2022年新高考数学二轮提升数列专题第24讲《数列的文化类问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第24讲 数列的文化类问题
一、单选题
1．（2021·内蒙古包头·一模（文））在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4丈，1丈10尺，若这个月有30天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列前项和公式可求得每天织布数所成等差数列的公差，由等差数列通项公式得到和，作比即可得到结果.
【详解】
由题意知：一个月共织了尺布，且每天的织布数成等差数列，设公差为，
，解得：，
，，
.
故选：C.
2．（2021·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
用表示这个数列，依题意，，则，，
第四个数即.
故选：C.
3．（2021·河北·高三月考）高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前n项和为，，，，则n的值为（ ）
A．8 B．11 C．13 D．17
【答案】D
【分析】
由题意可得，，两式相加可得，然后代入中可得答案.
【详解】
根据题意，，，，
即，
两式相加得到
所以，
故选：D．
4．（2021·福建·宁德市第九中学高二月考）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则的值为（ ）

A．208 B．105 C．120 D．210
【答案】C
【分析】
通过观察法可得，再利用累加法求出通项公式即可计算的值.
【详解】
依题意，，，，…，于是有，
则当时，，而满足上式，因此，，
所以.
故选：C
5．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，数列是以为公差的等差数列，然后结合等差数列的求和公式，求得的值，进而求得的值，得到答案.
【详解】
由题意，数列是以为公差的等差数列，
因为，解得，
所以.
故选：C.
6．（2021·全国·高三专题练习）我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣．20岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（ ）

A．192盏 B．128盏 C．3盏 D．1盏
【答案】A
【分析】
设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，再结合等比数列前项和公式计算即可.
【详解】
设这个塔顶层有盏灯，
则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，
所以，解得，
所以这个塔的最底层有盏灯．
故选：A．
7．（2021·河南洛阳·高二月考（文））十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于8，则需要操作的次数的最小值为（ ）
参考数据：
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
由题意，先求出前几次操作去掉的区间长度，然后总结出第次操作去掉的区间的长度为，把次操作去掉的区间的长度之和转化为求等比数列的前项和，再求解不等式即可.
【详解】
解：记为第次去掉的长度，，剩下两条长度为的线段，第二次去掉的线段长为，…，第次操作后有条线段，每条线段长度为，
因此第次去掉的线段长度为，
所以，，
不等式两边同取常用对数有：，则，
所以的最小值为6．
故选：C．
8．（2021·全国·高二课时练习）“手指推大厦”是科技馆中常见的一个游戏，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，体现了“多米诺骨牌效应”的科学原理.已知“手指推大厦”所用骨牌满足的数学表达式是，其中为第块骨牌的体积（或质量），为第1块骨牌的体积（或质量），为后一块骨牌与其前一块骨牌的体积（或质量）的比值.现在有，两副质地不同的骨牌，它们第一块骨牌的体积不相同，但值相同，记，分别是，两副骨牌第块的体积，已知，，，则的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】
由题意可得①，②，③，
解方程组，结合题设即可求解
【详解】
由题可知，和组成的数列都是以为公比的等比数列.
由题意可列出如下的方程：
①，
②，
③，
由①可得④，
由②可得⑤，
由③可得⑥，
由④⑤⑥得，，
所以，即.
因为，和都是整数，
所以符合条件的解只有，这一组.
综上所述，，
故选：D.
9．（2021·江苏·高二专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有31天，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．15
【答案】A
【分析】
由题意可得：每天织布的量组成了等差数列，设公差为（尺，运用等差数列的通项公式和的求和公式即可得出．
【详解】
解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列，
（尺，（尺，设公差为（尺，
则
．
故选：A．

二、多选题
10．（2021·江苏·高二专题练习）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹丈，1丈尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
【答案】BD
【分析】
由题意可知，数列为等差数列，通过分析条件得到，可得到数列是等比数列故B正确；根据数列的通项公式可推导出AC是错误的；根据等差数列性质以及数列通项公式得到D是正确的.
【详解】
由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，
由题意可得，解得，
，
，（非零常数），
则数列是等比数列，B选项正确；
，，
，A选项错误；
，
，C选项错误；
，
，
所以，D选项正确；
故选：BD.
11．（2021·江苏·高二单元测试）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（ ）

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
【答案】AB
【分析】
根据题意得到由夏至到冬至的晷长构成等差数列，由冬至到夏至的晷长也构成等差数列，进而所处首项和公差，利用等差数列的基本量运算进而判断每个答案.
【详解】
现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，
其中，，公差.
同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，
其中，，公差，
故相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸，即一尺，故选项A正确；
因为春分的晷长为，所以，
因为秋分的晷长为，所以，
故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；
因为小雪的晷长为，所以，
即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；
因为立春的晷长和立秋的晷长分别为，，
，，
所以，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误.
故选：AB.
12．（2021·全国·高二课时练习）《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】BD
【分析】
利用等差数列前项和公式列方程，由此求得，进而求得.由此对选项逐一分析从而确定正确选项.
【详解】
由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，首项，
则，解得，
∴.
∵，∴，
∴数列是等比数列，B选项正确；
∵，∴，A选项错误；
，∴，C选项错误；
，，
∴，D选项正确.
故选：BD.
13．（2021·江苏·海安高级中学高二期中）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
【答案】ACD
【分析】
由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，利用等差数列前项和公式得到的首项和公差，再分类讨论分别求出每种情况中男、子、伯、侯、公五个等级分到的领地数，再利用概率对四个选项逐一分析，即可得正确选项.
【详解】
由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，设其前项和为，
则，得．因为，均为正整数，所以有如下几种情况：
，，，共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表所列：

男
子
伯
侯
公
，
8
9
10
11
12
，
6
8
10
12
14
，
4
7
10
13
16
，
2
6
10
14
18
由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是；故选项A正确；
为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是；故选项B不正确；
为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是；故选项C正确；
为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是，故选项D正确；
故选：ACD．
14．（2021·重庆·西南大学附中高三开学考试）“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线．连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN=15°；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，…），则（ ）

A．数列是公比为的等比数列 B．
C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前n项和
【答案】BD
【分析】
应用勾股定理、三角函数得到此过程中前后两个正方形的边长关系，即可知A、C正误，并写出的通项公式，进而求通项公式，即知B、D正误.
【详解】
由题设，，若，则，即，
∴，即，，故，B正确；
∴，以此类推可得，
∴是公比为的等比数列且，A、C错误；
由图知：，而，
∴，故，D正确.
故选：BD
15．（2021·广东珠海·二模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ）

A．数列是等比数列
B．
C．恒成立
D．存在正数，使得恒成立
【答案】BC
【分析】
推导出，利用累加法求出数列的通项公式，可判断AC选项正误，利用分组求和法可判断B选项的正误，利用数列的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
由题意可得，，，
以此类推可得，则，
所以，
，所以，数列不是等比数列，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，恒成立，C选项正确；
对于D选项，恒成立，则数列单调递增，
所以，数列无最大值，因此，不存在正数，使得，D选项错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现时，构造等差数列；
（2）当出现时，构造等比数列；
（3）当出现时，用累加法求解；
（4）当出现时，用累乘法求解.
16．（2021·全国·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合，小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列一般以递推的方式被定义：，，则（ ）
A．
B．
C．是等比数列
D．设，则
【答案】ABC
【分析】
对A，根据递推关系直接计算即可；对B，利用数学归纳法证明；对C，根据等比数列的定义直接化简计算可得；对C，得出，，根据可判断.
【详解】
对A，，，，，，，故A正确；
对B，，
假设成立，
当时，成立，设时成立，即，
则当时，


，假设成立，故B正确；
对C，，
是等比数列，故C正确；
对D，，
同理，
因为斐波那契数列满足，，即，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
关键点睛：本题考查斐波那契数列，解题的关键是根据递推关系正确化简.


三、填空题
17．（2021·全国·高三专题练习）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线．具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为，，，以C为圆心、CB为半径作劣弧交于点；以A为圆心、为半径作劣弧交于点；以B为圆心、为半径作劣弧交于点，依此规律，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线．记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，…依次为，，，…，则______．
【答案】
【分析】
根据给定条件，确定这些劣弧的半径从小到大排成一列得等差数列，再利用前n项和公式计算即得.
【详解】
依题意，这些劣弧的半径从小到大排成一列得等差数列，首项为1，公差为1，则第n个劣弧的半径长为n，
因每个劣弧的圆心角均为，于是得第n个劣弧的弧长，
所以．
故答案为：
18．（2021·江苏南通·模拟预测）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当时，则符合条件的所有a的和为________．
【答案】8184
【分析】
由题设a=3m+2=5n+3, m, n∈N*，则3m=5n+1，对m分类分析，可知m=5k十2，得到a=15k+8，k∈Z，由a∈[1,500]求得a的取值，再由等差数列的前n项和求得答案.
【详解】
由题意知，a=3m+2=5n+3, m, n∈N*，
则时，不存在；
当时，不存在，
当时，，满足题意；
当时，不存在
当时，不存在，
故，

则共33个数，且这些数构成以8为首项，15为公差的等差数列，
这33个数的和为.
故答案为：8184
19．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为______．

【答案】
【分析】
分别求出，进而可得，可得是等比数列，再利用等边数列求和公式求，利用单调性解不等式即可得答案.
【详解】
是个边长为的小正方形面积之和，所以 ，
是个边长为的小正方形面积之和，所以；
是个边长为的小正方形面积之和，所以；
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以即，
所以，
因为在上单调递减，
而不成立，
，即，
所以需要操作的次数的最小值为次，
故答案为：.
20．（2021·全国·高二专题练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1-4-2-1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．例如：正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．“冰雹猜想”可表示为数列（为正整数），．若，则的所有可能取值之和为______．
【答案】83
【分析】
利用“冰雹猜想”可表示为数列的递推公式，结合，逆推、、、、的可能值，最后加总所有可能情况值即可.
【详解】
由题意，可能情况有：
1、，则；
2、，则；
3、，则；
4、，则；
∴的所有可能取值之和.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：根据，结合递推公式逆推各步骤的可能值，确定各情况下的.
21．（2021·湖北蕲春·高三月考）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，则符合条件的所有的和为______.
【答案】
【分析】
分析可知整数的取值形成以为首项，以为公差的等差数列，求出这个数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】
由题设，、，则.
当，不存在；
当，不存在；
当，，满足题意；
当，不存在；
当，不存在.
故，所以，，，共个数.
且这些数组成以为首项，为公差的等差数列，
所以这个数的和为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
22．（2021·全国·高三专题练习（文））分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点C、D，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图二中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依次类推，我们就得到了以下一系列图形；

记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，若对任意的正整数n，都有．则正数a的最大值为______．
【答案】
【分析】
由题意归纳可得()，利用累加法可得，进而可得，即，即可得解.
【详解】
由题意，得图1中的线段为a，，
图2中的正六边形边长为，；
图3中的最小正六边形的边长为，；
图4中的最小正六边形的边长为，；
由此类推，可知，()，
故当时，
，
当时，，满足上式，
所以，从而，即，
所以存在最大的正数．满足题意．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了归纳推理的应用，考查了利用累加法求数列的通项公式，属于中档题.
23．（2021·全国·高二课时练习（理））两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，第个五角形数记作，已知，则前个五角形数中，实心点的总数为__________.[参考公式：]

【答案】
【分析】
由题意得再累加求得即可得出第个五角形数.再进行求和即可.
【详解】
由题得
.故前个五角形数中,实心点的总数

故答案为：
【点睛】
本题主要考查了累加法求数列的通项公式方法以及数列求和的内容,属于中等题型.
24．（2021·全国·高二专题练习）1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC､ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有，则a的值为___________.
【答案】1010
【分析】
由题设知每次的增量是前一次增量的倍，增量通项为，进而可得，结合题设恒成立即可求最大的正整数a.
【详解】
由题设知：且，
图2相对图1：线段长度之和的增量为，
图3相对图2：线段长度之和的增量为，
图4相对图3：线段长度之和的增量为，
…
图n相对图：线段长度之和的增量为，
∴，要使对任意的正整数n成立，
∴，即，又a为正整数，
∴.
故答案为：1010.
【点睛】
关键点点睛：根据题意写出线段和在每次操作后增量的通项，进而得到第n次线段和，结合数列不等式恒成立求参数的最大值.

四、解答题
25．（2021·全国·高二课时练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．
（1）当时，试确定使得需要多少步雹程；
（2）若，求m所有可能的取值集合M．
【答案】（1）12；（2）.
【分析】
（1）直接利用递推关系逐步计算可得使得需要多少步雹程；
（2）由，利用递推关系，分类讨论逆推出的不同取值，进而可得答案.
【详解】
当时，即根据上述运算法得出：


故当时，使得需要12步雹程；
（2）若， 根据上述运算法进行逆推，
或；
若，则或；
当时，或；
若时，或；
当，则或；
当时，；
当时，，
故所有可能的取值集合．
26．（2021·全国·高二课时练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数､正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.



【答案】三角形数：第五个数15，第六个数21. 正方形数：第五个数，第六个数.五边形数：第五个数，第六个数.
【分析】
找到规律后代入计算即可.
【详解】
三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，
第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21.
正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数.
五边形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数.