2022年新高考数学二轮提升数列专题第7讲《数列求和错位相减法》（2份打包，解析版+原卷版）

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第7讲 数列求和:错位相减法参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．（2020•新课标Ⅰ）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【解答】解：（1）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，可得，即，即为，解得舍去），所以的公比为；（2）若，则，，则数列的前项和为，，两式相减可得，化简可得，所以数列的前项和为．2．（2021•天津模拟）已知数列的前项和为，且满足．数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列与的通项公式．（2）若，数列的前项和为，恒成立，求的范围．【解答】解：（1），可得，解得，时，，即为，可得数列为首项和公比均为2的等比数列，即有，；数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．可得，即为，解得，又，可得，；（2），，，两式相减可得，化简可得，即有，恒成立，可得．即的范围是，．3．（2021秋•正定县校级月考）已知数列为公差不为零的等差数列，，各项均为正数的等比数列的第1项、第3项、第5项分别是、、．（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和．【解答】解：（1）设数列的公差为，数列的公比为由题意，得，即，解之得（舍去而的首项，公比满足，得综上所述，数列与的通项公式分别为、；（2）由（1）得①两边都乘以9，得②①②，得数列的前项和4．（2021•武清区校级模拟）已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前100项和．（Ⅲ）设数列的通项公式为：，，求．【解答】解：（1）由；两式相减得即，化简得，解得或（舍去），将代入，得，解得，所以．由，得，所以数列为等差数列，令其公差为；又、，则，解得．所以．（2）令的前项和为，易知；均为递增数列，且时，、时，，则数列的前100项和满足，所以．（3）由，，得．所以①；②，则①②得．所以．5．（2020秋•天津期末）已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【解答】解：（Ⅰ）依题意，由，，可得，解得，，，，对于数列：当时，，当时，，当时，也满足上式，，．（Ⅱ）由题意及（Ⅰ），可知当为奇数时，，当为偶数时，，令，，则，，，两式相减，可得，，，，，．6．（2021秋•长春月考）设等差数列的前项和为，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，，可得，解得，，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故①①，可得②①②得，，所以．7．（2021•鼓楼区校级开学）已知数列的前项和为，且，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解答】解：（1）依题意，当时，由，可得，两式相减，得，又，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，．（2）由（1），可得，则，，两式相减，得，．8．（2021秋•长春月考）设数列的前项和为，，．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【解答】（Ⅰ）证明：数列的前项和为，，可得，，则，所以，有，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，故，①①，，②①②得，，所以．（12分）9．（2021春•湖北期中）设数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【解答】解：（1）数列满足，．所以：，，，利用累加法：，整理得：，（首项符合通项），故．（2）由（1）得，所以①，②，①②得：，整理得：．10．（2021秋•光明区月考）已知数列满足．（1）记的前项和为，求；（2）记，求的前项和．【解答】解：（1）数列满足，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以：．（2）已知：，，，，由于所以：①，②，①②得：，整理得：．11．（2021•迎泽区校级二模）已知等差数列的前项和为，且，．数列满足．（1）求和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由，得，又，则，所以；当时，有，得，当时，由得，两式相减得，所以，又不满足上式，所以；（2）证明：根据题意，，所以，两式相减得，故．