2022年新高考数学二轮提升数列专题第28讲《数列与几何的交汇问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第28讲 数列与几何的交汇问题
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
由题意可知，直线与直线垂直，且直线过圆心，可求得和的值，然后利用等差数列的求和公式求得，利用裂项相消法可求得数列的前项和.
【详解】
因为直线与圆的两个交点关于直线对称，
所以直线经过圆心，且直线与直线垂直，
所以，，解得，，
则，，
以数列的前100项和为
．
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）
A．2014 B．2015 C．4028 D．4030
【答案】D
【分析】
根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.
【详解】
根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，
圆，圆，
相减可得直线的方程为：
圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，
，．

的所有项的和为．
故选：D
【点睛】
方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
3．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】
首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】
由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
4．（2012·江西信丰·高三月考（理））已知ABCD-A1B1C1D1为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第与第段所在直线必须是异面直线(其中是自然数)，设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是
A．1 B． C． D．0
【答案】A
【详解】
解：由题意，白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，黑蚂蚁也是过6段后又回到起点．
所以黑蚂蚁爬完201B段后回到A点，
同理，白蚂蚁爬完2011段后到回到D点；
所以它们此时的距离为1．
故选A．

5．（2020·四川省遂宁市第二中学校模拟预测（理））今有9节长的竹子，上细下粗，最下面相邻三节总容积为4升，最上面相邻四节总容积为3升，每节竹子的容积自上而下均匀递增．现用该竹子向底面为正方形且边长为50厘米、高为100厘米的长方体水池中注水，若将水池注满，则向水池注水的次数最少为（ ）（注：1立方米=1000升）
A．26 B．27 C．28 D．29
【答案】C
【分析】
将9节竹子的容积从上而下依次记为，设公差为，9节竹子总容积为升，根据题意列出方程组，求出首项和公差，得出，进而可得出结果.
【详解】
将9节竹子的容积从上而下依次记为，设公差为，9节竹子总容积为升，
则即解得，
，所以，
而水池的容积积为（立方米），
因为1立方米=1000升，所以0.25立方米=250升．
又因为，所以至少需要注水28次．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式和求和公式即可，属于常考题型.

二、多选题
6．（2021·吉林·长春市第二实验中学高二期中）已知双曲线且，设直线与双曲线在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，记的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．
C．数列为等差数列 D．
【答案】ACD
【分析】
根据双曲线的方程求出渐近线方程，设点，求出到两渐近线的距离，从而得到，即可得到的通项公式，再根据等差数列的前项和公式计算可得；
【详解】
解：因为双曲线的方程为且，所以渐近线方程为，设点，则且，记到两条渐近线的距离分别为，则、，
则，故
因此为等差数列，故，
故选：ACD.
7．（2021·湖北黄石·高三开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前n项和为
【答案】ACD
【分析】
对于A，用与表示，结合给定向量等式计算判断；对于B，求出的值即可判断；对于C，
转化为点到直线距离最大值并计算判断；对于D，求出数列的通项，代入并利用裂项相消法计算判断作答.
【详解】
依题意，，而点是弦的中点，则，
，而，
于是得，，即，A正确；
显然是顶角的等腰三角形，则，B不正确；
依题意，点到直线的距离之和等于点到直线距离的2倍，
由知，点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则点到直线距离的最大值是点O到直线的距离加上半径，
而点O到直线距离，则点到直线距离的最大值是，因此，，C正确；
由得，，则，
因此，数列的前n项和，D正确.
故选：ACD
8．（2021·河北·高三月考）若直线与圆相切，则（ ）
A．
B．数列为等差数列
C．圆C可能经过坐标原点
D．数列的前10项和为23
【答案】BCD
【分析】
根据直线与圆相切，列出方程，即可求得数列的通项公式，从而可判断AB；将代入，解之得，即可判断C，根据等差数列前n项和的公式即可判断D.
【详解】
解：由圆，则圆心，半径为，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离为，
即，
则，故A错误；
所以，则，
所以是以为公差的等差数列，故B正确；
将代入，解得，
则，解得，
所以当时，圆C经过坐标原点，故C正确；
设数列的前n项和为，
则，
所以，故D正确.
故选：BCD.
9．（2021·山东威海·高二期末）设直线与圆交于不同的两点An，Bn (nÎ N*)．已知a1=1，，记数列的前n项和为Sn，则（ ）
A． B．an=2n -1
C．Sn=2n+1-n-2 D．
【答案】BCD
【分析】
根据圆的弦长公式得，进而得到，化为，即可求得数列通项公式，从而得前n项和表达式，再利用裂项求和判断D项．
【详解】
的圆心为，半径为
所以圆心到直线的距离为
则，所以，则
所以，得 ，故A错，B正确；
前n项和为，故C正确；
由，故D正确．
故选：BCD


三、填空题
10．（2021·福建省龙岩第一中学模拟预测）已知一簇双曲线：(且)，设双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则________．
【答案】1011
【分析】
首先证明双曲线的焦点三角形的内切圆与轴切于双曲线的实轴顶点，然后结合已知条件求出的通项公式，然后利用等差数列的前项和求解即可.
【详解】
设双曲线的标准方程为：(，)，点为双曲线右支上一点，，为双曲线焦点，且，，
的内切圆与轴切于点，与、分别切于、，如下图所示：

由圆的切线性质可知，，，，
由双曲线定义可知，，
又因为，所以，故点坐标为.
又由双曲线：化成标准方程为：，
从而可知，，则，，
所以.
故答案为：1011
11．（2021·四川广元·高二期末（文））已知一族双曲线，设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为、，记的面积为，对任意不等式恒成立，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】
设，且点在两渐近线上的射影分别为，利用点到直线的距离公式，分别求得，，结合，得到，求得的面积为，得到，化简得到，求得，得到，即可求解.
【详解】
设，由双曲线的渐近线方程分别为，
可得两渐近线互相垂直，即，
设点在两渐近线上的射影分别为，
则为到直线的距离，即，
为到直线的距离，即，
由于，所以，可得，
所以的面积为，
又由点在双曲线上，可得，
所以，即，
所以，
所以
，
因为且，所以，所以，
又因为对任意不等式恒成立，
所以，所以的最小值为.

12．（2017·云南·二模（理））在数列中，，若平面向量与平行，则的通项公式为__________．
【答案】
【详解】
因为 与平行，所以，整理为： ，两边同时除以 ，可得 ，设 ，那么 ，采用累加法， ，整理为 ，而 ，所以 ，那么 ，故填： .
【点睛】本题考查了根据递推公式求通项公式，形如： 型，可采用累加法求通项；（2）形如的形式，可采用累乘法求通项；（3）形如，可转化为，其中，构造等比数列求通项；（4）形如，可通过两边取倒数，然后再按(3)的形式构造等比数列，（5） ，而本题方法不太常见，注意是如何构成辅助数列求通项.
13．（2021·全国·高二课时练习）已知圆O的半径为5，，过点P的n条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则n的取值集合为______.
【答案】##
【分析】
求出过点P的n条弦的最短弦长、最长弦长，即和，然后可得，即可求出答案.
【详解】
因为圆O的半径为5，，所以过点P的n条弦的最短弦长，
最长弦长为直径10，
则过点P的n条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，
即，解得，则，则n的取值集合为.
故答案为：
14．（2021·全国·高二单元测试）赵爽是我国古代的数学家､天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”.第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基础进行设计的.如图，四边形是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，再以正方形为“小”正方形向外作“弦图”，得到正方形……按此作法进行下去，记，，正方形的面积为.若，则___________.

【答案】
【分析】
设，，当时，设，，则有，数列是以25为首项，25为公比的等比数列，由此求得答案.
【详解】
解：设，，则，，所以.
当时，设，，则，，所以，，所以，
所以数列是以25为首项，25为公比的等比数列，所以，，所以.
故答案为：.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．
【答案】4032
【分析】
根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.
【详解】
根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，
圆，圆，
相减可得直线的方程为：
圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，
，即，

的所有项的和为．
故答案为：4032．
【点睛】
方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】.
【分析】
由圆中弦长公式求得，由求得，用错位相减法求得和，然后分离参数转化为求数列的最大项．
【详解】
圆心到已知直线的距离为，圆半径为，
所以，
所以，，
时，，，
所以是等比数列，公比为，所以．
设，则，
，
所以．
不等式对成立，
即对成立，，
设，则，
当时，，，
所以，
中最大项为．
∴．
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与圆相交弦长，考查错位相减法求和，数列不等式恒成立，求数列的最大项．求圆中弦长谅进几何法，即求出圆心到直线的距离，再由勾股定理得弦长，等差数列与等比数列相乘形成的新数列求和一般用错位相减法求和．不等式恒成立常常用分离参数转化为求数列的最大项或最小项．作差法是求数列最值的基本方法．

四、解答题
17．（2021·湖北·襄阳四中一模）已知椭圆经过点，离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点且在的上方），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，将、、如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．
【答案】（1）；（2）或为等差数列；证明见解析．
【分析】
（1）由题得到关于的方程组，解方程组即得解；
（2）设的斜率为，则直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再利用韦达定理化简得，即得解.
【详解】
解：（1）由点在椭圆上得，①，．
又②．
由①②得，．
故椭圆的标准方程为．
（2）或能构成一个等差数列．
椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，
设的斜率为，则直线的方程为③．
代入椭圆方程，整理得，易知．
设，则有④．
在方程③中，令，得，从而，
因为
=⑤，
将④代入⑤得．
而，所以，即为、的等差中项，
所以或为等差数列．
【点睛】
方法点睛：关于直线和椭圆的位置关系问题，经常要联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用韦达定理来化简求解.
18．（2021·江苏淮安·高二期末）已知椭圆的离心率为，且过点，设M．F分别是椭圆E的左、右焦点．
（1）是椭圆E的标准方程；
（2）若椭圆E上至少有个不同11的点，使得，，，…组成公差为d的等差数列，求公差d的取值范围
（3）若过右焦点F的直线交椭圆E于A，B两点，过左焦点M的直线交椭圆E于C，D两点，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2）且；（3）．
【分析】
（1）由，已知点的坐标代入椭圆方程，同时结合可解得得椭圆方程；
（2）由椭圆焦半径最小值为1，最大值为3，知，，，…中只要最小项为，数列的第11项不大于3，或最大项为，数列的第11项不小于1即可得．注意公差不可能为0．
（3）先计算出当直线中有一个斜率为0（或不存在）时，的值，在直线的斜率存在且不为0时，直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得，然后由弦长公式求出，同理得，观察得为常数，利用基本不等式得的最小值，比较上面的值可得结论．
【详解】
（1）由题意，由，故解得，
∴椭圆标准方程是；
（2）设是椭圆上的点，则，，
∵等差数列，，，…至少有11项，
若，则，解得，
若，则，解得，
若，则满足条件的点最多有4个，不合题意．
∴所求的范围是且；
（3）当斜率为0时，，，，同理当斜率不存在时，也有，
当斜率存在且不为0时，设斜率为，方程为，设，
由得，
∴，，
，
设，同理可得，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．∴．，
∴的最小值为．
【点睛】
方法点睛：本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查椭圆的焦半径的概念，直线与椭圆相交中的最值．求最值问题的方法是“设而不求”的思想方法，应用韦达定理求得弦长，从而得出一个常数后利用基本不等式求得最小值．解题时注意对直线的斜率分类讨论．否则过程不完整，易出错．
19．（2021·江苏·高二专题练习）如图，在边长为1的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆；圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切；圆O3与圆O2外切，且与AB、BC相切；…；圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切；如此无限继续下去．记圆On的面积为an(n∈N*)．

（1）证明：数列{an}是等比数列；
（2）证明：数列{an}的前n项和Sn＜π·S△ABC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）结合图形，得到两个相邻圆的半径之间的关系，即可得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，即可证明.
（2）由（1）得到Sn ，即可证明不等式.
【详解】
（1）记cn为圆On的半径，则c1＝tan30°＝；因为＝sin30°＝，所以cn＝cn-1，n≥2；故{cn}是首项为，公比为的等比数列，即cn＝×()n-1＝×()n；因为圆On的面积为an，所以π··()2n＝·31-2n，＝＝，因此{an}是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）可知，a1＝，公比q＝，an＝×()n-1，所以{an}的前n项的和Sn＝＝(1－()n)，因为n∈N*，所以Sn＝(1－()n)＜；又S△ABC＝，所以Sn＜π·S△ABC．
20．（2021·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知个圆、、、与轴和直线均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆.

（1）求数列的通项公式；
（2）记个圆的面积之和为，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设圆、分别切轴于点、，过点作，垂足为点，可得出，由可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式可证得结论成立.
【详解】
（1）直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，且直线过点，
在直线上，，如下图所示：

设圆、分别切轴于点、，过点作，垂足为点，
则，其中，，，
，可得，
，，则，
为等比数列且首项为，公比为，
；
（2）
.
【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式或进行求解；
（2）前项和法：根据进行求解；
（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列中有，即第项与第项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列中有，即第项与第项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（、均为常数，且，）.
一般化方法：设，得到，，可得出数列是以的等比数列，可求出；
②取倒数法：这种方法适用于（、、为常数，），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；
⑦（、为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.
21．（2020·上海市嘉定区第一中学高二月考）已知数列是公差的等差数列，记为其前n项和
（1）若，，依次成等比数列，求其公比q；
（2）若，，求证：点都在同一条直线上；
（3）若，，，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意，点都在这个圆内或圆周上，如果存在，写出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）存在，.
【分析】
（1）根据，，依次成等比数列解方程即可求出q；
（2）利用向量的运算可知量与共线即可求证；
（3）计算，根据二次函数可得，可知存在半径最小的圆满足题意.
【详解】
（1）因为，，依次成等比数列，所以，
即，
因为，所以，
所以．
（2）因为，
而，
所以，
所以向量与共线，
所以点都在同一条直线上．
（3）因为，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以存在半径最小的圆满足题意．
【点睛】
关键点点睛：利用向量的运算结合数列的性质及运算，证明点都在同一条直线上，根据向量的模的运算确定是否存在符合条件的圆，属于较难题目.
22．（2020·浙江·高一期末）已知抛物线的焦点为F，过原点O且斜率为的直线l与抛物线另一个交点为M，延长到点N，使得M为线段的中点，以N为圆心，长为半径作圆N，过F、M两点的直线m与抛物线另一个交点为A，与圆N另一个交点为B．


（1）设直线的斜率为，求的值：
（2）当成等比数列时，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）设直线l的方程为 ，由，求得M的坐标，同理得到A的坐标，然后由化简求解.
（2）设圆心坐标为，由M为线段的中点得到及半径，设直线MF的方程，求得圆心到直线的距离，由 弦长公式得，再由抛物线的定义得到，然后根据成等比数列，由化简求解.
【详解】
（1）因为抛物线，
所以，
因为直线l过原点O且斜率为，
所以设 ，
由，解得，
所以 ，同理 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
化简得：.
（2）设圆心坐标为，
则，解得，即，
半径为：，
设直线的方程为：，
则圆心到直线的距离为：，
所以，
由抛物线的定义得：，
因为成等比数列，
所以，即，
所以，
整理得：，
两边平方得，整理得到，
故即，解得．
直线的方程为或
【点睛】
思路点睛：第一问根据直线过原点，联立直线方程与抛物线方程，易得M，A的坐标，然后由A，F，M共线，斜率相等求解；第二问由成等比数列，要得到三个的长度，利用抛物线的定义易得，重心在如何求上，由于涉及到圆，自然会想到用“”法更为简单.