年新高考数学二轮提升数列专题第17讲《绝对值数列问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第17讲 绝对值数列问题 一、单选题1．（2021·江西九江·高二期中（理））若数列满足，且，则的前100项和为（    ）A．67 B．68 C．134 D．167【答案】B【分析】由题意得，根据，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解.【详解】因为，所以，因为，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，所以从第2项起，3项一个循环，所以的前100项的和为，故选：B．2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列满足且，．则的最小值是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知递推关系式可得，采用累加法可将所求式子表示为，由为偶数可确定时取最小值，代入可得结果.【详解】由得：，，，…，，，，累加得，，，，当为奇数时，为奇数；为偶数时，为偶数；则为偶数，当时，取得最小值．当数列满足，（且为偶数），（且为奇数）时，符合条件.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解含绝对值的数列的和的问题，解题关键是能够通过累加法得到所求的和与数列中的项之间的关系，将问题转化为含绝对值的二次函数的最值的求解问题.3．（2021·四川省绵阳第一中学高三开学考试）已知数列的通项公式，则（    ）A．99 B．100 C．101 D．102【答案】C【分析】判断出数列的单调性和对称性，由此求得所求表达式的值.【详解】由于，对应的二次函数的开口向上，对称轴为.所以数列，当（）时，递减，当（）时，递增，且根据对称性可知.所以.故选：C【点睛】本小题主要考查数列的单调性，属于基础题.4．（2021·浙江杭州·高三月考）数列满足，（且），数列为递增数列，数列为递减数列，且，则（）．A． B． C．4851 D．4950【答案】D【分析】由数列为递增数列，得到，进而得出，又由数列为递减数列，得到，得到，得出当为奇数且时，，当为偶数时，，即可求解．【详解】因为数列为递增数列，所以，即，则，由题意，则由得，，因为数列为递减数列，所以，即，则，由题意得，，由，可得，，又，即，所以当为奇数且时，；当为偶数时，．所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了以递推数列为载体考查逻辑思维能力，在解题过程中需结合数列的增减性和含绝对值符号的式子所藴含的信息进行适当推理与分析，着重考查了逻辑思维能力，以及推理与计算能力．5．（2021·安徽·蚌埠二中模拟预测（文））已知数列的通项公式，则（    ）A．101 B．162 C．180 D．210【答案】B【分析】利用均值不等式，可得，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质： ，可得，即得解【详解】由于，当且仅当时等号成立；由对勾函数的性质： 故 故选：B【点睛】本题考查了不等式和数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题6．（2021·全国·高二课时练习）已知是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，则数列前10项和为A．58 B．56 C．50 D．45【答案】A【分析】由是首项为32的等比数列,是其前n项和,且,利用等比数列前n项和公式求出q,进而可得,则,从而求数列前10项和【详解】是首项为32的等比数列,是其前n项和,且,所以公比不为1，,,,,,数列前10项和为,故选：A【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用,考查对数的运算,考查运算能力  二、填空题7．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列，则数列的前项和___________.【答案】【分析】首先讨论数列的正负项，再以零点分解，求数列的前项和.【详解】设数列的前项和为，当，，解得：，当时，，当 ，当时， ，当时，，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值数列的前项和，本题的关键是判断数列正负项，从而分段讨论与的关系.8．（2021·上海·高一期末）设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．【答案】【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．【详解】由题意，因为，当时，，又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案为．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 三、解答题9．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）令，记的前项和为，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知方程可得或，结合正项数列即可确定的通项公式；（2）利用正弦型函数的性质判断的周期，并求出一个周期内的项，最后根据周期求.（1），或，为正项数列，；（2），是周期为12的周期数列 ，，，，，，，，，，，，.10．（2021·重庆·高三月考）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【分析】(1)利用公式，求出，再结合即可求出的值，再利用公式即可求出数列的通项；根据已知条件列出方程，可求出数列的首项和公比，再根据等比数列的通项公式求解即可；(2)去掉绝对值可得，再对分和讨论求和即可.【详解】(1)当时，，由，得，即，当时，，当时，，所以；设正项等比数列的公比为，则，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以当时,，当时，，即11．（2021·江苏省通州高级中学高二学业考试）记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1＝4an+1．设bn＝an+12an．（1）证明：数列{bn}为等比数列；（2）设cn＝|bn100|，Tn为数列{cn}的前n项和，求T10．【答案】（1）证明见解析；（2）1994.【分析】（1）通过Sn+1＝4an+1写出式子的前一项，两式相减再变形即可求得bn的前后两项的关系；（2）通过（1）先求出cn，然后对n进行分类讨论，最后求出结果.【详解】（1）由Sn+1＝4an+1得Sn＝4an-1+1（n≥2，n∈N），两式相减得an+1＝4anan﹣1（n≥2），所以an+12an＝2（an2an﹣1），所以n≥2时，，又a1＝1，S2＝4a1+1，所以a2＝4，a22a1＝2＝b1≠0，所以数列{bn}为首项与公比均为为2的等比数列.（2）由（1）可得bn＝2•2n﹣1＝2n，所以cn＝|2n﹣100|，所以T10＝600（21+22+…+26）+27+28+29+210﹣400＝＝200+2+28+29+210＝1994．12．（2021·江苏·苏州新草桥中学高二月考）已知等差数列中，公差，是和的等比中项；（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题设条件，结合等差数列的通项公式，得到，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）知，求得，通过去绝对值符号可知当时，，当时， ，利用等差数列前项和公式进而计算可得结论.即可求解.【详解】（1）是和的等比中项，所以，即，又由，即，整理得，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则，当时，，所以，当时，记数列的前项和为，则，所以，综上得：.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比中项公式的应用，以及含绝对值的数列求和问题，着重考查推理与运算能力.属于中档题.13．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2） 求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用求解数列的通项公式；（2）由（1）由得，然后分和两种情况对化简求解即可【详解】解：（1）当时，，即，当时，， 时，满足上式，所以（2）由得，而，所以当时，，当时，，当时，，当时，，所以【点睛】此题考查的关系，考查数列求和的方法，考查分类思想，属于基础题14．（2021·天津·高三专题练习）已知有穷数列共有项（整数），首项，设该数列的前项和为，且，其中常数．（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）若，数列满足，求的和（用表示）．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）利用与关系，分别在和两种情况下证得，由此得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，解不等式可去掉绝对值符号．将所求式子整理为，结合等差数列求和公式可求得结果.【详解】（Ⅰ）证明：当时，；；当时，…①，…②，①②得：，整理可得：；综上可知：数列为首项为，公比为的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，则，令，即，可解得：，可得当时，；当时，；．【点睛】本题考查利用与证明数列为等比数列、含绝对值的数列求和问题；解决含绝对值的数列的求和问题的关键是能够结合通项公式去掉绝对值符号，将问题转化为普通数列求和的问题.15．（2021·江苏·姜堰中学高二月考）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【分析】（1）直接根据可得为等比数列，进而可得的通项公式，根据等差数列的概念即可得的通项公式；（2）根据（1）中的结果可得当时，，当时，，分为两种情况求数列的前项和即可.【详解】（1）当时，，得；当时，，由，得.故为等比数列，其公比为2，所以.由，，得，，因为为等差数列，所以其公差，所以.（2）因为，所以当时，，当时，.所以当时，.当时，.故数列的前项和.【点睛】本题主要考查了由求数列的通项公式，等差数列、等比数列中基本量的计算，分类讨论思想在数列求和中的应用，属于中档题.16．（2021·海南·嘉积中学高三月考）已知是数列的前项和，且．（1）求；（2）求数列的前项和为．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由，可得，时，由递推公式可得，；（2）进行分类讨论，当时，，即有，当时，，，故可求解数列的前项和为．【详解】（1）由，可得，时，，对也成立，可得，；（2）当时，，即有；当时，，，即有．【点睛】本题考查数列的通项及求和，根据条件可判断利用递推公式求通项，注意验证n=1是否满足，数列求和利用分类讨论思想分段求和即可，属于中等题.17．（2021·上海松江·二模）无穷数列、、满足：，，，，记（表示3个实数、、中的最大数）.（1）若，，，求数列的前项和；（2）若，，，当时，求满足条件的的取值范围；（3）证明：对于任意正整数、、，必存在正整数，使得，，.【答案】（1），；（2）；（3）详见解析.【分析】（1）计算数列的前几项,可得所求；（2）计算第2、3项可得所求范围；（3）先证明若、、中至少有一个为0,则另两个数相等,再证明若、、中都不为0,则【详解】（1）由题可得,;,,,;,,,；,,,；可得,,,当时,当时,（2）由题,,,,；,,,则若满足条件,则（3）证明：①若、、中至少有一个为0,则另两数相等,设,假设,可得,则,与矛盾,即,则,,此时必存在正整数,使得,,；②若、、中都不为0,则,设,则,,,,此时一定严格递减下去,直至存在正整数,使得此时, 、、中有一个为0，由①可得命题成立.则对于任意正整数、、，必存在正整数，使得，，.【点睛】本题考查数列的前项求和,考查分段函数,考查数列单调性的应用,考查归纳思想,题目难度较大18．（2021·上海市市北中学高三期中）已知以为首项的数列满足：（）.（1）当时，且，写出、；（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；（3）记为的前项和，当时，给定常数（，），求的最小值.【答案】（1），；（2）；（3）当为奇数时，最小值为；当为偶数时，最小值为.【分析】（1）根据条件时，且及即可求出（2）由条件可得时，再分析出的正负即可求解（3）根据条件得到或，,归纳，求和即可求出结论.【详解】（1）当时，且，，，同理可得：.（2）（，）是公差为的等差数列，，时，，，，正号不成立，，（3）当时，，或，,,所以，为奇数，，为偶数，.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，分类讨论的方法，绝对值的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题.