2022年新高考数学二轮提升数列专题第27讲《数列与概率的交汇问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第27讲 数列与概率的交汇问题
一、单选题
1．（2021·江苏·镇江江河艺术高级中学有限公司高二期中）随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；丙投1次也有10种可能，所以甲、乙、丙依次投掷1次，由分步乘法原理可得所有记下数字的总情况数，再列举出等差数列的公差为0，1，2，3，4的所有情况，将公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为-1，-2，-3，-4的等差数列，可得出构成等差数列的可能情况数，根据古典概率公式计算可得选项.
【详解】
甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；丙投1次也有10种可能，所以甲、乙、丙依次投掷1次，记下数字有种情况，
0~9这10个数字中选3个，能构成等差数列的情况如下：
公差为0的等差数列有：0，0，0；1，1，1；2，2，2；…；9，9，9共10种情况；
公差为1的等差数列有：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6，；5，6，7，；6，7，8；7，8，9共8种情况；
公差为2的等差数列有：0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共6种情况；
公差为3的等差数列有：0，3，6；1，4，7；2，5，8； 3，6，9共4种情况；
公差为4的等差数列有：0，4，8；1，5，9共2种情况；
公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为-1，-2，-3，-4的等差数列，
所以构成等差数列的可能情况有，
所以若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为，
故选：D.
2．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知-对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件先分析数列中相邻三项的奇偶性情况，然后得到前项中的偶数个数，由此可求解出对应概率.
【详解】
因为奇数加奇数结果是偶数，奇数加偶数结果是奇数，偶数加奇数结果是奇数，
所以数列中任意相邻的三项，其中一项为偶数，两项为奇数，
所以前项中偶数有项，
所以这个数是偶数的概率为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于分析斐波那契数列中项的奇偶组成，通过项的奇偶组成确定出项中奇数和偶数的项数，完成问题的求解.
3．（2021·全国·高二专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
根据题意列出方程，利用指数运算性质求解即可.
【详解】
感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：

即，解得，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染，
故选：B
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
4．（2021·江苏海安·模拟预测）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点处，若移了次后，棋子落在上底面顶点的概率记为.则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求出，根据题意得到之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可.
【详解】
，
移了次后棋子落在上底面顶点的概率记为，
故落在下底面顶点的概率为，
于是移了次后棋子落在上底面顶点的概率为，
∴，
∴是等比数列，首项为，公比为

，∴，
故选：D
【点睛】
关键点睛：根据题意得到之间的关系是解题的重点.
5．（2021·全国·高三专题练习（文））满足，的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.如图，依次以斐波那契数列各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）.下图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可得，分别计算阴影及扇形面积由几何概型求解即可.
【详解】
由题，，，，，
则阴影部分面积为，
扇形的面积为，
所以在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为.
故选：C
6．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（文））意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由斐波那契数列中偶数出现的周期性求前2021项中偶数的个数，再由古典概型概率求法求概率即可.
【详解】
由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而，
∴前2021项中有个偶数，故从该数列的前2021项中随机地抽取一个数为偶数的概率为.
故选：B
7．（2021·全国·高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A． B． C．[－3，3] D．[0，1]
【答案】B
【分析】
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，根据各个变量概率和为1，可求得a值，根据概率大于等于0，即可求得答案.
【详解】
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，
根据各个变量概率和为1得：(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得，
由，解得.
故选：B
8．（2021·河北·衡水第一中学高三月考（理））甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第次由甲掷，第n次由甲掷，概率为；二是第次由乙掷，第n次由甲掷，概率为，由已知得，可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，由此可得解.
【详解】
抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，
第n次由甲掷有两种情况：
一是第次由甲掷，第n次由甲掷，概率为；
二是第次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．
这两种情况是互斥的，所以，即，
所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．
故选：A
【点睛】
方法点睛：本题考查概率的求法，互斥事件概率加法公式，等比数列的性质，在数列中，（、均为常数，且，），可以利用构造法求数列的通项公式：设，得到，，可得出数列是以的等比数列，可求出；

二、多选题
9．（2021·江苏·海安高级中学高二期中）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
【答案】ACD
【分析】
由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，利用等差数列前项和公式得到的首项和公差，再分类讨论分别求出每种情况中男、子、伯、侯、公五个等级分到的领地数，再利用概率对四个选项逐一分析，即可得正确选项.
【详解】
由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，设其前项和为，
则，得．因为，均为正整数，所以有如下几种情况：
，，，共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表所列：

男
子
伯
侯
公
，
8
9
10
11
12
，
6
8
10
12
14
，
4
7
10
13
16
，
2
6
10
14
18
由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是；故选项A正确；
为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是；故选项B不正确；
为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是；故选项C正确；
为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是，故选项D正确；
故选：ACD．
10．（2021·山东聊城·高三期末）已知红箱内有个红球、个白球，白箱内有个红球、个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出--球，然后再放回去，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出--球，然后:再放回去.记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意的且，
【答案】ACD
【分析】
先由题中条件，得到第次，取出红球的概率为，判断B错；利用构造法，得到数列为以为公比，以为首项的等比数列，求出，可判断AC正确；再由，根据等比数列的求和公式，化简整理，可判断D正确.
【详解】
第次取出的球是红球的概率为，则取出的是白球概率为，
对于第次，取出红球有两种情况：
①从红箱取出；②从白箱取出，
则，故B错；
所以，因为，所以，
则数列为以为公比，以为首项的等比数列，所以，
则，因此，故A正确；
所以，，
则，
，所以，即C正确；
，
先定，对求和，再对求和，
则




，
又，
所以对任意的且，，即D正确.
故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于先由题中条件，得出，再由构造法求出的通项，结合等比数列的求和公式，即可求解.（求解时，要注意对求和符号的理解，即）
11．（2021·山东济南·高三期末）已知红箱内有个红球、个球，白箱内有个红球、个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱箱子内取出一球，然后再放回去.记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意的、，且，
【答案】ACD
【分析】
分析可得与的递推关系，求出数列的通项公式，可判断ABC选项的正误，利用数列求和以及数学归纳法可判断D选项的正误.
【详解】
第次取出的球是红球的概率为，则取出的球为白球的概率为，
对于第次，取出红球有两种情况.
①从红箱中取出，概率为；
②从白箱中取出，概率为.
所以，，则，
令，则，则数列为等比数列，且公比为，
，则，，则.
对于A选项，，A选项正确；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，
，C选项正确；
对于D选项，当时，，，
，左边右边，
假设当时，等式成立，即左边





右边.
根据数学归纳法的原理可知D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用递推法求概率，解题的关键在于分析出与的关系，结合数列的相关知识求解.
12．（2021·江苏·海安高级中学高二期末）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n (n∈N*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn，则下列结论正确的是（ ）
A．p2＝，q2＝
B．数列{2pn＋qn－1}是等比数列
C．Xn的数学期望E(Xn)＝(n∈N*)
D．数列{pn}的通项公式为pn＝(n∈N*)
【答案】BC
【分析】
利用已知条件求出，，推出；即可判断．推出，，得到，推出，说明数列是首项为，公比为的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即判断，；把代入，可判断．
【详解】
解：由题意可知：，，
则；
．故错误；
由题意可知：，
，
两式相加可得：
，
，
，
，数列是首项为，公比为的等比数列，故正确；
数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
，，故正确；
若数列的通项公式为，
则，故错误．
故选：．


三、双空题
13．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高二月考）甲、乙两人轮流掷一枚骰子，甲先掷．规定：若甲掷到1点，则甲继续掷，否则由乙掷；若乙掷到3点，则乙继续掷，否则由甲掷．两人始终按此规律进行，记第n次由甲掷的概率为，则_________；_________．
【答案】
【分析】
易知甲掷到1点，乙掷到3点的概率都是，再由甲先掷，得到第一次甲掷到1点的概率，再根据规律，若第二次仍由甲掷，由求解；设第次由甲掷的概率是 ，
第n次仍由甲掷，分第次由甲掷和第n-1次由乙掷两类求解.
【详解】
由题意得：甲掷到1点，乙掷到3点的概率都是，
因为甲先掷，若第二次仍由甲掷，则说明第一次甲掷到1点，
则，
设第次由甲掷的概率是 ，
则若第次由甲掷，第n次仍由甲掷的概率是 ，
若第n-1次由乙掷，第n次仍由甲掷的概率是，
所以第n次仍由甲掷的概率是，
即 ，即 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等边数列，
所以 ，即 ，
故答案为：，
14．（2021·江苏省江阴高级中学高二期中）在桌面上有一个正四面体D—ABC．任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作．如图，现底面为ABC，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面ABC再度与桌面接触的概率为______；操作n次后，平面ABC再度与桌面接触的概率为______.

【答案】
【分析】
（1）基本事件总数，操作3次后，平面再度与桌面接触包含的基本事件次数．由此能求出操作3次后，平面再度与桌面接触的概率；
（2）设操作n次后，平面ABC再度与桌面接触的概率为，其它各个面在底面的概率为，则 ，所以再利用构造法求出数列的通项即得解.
【详解】
（1）现底面为，且每次翻转后正四面体均在桌面上，操作3次，
基本事件总数，
操作3次后，平面再度与桌面接触包含的基本事件次数．
操作3次后，平面再度与桌面接触的概率．
（2）设操作n次后，平面ABC再度与桌面接触的概率为，其它各个面在底面的概率为，则 ，
所以
所以，
所以，
所以是一个以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：.

四、填空题
15．（2021·全国·高三专题练习）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个（为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得个橘子的概率是__________
【答案】
【分析】
根据等差数列前项和公式得出首项与公差的关系，列举得出所有的分配方案，从而得出结论．
【详解】
由题意可知：等级从低到高的个诸侯所分的橘子个数组成公差为的等差数列，
设“男”分的橘子个数为，其前项和为，
则，即，且，均为正整数，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时，
所以“公”恰好分得个橘子的概率为，
故答案为：.
16．（2021·浙江丽水·高三专题练习）2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则M的最小值为__________.

【答案】
【分析】
设为观众甲第次看到广告后不来此景区的概率，根据题意可得是首项为，公比为的等比数列，求出的通项公式，再判断其单调性，即可得答案.
【详解】
根据题意，为观众甲第次看到广告后不来此景区的概率，
则，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以， 即，
显然数列单调递减，
所以当时，，
所以，所以的最小值为.
【点睛】
本题考查概率与数列的综合题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意寻找递推关系是解题的关键.
17．（2021·上海交大附中高三月考）甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是____．
【答案】
【分析】
由题意可知，进行两次操作后，得出的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】
由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：
当，其出现的概率为，
当，其出现的概率为，
当，其出现的概率为，
当其出现的概率为，
∵甲获胜的概率为，即的概率为，
则满足整理得.
【点睛】
本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
18．（2021·全国·高二专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数（注：对于的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为______（注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）
【答案】1092
【分析】
由题意分析，传染模型为一个等比数列，可解.
【详解】
由题意：
所以
第六轮的传染人数为
所以前六轮被传染的人数为.
故答案为：1092
【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
19．（2021·上海交大附中模拟预测）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为__________.
【答案】
【分析】
由题意可知，则标号小于7有三个球，应用古典概型的概率求法，求任取两个小球号码均小于7的概率即可.
【详解】
由题意知：，即，可得，
∴标号小于7有三个球，
∴任取两个小球，号码均小于7的概率为.
故答案为：
20．（2021·山东枣庄·高三期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要______轮感染？（结果取整数，初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再分别传染给个人为第二轮传染……）
【答案】5
【分析】
由题意分析出第一轮有人，第二轮有20人，第三轮有80人，刚好构成等比数列，求出，令求解即可
【详解】
由题可知，第一轮传染感染的人数为；第二轮传染感染的人能数为：人；
第三轮传染感染的人能数为：人；故感染人数可看作首项为5，公比为4的等比数列，，令，即，得，
，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮
故答案为：5

五、解答题
21．（2021·全国·高二课时练习）甲、乙、丙、丁四人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余三个人之一，设表示经过n次传递后球回到甲手中的概率．
（1）求；
（2）用n表示出．
【答案】
（1）；；
（2）.
【分析】
（1）表示经过一次传球后球回到甲手中，易得，经过两次传球后球回到甲手中有3种情况，分别是乙传给甲，丙传给甲，丁传给甲；
（2）由n次传递后与次传递后得到的递推公式，再通过构造法求出通项即可.
（1）
经过一次传递后，落在乙丙丁手中的概率均为，而落在甲手里的概率为0，所以，
两次传递后球落在甲手里的概率为.
（2）
要想经过n次传递后球落在甲手中，那么次传递后球一定不在甲手中，
所以，，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以.
22．（2021·全国·高二单元测试）武汉又称江城，它不仅有深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，还有众多名胜古迹与旅游景点，其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源，现对某日已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不继续游玩东湖记1分，继续游玩东湖记2分，每位游客游玩东湖的概率均为，游客是否游玩东湖相互独立.
（1）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为，求数列的前10项和；
（2）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的游客的累计得分恰为n分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）由题意求出，利用等比数列求和即可；
（2）根据概率关系可得，构造等比数列求通项公式即可.
【详解】
（1）总分恰为分的概率为，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
则其前10项和.
（2）已调查过的游客的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为，.
∴，即，
∴.
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴.
23．（2021·全国·高三课时练习）某地的一个“黄金楼盘”售楼中心统计了2019年1月至5月来本楼盘看房的人数，得到如下数据：
/月份
1
2
3
4
5
/百人
20
50
100
150
180
（1）试根据表中的数据，求出关于的线性回归方程，并预测几月份开始来该楼盘看房的人数超过30000人；
附：线性回归方程中的斜率与截距的最小二乘法估计分别为，．
（2）该楼盘为了吸引购房者，特别推出“玩掷硬币游戏，送购房券”活动，购房者可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则购房者可获得购房券5000元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则购房者可获得购房券2000元．已知抛掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上与反面朝上的概率是相等的，方格图上标有第0格，第1格、第2格、……，第20格．遥控车开始在第0格，购房者每抛掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若正面朝上，遥控车向前移动一格（从到，），若反面朝上，遥控车向前移动两格（从到，），直到遥控车移到第19格（“胜利大本营”）或第20格（“失败大本营”）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求购房者参与一次游戏获得购房券5000元的概率．
【答案】（1）线性回归方程为；预测8月份开始来该楼盘看房的人数超过30000人 ；（2）证明见解析；．
【分析】
（1）由已知数据和最小二乘法可求得线性回归方程，令，解之可求得结论；
（2）由已知得， ．遥控车移到第格的情况有下列两种：①遥控车先移到第格，又掷出正面朝上，其概率为；②遥控车先移到第格，又掷出反面朝上，其概率为·从而有，可得证；再运用累加法可求得答案.
【详解】
解：（1）由题意知，，，
，，
所以，从而，
所以所求线性回归方程为．
令，，所以，．
故预测8月份开始来该楼盘看房的人数超过30000人．
（2）遥控车开始在第0格为必然事件，所以．
若第一次掷硬币正面朝上，则遥控车移到第1格，其概率为，即．
遥控车移到第格的情况有下列两种：
①遥控车先移到第格，又掷出正面朝上，其概率为；
②遥控车先移到第格，又掷出反面朝上，其概率为·
所以，所以，
又，所以当时，数列是首项为，公比为比数列，
所以，
所以

，
所以购房者参与一次游戏获得购房券5000元的概率为．
24．（2021·全国·高三月考）击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背着大家或蒙眼击鼓（桌子、黑板或其他能发出声音的物体），鼓响时众人开始传花（顺序不定），至鼓停止为止．此时花在谁手中（或其座位前），谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共10组，玩击鼓传花，（前五组）组号与组内女性人数统计结果如表：

1
2
3
4
5

2
2
3
3
4
（Ⅰ）女性人数与组号（组号变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；
参考公式：
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，从10组中随机抽取3组，求若3组中女性人数不低于5人的有组，求的分布列与期望；
（Ⅲ）游戏开始后，若传给相邻的人得1分，间隔人传得2分，每击一次鼓传一次花，得1分的概率为0.2，得2分的概率为0.8．记鼓声停止后得分恰为分的概率为，求．
【答案】（Ⅰ）从第8组开始女性人数不低于男性人数；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题中表格结合参考公式即可求解；（Ⅱ）先写出的所有可能取值，再求出对应的概率，即可求解；（Ⅲ）根据对立事件列出关系式，再利用等比数列的定义和通项公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由题可得，
，
．
则，
，
∴，
当时，，
∴预测从第8组开始女性人数不低于男性人数．
（Ⅱ）由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
则的分布列为

0
1
2
3





∴.
（Ⅲ）在得分为分的基础上再传一次，则得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，事件与为对立事件．
∵，，
∴，
∴．
25．（2021·辽宁阜新·高二月考）某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，记第代开红花的概率是，第代开黄花的概率为，
（1）求；
（2）试求数列的通项公式；
（3）第代开哪种颜色的花的概率更大.
【答案】（1）；（2）；（3）第n代开黄花的概率更大.
【分析】
（1）由计算；
（2）由关系式可得是等比数列，从而求得；
（3）由的表达式可得，从而，从而可得结论．
【详解】
解（1）第二代开红花包含两个互斥事件，即第一代开红花后第二代也开红花，第一代开黄花而第二代开红花，
故由，得：

（2）由题意可知，第n代开红花的概率与第代的开花的情况相关，故有

则有，
由于，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以
（3）由（2），
故有当n时，，因此第代开黄花的概率更大.
26．（2021·河北邢台·高二月考）有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分布表：
均价（单位：千元）






频数
2
2
11
10
4
1
（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一个楼盘的均价，假定，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；
（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.
①设客户乙站到第个台阶的概率为，证明：当时，数列是等比数列；
②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.
参考数据：取，.若，则，，.
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②应参与.
【分析】
（1）根据频数分布表计算均值与方差，得，然后由对称性和特定区间的概率得出结论；
（2）①由已知，，而时，即客户到第人台阶分为两种情况：一是从第个台阶跳一级过来，另一个是从第个台阶跳2级过来，由此可得递推关系，变形后可证题设结论；
②利用①求得，计算参加活动的期望值与比较可得．
【详解】
（1），
.
因为，，，所以.
所以.
（2）①证明：客户开始游戏时在第0个台阶为必然事件，故，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为，故.
客户乙迈入第个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种.
一是客户乙先到第格，客户甲又摸出红球，其概率为；
二是客户乙先到第格，客户甲又摸出黑球，其概率为，
所以，则.
所以当时，数列是首项为，公比为的等比数列.
②由①知，当时，，
所以
，
整理得，所以，
且.
设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米千元，
则（千元）.
因为，所以参与游戏比较划算.
27．（2021·江苏省天一中学高二期末）根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目.现对国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：

（1）估计国射击比赛预赛成绩得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求射击成绩得分恰在350到400的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，）.
（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知骰子出现任意点数的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格.遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从到），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移动到第格的概率为，试证明是等比数列，并求，以及根据的值解释这种游戏方案对意向客户是否有吸引力.
【答案】（1）300；（2）0.1359；（3）证明见解析，，对意向客户有吸引力.
【分析】
（1）利用组中值代入求平均值；
（2）写出正态分布，代入即可；
（3）根据题意确定，是首项为，公比为的等比数列，写出通项公式，利用差分求出，求出，通过比较，可得结论.
【详解】
（1）；
（2）因为，
所以；
（3）摇控车开始在第0格为必然事件，，
第一次掷骰子，正面向上不出现6点，摇控车移动到第1格，其概率为，即；摇控车移到第格格的情况是下列两种，而且也只有两种；
①摇控车先到第格，抛掷出正面向上的点数为6点，其概率为；
②摇控车先到第格，抛掷骰子正面向上不出现6点，其概率为，
故，，
故时，是首项为，公比为的等比数列，
故，


，
，
，
故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力.
28．（2021·全国·高三专题练习（理））为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，．
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】
（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，“第天不选择米饭套餐”．由全概率公式有，计算可得；
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，依照（1）可得与的关系，然后根据等比数列定义证明；
（ii）求出通项公式，然后分类讨论证明结论．
【详解】
解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，
则“第天不选择米饭套餐”．
根据题意，，，．
由全概率公式，得．
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，，
根据题意，．
由全概率公式，得．
因此．
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（ii）由（i）可得．
当为大于的奇数时，．
当为正偶数时，．
因此当时，．
29．（2021·福建省福州第一中学高二期中）一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为.
（1）求，；
（2）设经过步到达点的概率为，求的值；
（3）求.
【答案】（1），，（2）当为偶数时，，当为奇数时，，（3）当为奇数时，，当为偶数时，
【分析】
（1）即经过一步从点到达点的概率，即经过两步从点到在点的概率，即可求出，的值；
（2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，可得，当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，可得；
（3）当为偶数时，得到，进而得到，再构造等比数列即可求解
【详解】
解：（1）因为即经过一步从点到达点的概率，所以，
因为即经过两步从点到在点的概率，包括先顺时针再逆时针和先逆时针再顺时针，
所以，
（2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，到达的概率为，到达点的概率为，
所以，
当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，，所以，
综上，当为偶数时，，当为奇数时，，
（3）当为奇数时，，
当为偶数时，从点或点出发经过两步到点有概率分别为
，，
从点出发经过步到点分为两步，
①从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为，
②从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
综上，当为奇数时，，当为偶数时，
【点睛】
关键点点睛：此题考查概率的求法，考查数列递推式的应用，解题的关键是当为偶数时，分两种情况求出概率，即从点或点出发经过两步到点有概率，从而可得到递推式，结合可得，构造等比数列可得通项公式，考查计算能力，属于难题
30．（2021·广东·中山纪念中学高二月考）为了备战2021年7月在东京举办的奥运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为．每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为，取得成功记1分，否则记0分．若选择动作B，取得成功的概率为，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分．
（1）若m＝2，求分数X的概率分布列与数学期望．（若结果不为整数，用分数表示）
（2）若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G（n），如．
①求G（2）；
②问是否存在，使得为等比数列，其中？若有，求出；若没有，请说明理由．
【答案】（1）分布列见解析，期望值；（2）①，②有，
【分析】
（1）的可能取值为0，1，2，3，4，依次计算概率，再求分布列和期望即可；（2）①分两种情况：第一次就得两分和两次得1分②建立递推，用待定系数法即可.
【详解】
进行一次试验
获得0分的概率为
获得1分的概率为
获得2分的概率为
进行两次试验
的可能取值为0，1，2，3，4
，，，
，
所以分数X的概率分布列为

0
1
2
3
4






数学期望
（2）①
②据题意有，，其中
设

比较系数得，解得
所以是公比为的等比数列，其中，.
31．（2021·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出与的递推关系；
（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，；
（2）；
（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.
【分析】
（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；
（2）由可得结果；
（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.
【详解】
（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，
位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.
，
的分布列为

0
1
2
3





故.
（2）依题意，，即.
（3）由（2）知，则
当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列.
，即.
，
所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
【点睛】
关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.
32．（2021·山东·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．
①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．
【分析】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；
②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．
【详解】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列为：
X
3
4
5
6
P




E（X）＝＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，
∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，
∴，
∴，，•••，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，•••，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：
．
【点睛】
本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．
33．（2021·安徽马鞍山·二模（理））为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第天选择汽修培训的概率是(，2，3，…，7).
（1）求；
（2）证明：(，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(近似看作0).
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）元.
【分析】
（1）根据题意得，，；
（2）根据题意，第天选择汽修培训时，第天选择汽修培训的概率为，当第天选择面点培训时，第天选择汽修培训的概率为，进而得，再根据递推关系证明即可；
（3）设第天政府的补贴费为，则，再结合（2）得，再根据等比数列求和公式求和即可.
【详解】
解：（1）因为当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训，
所以，，；
（2）当第天选择汽修培训时，第天选择汽修培训的概率为，
当第天选择面点培训时，第天选择汽修培训的概率为，
则，而，
所以是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列；
（3）设第天政府的补贴费为，则，
又因为是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列，
所以，
所以，
故一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为元.
【点睛】
本题考查数列的递推关系的应用，实际生活中的概率问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，建立递推数列的模型，根据递推关系得，进而求解.
34．（2021·山东省实验中学一模）2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．
【答案】（1）证明见解析，；（2）分布列见解析，1；（3）套餐的8人， 套餐的12人；理由见解析．
【分析】
（1）依题意得，根据递推关系即可证明是等比数列，利用等比数列通项公式求得的通项，即可求得的通项公式；
（2）依题意求得第二天选择、类套餐的概率，列出的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；
（3）由的通项公式得，根据总人数即可求得分发、套餐的同学的人数．
【详解】
（1）依题意，，
则.
当时，可得，
∴数列是首项为公比为的等比数列.
.
（2）第二天选择类套餐的概率；
第二天选择类套餐的概率，
∴3人在第二天的有个人选择套餐，
的所有可能取值为0、1、2、3，
有，
∴的分布列为

0
1
2
3





故.
（3）由（1）知：，
∴，即第30次以后购买套餐的概率约为.
则，
∴负责套餐的8人，负责套餐的12人.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
35．（2021·辽宁实验中学模拟预测）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁.针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂.某种病毒抑制剂的有效率为60%，现设计针对此抑制剂的疗效试验：每次对病毒使用此抑制剂，如病毒被抑制，得分为2分，如抑制剂无效，得分1分，持续进行试验.设得分为时的概率为.
（1）进行两次试验后，总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）求证：.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）证明见解析.
【分析】
（1）两次试验后，随机变量可能取值为2､3､4，分别计算出概率后得分布列，由期望公式计算期望．
（2）求出的递推关系，得出是等比数列，求得其通项公式后，由累加法可得，从而证得结论成立．
【详解】
（1）解：两次试验后，随机变量可能取值为2､3､4

的分布列为

2
3
4




的学期望为
（2）证明：
由已知，
所以，即是以为首项，为公比的等比数列，


．
【点睛】
关键点点睛：本题考查随机变量的概率分布列和数学期望，第（2）问的解题关键是得出的递推关系，由递推关系构造新数列是等比数列，然后求得通项公式，从而得．
36．（2021·福建厦门·三模）每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．某公司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有，，，四种．每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼．锻炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币．
（1）某员工活动前两天获得，，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？
（2）通过抽调查发现：活动首日有的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前一天选择“球类”的员工中，次日会有的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工中，次日会有的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”．用频率估计概率．记某员工第天选择“球类”的概率为．
①计算，，并求；
②该集团公司共有员工1400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？
【答案】（1）；（2）①，，；②“球类”为600人，“田径”为800人.
【分析】
（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 计算出基本事件总数和事件包含基本事件的个数由古典概型概率计算公式可得答案；
（2）①由题可得、，当时，得，即，
所以是等比数列，由此得到；
②由①当足够大时，选择“球类”的概率近似于，用表示一天中选择“球类”的人数，则，由二项分布的期望公式可得答案.
【详解】
（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”，
由题意，基本事件总数有个，
事件包含基本事件的个数为个，
所以他恰好能集齐这四枚纪念币的概率．
（2）①由题可知：，
，所以，
当时，，
所以，
又因为，即是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，所以．
②依题意得，当足够大时，选择“球类”的概率近似于，
假设用表示一天中选择“球类”的人数，则，
所以，
即选择“球类”的人数的期望为600，选择“田径”的人数的期望为800．
【点睛】
本题考查离散型随机变量分布列及其期望、样本估计总体等知识；关键点是学生要有较好的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想和应用意识．
37．（2021·安徽蚌埠·模拟预测（理））排球队的名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他人的概率相等，由甲开始传球
（1）求前次传球中，乙恰有次接到球的概率；
（2）设第次传球后球在乙手中的概率为，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（2）求得，可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得数列的通项公式.
【详解】
（1）记事件为“前次传球中，乙恰有次接到球”，
；
（2）由题意，，，
，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，．
【点睛】
方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现时，构造等差数列；
（2）当出现时，构造等比数列；
（3）当出现时，用累加法求解；
（4）当出现时，用累乘法求解.
38．（2021·山西·二模（理））为了适应教育改革新形势，某实验高中新建实验楼、置办实验仪器、开设学生兴趣课堂，将分子生物学知识和技术引入其中，激发了广大学生的学习和科研热情．现已知该生物科研兴趣小组共有9名学生．在一次制作荧光标记小鼠模型时，将9名学生分成3组，每组3人．
（1）若将实验进程分为三个阶段，各个阶段由一个成员独立完成．现已知每个阶段用时1小时，每个阶段各成员成功率为．若任意过程失败，则该实验须重新开始．求一个组在不超过4个小时完成实验任务的概率；
（2）现某小组3人代表学校组队外出参加生物实验竞赛，其中一项赛程为小鼠灌注实验．该赛程规则为：三人同时进行灌注实验，但每人只有一次机会，每个队员成功的概率均为．若单个队员实验成功计2分，失败计1分．
①设小组总得分为，求的分布列与数学期望；
②主办方预计通过该赛程了解全国生物兴趣课程的开设情况．现从所有参赛队员中抽取人成绩计入总得分，若总得分大于的概率为，求数列的前15项和．
【答案】（1）；（2）①分布列见解析；期望为5；②．
【分析】
（1）一个组在不超过4个小时完成实验任务的概率，即求一个组失误0次与仅第一步失误1次的概率之和；
（2）①随机变量的可能取值为3，4，5，6，利用二项分布可求得分布列和期望；②利用对立事件，可得总得分大于的概率为，再进行数列求和，即可得到答案；
【详解】
解：（1）一个组失误0次的概率为；
仅第一步失误一次的概率为，
则一个组在不超过4小时完成任务的概率为．
（2）①随机变量的可能取值为3，4，5，6，
，，
，．
则的分布列为：

3
4
5
6





．
②总得分大于的概率为，
则的前15项和为．
【点睛】
本题是概率与数列知识的交会，涉及二项分布、对立事件、相互独立事件的概率计算，求解时注意辨别概率模型.
39．（2021·福建漳州·二模）某种玩具启动后，该玩具上的灯会亮起红灯或绿灯(红灯和绿灯不会同时亮起)，第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为.若第n次亮起的是红灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为.记第n次亮灯时，亮起红灯的概率为.该玩具启动前可输入，玩具启动后，当且第n次亮起红灯时，该玩具会唱一首歌曲，否则不唱歌.
（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮起红灯的次数为X，求X的分布列和期望；
（2）若输入，
（i）求数列的通项公式；
（ii）该玩具启动后，在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）（i）；（ii）最多唱7次歌.
【分析】
（1）由题意得X的所有取值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列，再求期望；
（2）（i）由题意得，转化为求解；
（ii）由（i）得到，再结合求解；
【详解】
（1）由题意，得X的所有取值为0，1，2，3，
因为表示前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，
所以.
因为表示前3次亮灯的颜色为“红绿绿”或“绿红绿”或“绿绿红”，
所以.
因为表示前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”，
所以.
因为表示前3次亮灯的颜色为“红红红”，
所以.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以.
（2）（i）由题意，得，
所以，
因为，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以.
（ii）由，得，又，所以n为正奇数，
由，得，
当n为奇数时，，所以，
所以该玩具启动后，在前20次亮灯中，当，9，11，13，15，17，19时，该玩具可能唱歌，所以该玩具启动后，在前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌.
【点睛】
方法点睛；(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．