2022年新高考数学二轮提升数列专题第25讲《数列与函数的交汇问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第25讲 数列与函数的交汇问题 参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021•龙泉驿区校级一模）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则　　A． B． C．2 D．3【解答】解：函数是奇函数且满足，有，则，即，为周期为3的函数，数列是等差数列，若，，，，，（1）（3）（5），，，（1），（1）（3）（5），（1）（3）（5）（1）（3），故选：．2．（2021•日照模拟）已知数列的通项公式，则　　A．150 B．162 C．180 D．210【解答】解：，可得当时，数列递减，时，数列递增，可得．故选：．3．（2021•新郑市校级模拟）已知等差数列的前项和为，若，，下列为真命题的序号为　　①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：由，可得，即，，故可得等差数列的公差，选项③正确；把已知的两式相加可得整理可得结合上面的判断可知故有，，故选项②正确；由于，，则，故选项①错误；由公差 可得，结合等差数列的列的性质，可得，从而可得，故，即选项④错误．故选：．4．（2021秋•仁寿县月考）设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：由，可得，，即，，从而可得等差数列的公差，把已知的两式相加可得整理可得结合上面的判断可知所以，而故选：．5．（2021•琼海校级模拟）已知函数．项数为27的等差数列满足，且公差，若，当时，则的值为　　A．14 B．13 C．12 D．11【解答】解：因为函数是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列有27项，．若，则必有，所以．答案为：14，故选：．6．（2021秋•江苏期中）已知定义域为的函数满足，当，时，，设在，上的最大值为则数列的前项和的值为　　A． B． C． D．【解答】解：由题设易知：当，时，，当，时，，当，时，，又函数满足，在，上的最大值为，，，，，故数列是首项为，公比为的等比数列，，故选：．7．（2021•浙江）已知，，，成等比数列，且，若，则　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，，设公比为，当时，令，，即，故，不成立，即：，，，，不成立，排除、．当时，，，等式不成立，所以；当时，，，不成立，当时，，，并且，能够成立，故选：．二．多选题（共1小题）8．（2021秋•淄博月考）已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：设公比为，则，则，则，，即，即，令，，故，，时，，时，，故在，，上单调递增，在上单调递减．且，，故作的图象如右图，结合图象可知，，，则，即，同理可得，，，，故选：．三．填空题（共6小题）9．（2021•江西模拟）若函数满足、，都有，且（1），（4），则　4033　．【解答】解：（a）（b），令，，（3）（1）（4），解得（3），令，，（2）（4）（1），解得（2），由（1），（2），（3），（4），可以猜想故答案为：403310．（2021秋•雨城区校级月考）已知函数满足对任意实数，，有，且（1），（4），则　4027　．【解答】解：函数满足对任意实数，，有，由（1），（4），令，，得（2），令，，得（3），猜想：．①证明：当，2，3，4时①成立．假设且为整数），①都成立．令，，得，，即对．成立．对任意正整数，都成立．．故答案为：4027．11．（2021•上海模拟）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且（其中为的前项和），则　3　．【解答】解：函数是奇函数，是以3为周期的周期函数．，，．两式相减并整理得出，即，数列是以2为公比的等比数列，首项为，，，，，（2）（2）故答案为：3．12．（2021•红桥区二模）已知定义在，上的函数满足，当，时，．设在，上的最大值为，且的前项和为，则　　．【解答】解：定义在，上的函数满足，，，，设，，则，当，时，．．，，，时，的最大值为表示以2为首项，为公比的等比数列的前项和为．故答案为：．13．（2021秋•9月份月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为．点，均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为．直线的斜率为，若，，则数列的前项和　　．【解答】解：数列是各项均为正数的等比数列，公比设为，，由题意可得，由可得，即；又可得，解得，则，即，，可得前项和，，相减可得，化简可得．故答案为：．14．（2021•浦东新区三模）函数，数列，，，，满足，，若要使，，，成等差数列．则的取值范围　，　．【解答】解：当时，；当时，；当时，．当时，；当时，；当时，．对任意，．即，即为无穷递增数列．又为等差数列，所以存在正数，当时，，从而，由于为等差数列，因此公差．①当时，则，又，故，即，从而，当时，由于为递增数列，故，，而，故当时，为无穷等差数列，符合要求；②若，则，又，，得，应舍去；③若，则由得到，从而为无穷等差数列，符合要求．综上可知：的取值范围为，．故答案为：，．四．解答题（共12小题）15．（2010•广东模拟）已知函数，且对任意的、都有．（1）若数列．（2）求的值．【解答】解：（1）．（3分）而．（5分）是以为首项，以2为公比的等比数列，故（7分）（2）由题设，有（8分）又，得，故知在上为奇函数（10分）由得，于是故．（12分）16．（2008•湖北校级模拟）已知函数在上有意义，，且对任意的，，都有．（1）判断函数的奇偶性；（2）若数列．（3）求证：．【解答】解：（1）令，则，即（1分）又令，，则（3分）即，故是奇函数．（4分）（2），而．（7分）（8分）是以为首项，以2为公比的等比数列，故（9分）（3）（11分）又故（14分）17．（2021秋•永定区校级月考）已知在上有定义，且满足，时，有（1）证明：在上为奇函数．（2）数列满足，，，求的通项公式．（3）求证：．【解答】（1）证明：令得：所以令得：所以又的定义域为所以在上为奇函数（2）解：所以为以2为公比为首项的等比数列．故（3）证明：所以：所以以上等式相加得：18．（2009•盐都区校级模拟）已知：函数在上有定义，，且对、有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）对于数列，有，试证明数列成等比数列；（Ⅲ）求证：．【解答】解：（Ⅰ）在中，令，得再令，得，，即函数为奇函数（Ⅱ）证明：由得函数为奇函数，，否则与矛盾，或，，是以为首项，为公比的等比数列（Ⅲ）证明：又（Ⅱ）可得又19．已知各项均为正数的数列的前项和为，函数一（其中，均为常数，且，当时，函数取得极小值，点，均在函数的图象上．（其中是函数的导函数）（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和．【解答】解：（1）由题意得，函数的定义域为，令，得或，，，当变化时，和的变化情况如下表：处取得极小值，即．（2）依题意，，点，均在函数图象上，，则，由求得当时，两式相减求得，，数列是以1为首项，为公差的等差数列，， （3）由（2）得，，解得，，则③又④，且由（2）知，，③④得，．20．（2021秋•市南区校级期末）已知函数，数列满足：，．（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，求证：．【解答】证明：（1）由题意可得，，数列为等差数列，，，，；（2），．21．（2021•陕西）设是等比数列1，，，，的各项和，其中，，．（Ⅰ）证明：函数在，内有且仅有一个零点（记为，且；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较和的大小，并加以证明．【解答】证明：（Ⅰ）由，则（1），．在，内至少存在一个零点，又，在，内单调递增，在，内有且仅有一个零点，是的一个零点，，即，故；（Ⅱ）由题设，，设，．当时，．当时，．若，．若，．在内递增，在内递减，（1），即．综上，当时，；当且时，．22．（2021春•青羊区校级期末）已知函数的图象上有一点列，，点在轴上的射影是，，且且，．（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）对任意的正整数，当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（3）设四边形的面积是，求证：．【解答】（1）证明：由且得且，，，且，是首项为3，公比为3的等比数列．．，．（2）解：，，，又，，故数列单调递减，（此处也可作差证明数列单调递减）当时，取得最大值为．要使对任意的正整数，当，时，不等式恒成立，则须使，即，对任意，恒成立，，解得或，实数的取值范围为，，．（3）证明：，而，四边形的面积为，，，．23．（2021•深圳二模）设是定义在，上的函数，若存在，使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为，上单峰函数，为峰点．（1）已知为，上的单峰函数，求的取值范围及的最大值；（2）设，其中，．①证明：对任意，为，上的单峰函数；②记函数在，上的峰点为，，证明：．【解答】解：（1），函数的导数，方程的判别式△，当△时，即或时，恒成立，此时当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，不是单峰函数，当△，即，方程的两根，，则则，列表如下，，，递减递增递减递增在，上单峰函数，1为峰点，，当且仅当时取等号，综上若为，上的单峰函数，的取值范围，，的最大值2；（2）①，，设，则，，，，时，，，在，上单调递减，又，，函数在，内存在零点，记为．，时，，在，上单调递减，对任意，为，上的单峰函数；②，，故，而为的峰点，，，又，，由①知在，上单调递减，24．（2021•深圳二模）设是定义在，上的函数，若存在，使得在，上单调递减，在，上单调递增，则称为，上单谷函数，为谷点．（1）已知，判断函数是否为区间，上的单谷函数；（2）已知函数且的导函数．①证明：为区间，上的单谷函数：②记函数在区间，上的峰点为，证明：．【解答】解：（1），分当时，有，故在，上单调递减，有，在，上单调递增，在区间，上的单谷函数；分当时，有，在，上单调递增，不是区间，上的单谷函数；当时，有，故在，上单调递增，不是区间，上单谷函数；分综上所述，当时，是区间，上的单谷函数；时，不是区间，上的单谷函数；分（2）①证明：记，，分当时，，函数在区间，上单调递增，分又，且时，，，，分函数在区间上存在唯一的零点，记为，有，即在区间，上单调递减；，有，即在区间，上单调递增；，是区间，上的单谷函数，分②证明：，  分由可得；，代入得，即，分，，，又，，由①知单调递增，．分25．（2021秋•黄州区校级月考）已知函数的定义域为，，且同时满足以下①②③三个条件：①（1）；②对一切，恒成立；③若，，，则（a）（b）．（1）求；（2）设，，，且，试证明并利用此结论求函数的最大值和最小值；（3）试比较与的大小，并证明对一切，，都有．【解答】（1）解：令，，，又对一切，恒成立，（2）证明：设，，，，则，则当时，（1），（3）证明：在③中令，得（Ⅰ）对，，总存在，满足由（2）及（Ⅰ）得：又，．综上所述，对任意，，恒成立26．（2007•四川）已知函数，设曲线在点，处的切线与轴的交点为，，其中为正实数．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅲ）若，，是数列的前项和，证明．【解答】解：（Ⅰ）由题可得．所以曲线在点，处的切线方程是：．即．令，得．即．显然，．（Ⅱ）由，知，同理，故．从而，即．所以，数列成等比数列．故．即．从而所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，显然．当时，．综上，．