2022年新高考数学二轮提升数列专题第31讲《证明数列不等式：放缩法》（2份打包，解析版+原卷版）

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第31讲 证明数列不等式：放缩法 一、解答题1．（2021·四川·雅安市教育科学研究所高一期末）设数列的前项和为，且成等差数列．（1证明为等比数列，并求数列的通项；（2）设，且，证明．（3）在（2）小问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围.2．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数，，．（1）求的最大值；（2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．3．（2021·四川·射洪中学高三月考（文））已知函数，，.（1）求的最大值；（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；（3）证明不等式：.4．（2021·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且.（1）计算、、，猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明数列的通项公式；（3）证明不等式对任意恒成立.5．（2021·全国·高二单元测试）设数列的前项和为，已知，且．（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，且，证明；（3）在（2）的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．6．（2021·全国·高三月考（理））设函数，其中．（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当，且时，证明不等式．7．（2021·全国·高二课时练习）已知数列，前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立．（1）求数列的通项公式；（2）已知关于n的不等式…对一切恒成立，求实数a的取值范围；（3）已知 ，数列的前n项和为，试比较与的大小并证明．8．（2021·四川·树德中学高一月考）已知数列满足递推关系，，又.（1）当时，求数列的通项公式；（2）若数列满足不等式恒成立，求的取值范围；（3）当时，证明.9．（2021·吉林·乾安县第七中学高二月考（理））已知函数 (是自然对数的底数，).（I）证明：对，不等式恒成立；（II）数列的前项和为，求证：．10．（2016·江苏·一模）数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.11．（2011·浙江嘉兴·一模（文））已知函数（1）若函数是上的增函数，求的取值范围；（2）证明：当时，不等式对任意恒成立；（3）证明：12．（2021·四川·石室中学高一期末）已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是，且（且），．（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）对任意的正整数，当]时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设四边形的面积是，求证：．13．（2021·江苏·高二单元测试）设各项均为正数的数列的前项和为，若构成等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意正整数，有14．（2021·浙江·学军中学高三期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有（1）求的通项公式；（2）设数列满足，求证：.15．（2021·河北·高三专题练习）设数列的前项和为，满足，且，，成等差数列．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．16．（2022·全国·高三专题练习（理））设数列的前项和为.已知，，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明:对一切正整数，有.17．（2021·浙江温州·一模）设为正项数列的前项和，满足.（1）求的通项公式；（2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围；（3）设（其中是自然对数的底数），求证：.18．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性，并证明：；（2）若函数与的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围.19．（2021·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数），其中a∈R.（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：.20．（2021·云南·模拟预测（文））已知函数（１）讨论的单调性；（2）证明：．21．（2021·山东·模拟预测）函数，（1）判断时，的零点个数，并加以说明；（2）正项数列满足，，①判断数列的单调性并加以证明.②证明：22．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：（i）；（ii）证明：．23．（2021·浙江嘉兴·一模）已知数列满足，.（Ⅰ）判断数列的单调性；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）证明证明：.24．（2021·浙江·镇海中学高三期中）已知数列满足上：，.（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若，判断数列的单调性并说明理由；（3）若，求证：.25．（2021·云南昆明·高三月考（理））已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）证明：（，）.