2022年新高考数学二轮提升数列专题第29讲《证明数列不等式：通项法》（2份打包，解析版+原卷版）

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第29讲 证明数列不等式:通项法 参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2021秋•邛崃市月考）已知函数，其中为实常数．（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；（2）证明：当时，；（3）求证：．【解答】解：（1）由题意则即在，上单调递增，，，；（2）即证，，，设，在，上单调递减，，，，；（3）利用，，，令，得：，，，，累加得：，当时，；2．（2021•广州二模）已知数列和满足，且对任意都有，．（1）求数列和的通项公式；（2）证明：．【解答】（1）解：对任意都有，，．，即．数列是首项为，公差为1的等差数列．，且，．．，，（2）证明：，，．所证不等式，即．①先证右边不等式：．令，则．当时，，所以函数在，上单调递减．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．②再证左边不等式：．令，则．当时，，所以函数在，上单调递增．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．．3．（2021秋•泰山区校级月考）设函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）当且时证明不等式：．【解答】解：（1），当时，，在上递增；当，，解得，，，①当时，，，，得，，得，②当时，，，，得，，，得；综上可得，当时，的增区间为；当时，的增区间为，，减区间为；当时，的增区间为，，减区间为，；（2）时，，令，在恒正，在，递增，时，，即当时，，即，对任意的为正整数，取，有，则．4．（2021•成都模拟）已知函数，．若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在，上恒成立，求正数的取值范围；（Ⅲ）证明：．【解答】解：当时，，则函数的定义域为，则，则当时，，则单调递增；则当时，，则单调递减；所以单调递增区间为，单调递减区间为（Ⅱ）因为，，，则（1），．①当，时，此时，当，则，在，上是减函数，所以在上存在，使得（1），在，上不恒成立；②当时，，在，上成立，在，上是增函数，（1），在，上恒成立，综上所述，所求的取值范围为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，在，上恒成立，，令，有，当时，，令，有，即，，2，3，，，将上述个不等式依次相加得：，整理得．5．（2021•广元模拟）已知函数，．（Ⅰ）若与在处相切，试求的表达式；（Ⅱ）若在，上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【解答】解：（Ⅰ）由于与在处相切且得：（2分）又（3分）（Ⅱ）在，上是减函数，在，上恒成立．（5分）即在，上恒成立，由，，又得（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：当时：在，上是减函数，当时：（1）即所以从而得到：（10分）当时：当时：当时：当时：，，上述不等式相加得：即．，（12分）6．证明：（其中．【解答】证明：下面用数学归纳法来证明：（1）先证明：；①当时，命题显然成立；②假设当时，有，则，即当时，命题也成立；由①、②可知；（2）再证明：；①当时，命题显然成立；②假设当时，有，则，即当时，命题也成立；由①、②可知；综上所述，．7．设，求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1）①时，结论成立；②假设时，结论成立，即，时，，，，当时，不等式也成立．由①②可知，不等式成立；（2），即．即，，．，．8．（2021春•太原校级月考）已知函数在处取得极值．（1）求实数的值，并讨论的单调性；（2）证明：对任意的正整数，不等式都成立．【解答】解：（1）函数，，当时，取得极值，，解得，经检验符合题意，，当时，，于是在上单调递增；当时，，于是在上单调递减．（2）法一：由（1）得：是在上的最大值，，故，（当且仅当时，“”成立），对任意正整数，取得：，，故；（方法二）数学归纳法证明：当时，左边，右边，显然，不等式成立．假设，时，成立，则时，有；作差比较：，构建函数，则，在，单调递减，，取，，即，亦即，故时，有，不等式成立，综上可知，对任意的正整数，不等式都成立；方 法三   ．9．（2021•河北模拟）已知函数在处取得极值0．（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）若关于的方程在区间，上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数，不等式都成立．【解答】解：由已知得，在处取得极值0，，，解得：，．由知．则方程即，令，则方程在区间，上恰有两个不同的实数根，，当时，，故在上是减函数；当时，，故在上是增函数；从而有：，．由知的定义域为，且，当时，，故在上是减函数；当时，，故在上是增函数；为在上的最小值，，故，其中当时等号成立，对任意正整数，取，得，，从而有：，分别取，3，，，得到：故成立．10．（2021•江西二模）已知函数，（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若函数在，内有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立．【解答】解：（1）由题意得，，且，曲线在处的切线与直线垂直，（1），解得，则，的几何意义表示以为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，，故；（2），当时，，则，函数在单调递增，函数在，内有两个零点不成立；当时，由得，，舍去，当时，，则函数在区间上递增，当时，，则函数在区间上递减，当时，函数取到极大值，也是最大值，函数在，内有两个零点，，解得，即，则实数的取值范围是：；（3）设，，则在上是增函数，在上是增函数，则（1），令为正整数），代入得，，分别取，2，3，，得：，，，，，以上个式子相加得：，综上可得，对任意的正整数，不等式都成立．