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2023届高三开学摸底考试理科数学试卷（全国卷）
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2023届高三开学摸底考试理科数学试卷（全国卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，集合，则( ) A. B. C.或 D.或2.复数z满足，则( )A. B. C. D.3.已知向量a，b满足，，则( )A.4 B.3 C.2 D.04.已知数列满足，，设，使不等式成立的n值是( )A.4或5 B.5 C.5或6 D.65.以抛物线的焦点F为圆心，4为半径的圆C交于不同的两点A，B，与的准线交于不同的两点P，Q，且，线段AQ与交于点E，则( )A.5 B.6 C. D.6.执行如图所示的程序框图，若输入的k的值为8，则输出的n的值为( ) A.7 B.6 C.5 D.47.如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是( )A.在平面内存在直线与平面EFG平行B.在平面内存在直线与平面EFG垂直C.平面平面EFGD.直线与EF所成角为45°8.已知是等比数列的前n项和，且公比，其中，且满足，则下列说法错误的是( )A.数列的公比为2 B.C. D.9.已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是( ) A.1 B. C. D.210.电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是( )A. B. C. D.11.设，是双曲线的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的离心率为( )A. B.5 C. D.12.已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点(1，0)对称，当时，，则的值为( ).A.-2 B.-1 C.0 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_________.14.圆心在直线上，且过两圆和的交点的圆的方程是_______________.15.已知函数在区间上的最小值为，则_______.16.函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.18.如图，在四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，PD和AN交于点E.(1)求证：平面平面PDG；(2)求直线PD与平面AMN所成角的正弦值.19.随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示(把2015年到2019年分别用编号1到5来表示).(1)求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；(2)由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.附：，.20.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点拾好是一个直角三角形的三个顶点，直线与椭圆C有且只有一个公共点T.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线不过点T且与椭圆C相交于A，B两点，直线TA与直线TB的斜率之和为2，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21.已知函数，.（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数m，n，使得直线与曲线相切，求的值；（2）若函数有零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4 – 4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（I）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，直线l与y轴交于点M，求的值.23.[选修4 – 5：不等式选讲]已知函数.(I)求的最小值m；(Ⅱ)若正数，满足，证明:. 答案以及解析1.答案：C解析：因为全集，集合，所以或.故选C.2.答案：B解析：，∴复数，故选B.3.答案：B解析：.故选B.4.答案：D解析：，，则数列是公差为2的等差数列.又，则，即，，数列是递增数列.，，，有且只有满足条件，故选D.5.答案：C解析：如图所示，设PQ交x轴于N，过E作，垂足为M，由题意结合抛物线的定义可知，在中，.易知，所以，所以在中，，解得，则，故选C. 6.答案：C解析：输入，，，；，，；，，；，，；，，；，结束循环，输出.故选C.7.答案：D解析：设BD交AC于点O，EF交BD于点P，连接，PG.因为，，所以.因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG.又平面，故A正确.连接，.因为平面，所以.又，所以.因为平面，所以.又，，所以平面，所以.又，所以.因为，所以平面EFG.又平面，故B正确.因为，，EG，平面EFG，，平面EFG，所以平面EFG，平面EFG.又因为平面，平面，，所以平面平面EFG，故C正确.因为，为等边三角形，故直线与AC所成角为60°，即直线与EF所成角为60°，故D不正确.故选D.8.答案：C解析：根据题意知等比数列的公比为，记，则，所以解得故，则， ，所以，选项C错误，故选C.9.答案：A解析：如图，是正四棱锥的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，O是圆心（球心）， 设正四棱锥的底面边长为a，则，，设，则由得，四边形ABCD的面积， 正四棱锥的体积， ，当时，在（0，1）上单调递增，当时，，在（1，3）上单调递减，当时，取得极大值也是最大值. 此时高.故选A. 10.答案：B解析：由题意，可知AC之间未连通的概率是，连通的概率是.EF之间连通的概率是，未连通的概率是，故CB之间未连通的概率是，故CB之间连通的概率是，故AB之间连通的概率是，故选B.11.答案：C解析：点到渐近线的距离，而，所以在中，由勾股定理可得，所以.在中，，在中，，所以，则有，解得（负值舍去），即.故选C.12.答案：C解析：因为是R上的偶函数，所以，又的图象关于点(1，0)对称，则，所以，则，得，即，所以是周期函数，且周期，当时，，则，，则，则.13.答案：解析：方法一：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.方法二：.14.答案：解析：设所求圆的方程为，即，则，此圆的圆心.因为圆心在直线上，所以，解得，所以所求圆的方程为.15.答案：5解析：函数，，. 函数的最小值为，，.16.答案：解析：函数.函数恰有两个极值点是方程的两个不相等的实数根.令，且，，设，在同一坐标系内画出两个函数的图像，如图所示. 要使这两个函数有两个不同的交点，应满足，解得，所以实数a的取值范围为. 17.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因为，所以， 因为，所以，所以，.（Ⅱ）因为的面积， 所以. 由余弦定理可得， 所以， 所以的周长为.18.答案：(1)证明过程见解析.(2)正弦值为.解析：(1)平面ABCD，平面ABCD，.，，，.又平面PDC.平面EAC，平面平面PDC.(2)解法一：由(1)知，，平面ABCD，平面ABCD，，又平面PAC.又平面PAC，又平面AMN，平面平面PAC.易知平面平面，过点P作于点H，则平面AMN，连接EH，则为直线PD与平面AMN所成的角.在中，P，则.设，易知F为PC的中点，，连接PM，则，，在中，，得，，故直线PD与平面AMN所成角的正弦值为.解法二：由(1)知，，又，所以.连接PM，则.因为平面ABCD，故以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面AMN的法向量为，则，即，则，取，则，所以.设直线PD与平面AMN所成的角为，则，故直线PD与平面AMN所成角的正弦值为.19.答案：(1)回归方程为.(2)2022年我国高新技术专利数为4.01万件.解析：(1)由已知可得，，，，所以回归方程为.(2)由(1)知.又2022年对应的是编号8，所以2022年我国高新技术专利申请数(万件)，即可以预测2022年我国高新技术专利数为4.01万件.20.答案：(1)标准方程为.(2)直线过定点，定点坐标为.解析：(1)由题意可得，则，故椭圆C的方程为，即，联立直线与椭圆C的方程，得得.因为直线与椭圆C有且只有一个公共点T，所以，得，所以椭圆C的标准方程为.(2)由(1)可得点T的坐标为.当直线的斜率存在时，设直线，，联立直线与椭圆C的方程得整理得，，则，.由题意得，所以，化简得，所以，化简得，所以或(舍去).此时直线，过点.当直线的斜率不存在时，设直线，A在x轴上方，则，则，解得.此时直线，过点.综上，直线过定点，定点坐标为.21.答案：（1）（2）解析：（1），，，所以曲线在处的切线方程为，所以，则，即.，则曲线在点处的切线方程为，即，从而，，所以，.（2）由题意知，，函数有零点，即有根.当时，，不符合题意.当时，函数有零点等价于有根.设，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以仅有一根，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.所以若函数有零点，则，从而.22.答案：（I）曲线C的普通方程为；直线l的直角坐标方程为（Ⅱ）2解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数），则则，即曲线C的普通方程为.直线l的极坐标方程为，则直线l的直角坐标方程为.（Ⅱ）由直线l的直角坐标方程，得斜率，倾斜角为，过点，所以可设直线l的参数方程为（t为参数）.将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得.整理得.设点A，B对应的参数分别为，，则，所以.23.答案：(I)4(Ⅱ)见解析解析：(I)可知在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当时，取到最小值4，所以.(Ⅱ)证明:由(I)可知，，且，当且仅当时，等号成立，所以，所以，当且仅当时，等号成立. 年份编号x12345专利申请数y(万件)1.61.92.22.63.0
2023届高三开学摸底考试理科数学试卷（全国卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，集合，则( ) A. B. C.或 D.或2.复数z满足，则( )A. B. C. D.3.已知向量a，b满足，，则( )A.4 B.3 C.2 D.04.已知数列满足，，设，使不等式成立的n值是( )A.4或5 B.5 C.5或6 D.65.以抛物线的焦点F为圆心，4为半径的圆C交于不同的两点A，B，与的准线交于不同的两点P，Q，且，线段AQ与交于点E，则( )A.5 B.6 C. D.6.执行如图所示的程序框图，若输入的k的值为8，则输出的n的值为( ) A.7 B.6 C.5 D.47.如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是( )A.在平面内存在直线与平面EFG平行B.在平面内存在直线与平面EFG垂直C.平面平面EFGD.直线与EF所成角为45°8.已知是等比数列的前n项和，且公比，其中，且满足，则下列说法错误的是( )A.数列的公比为2 B.C. D.9.已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是( ) A.1 B. C. D.210.电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是( )A. B. C. D.11.设，是双曲线的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的离心率为( )A. B.5 C. D.12.已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点(1，0)对称，当时，，则的值为( ).A.-2 B.-1 C.0 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_________.14.圆心在直线上，且过两圆和的交点的圆的方程是_______________.15.已知函数在区间上的最小值为，则_______.16.函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.18.如图，在四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，PD和AN交于点E.(1)求证：平面平面PDG；(2)求直线PD与平面AMN所成角的正弦值.19.随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示(把2015年到2019年分别用编号1到5来表示).(1)求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；(2)由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.附：，.20.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点拾好是一个直角三角形的三个顶点，直线与椭圆C有且只有一个公共点T.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线不过点T且与椭圆C相交于A，B两点，直线TA与直线TB的斜率之和为2，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21.已知函数，.（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数m，n，使得直线与曲线相切，求的值；（2）若函数有零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4 – 4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（I）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，直线l与y轴交于点M，求的值.23.[选修4 – 5：不等式选讲]已知函数.(I)求的最小值m；(Ⅱ)若正数，满足，证明:. 答案以及解析1.答案：C解析：因为全集，集合，所以或.故选C.2.答案：B解析：，∴复数，故选B.3.答案：B解析：.故选B.4.答案：D解析：，，则数列是公差为2的等差数列.又，则，即，，数列是递增数列.，，，有且只有满足条件，故选D.5.答案：C解析：如图所示，设PQ交x轴于N，过E作，垂足为M，由题意结合抛物线的定义可知，在中，.易知，所以，所以在中，，解得，则，故选C. 6.答案：C解析：输入，，，；，，；，，；，，；，，；，结束循环，输出.故选C.7.答案：D解析：设BD交AC于点O，EF交BD于点P，连接，PG.因为，，所以.因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG.又平面，故A正确.连接，.因为平面，所以.又，所以.因为平面，所以.又，，所以平面，所以.又，所以.因为，所以平面EFG.又平面，故B正确.因为，，EG，平面EFG，，平面EFG，所以平面EFG，平面EFG.又因为平面，平面，，所以平面平面EFG，故C正确.因为，为等边三角形，故直线与AC所成角为60°，即直线与EF所成角为60°，故D不正确.故选D.8.答案：C解析：根据题意知等比数列的公比为，记，则，所以解得故，则， ，所以，选项C错误，故选C.9.答案：A解析：如图，是正四棱锥的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，O是圆心（球心）， 设正四棱锥的底面边长为a，则，，设，则由得，四边形ABCD的面积， 正四棱锥的体积， ，当时，在（0，1）上单调递增，当时，，在（1，3）上单调递减，当时，取得极大值也是最大值. 此时高.故选A. 10.答案：B解析：由题意，可知AC之间未连通的概率是，连通的概率是.EF之间连通的概率是，未连通的概率是，故CB之间未连通的概率是，故CB之间连通的概率是，故AB之间连通的概率是，故选B.11.答案：C解析：点到渐近线的距离，而，所以在中，由勾股定理可得，所以.在中，，在中，，所以，则有，解得（负值舍去），即.故选C.12.答案：C解析：因为是R上的偶函数，所以，又的图象关于点(1，0)对称，则，所以，则，得，即，所以是周期函数，且周期，当时，，则，，则，则.13.答案：解析：方法一：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.方法二：.14.答案：解析：设所求圆的方程为，即，则，此圆的圆心.因为圆心在直线上，所以，解得，所以所求圆的方程为.15.答案：5解析：函数，，. 函数的最小值为，，.16.答案：解析：函数.函数恰有两个极值点是方程的两个不相等的实数根.令，且，，设，在同一坐标系内画出两个函数的图像，如图所示. 要使这两个函数有两个不同的交点，应满足，解得，所以实数a的取值范围为. 17.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因为，所以， 因为，所以，所以，.（Ⅱ）因为的面积， 所以. 由余弦定理可得， 所以， 所以的周长为.18.答案：(1)证明过程见解析.(2)正弦值为.解析：(1)平面ABCD，平面ABCD，.，，，.又平面PDC.平面EAC，平面平面PDC.(2)解法一：由(1)知，，平面ABCD，平面ABCD，，又平面PAC.又平面PAC，又平面AMN，平面平面PAC.易知平面平面，过点P作于点H，则平面AMN，连接EH，则为直线PD与平面AMN所成的角.在中，P，则.设，易知F为PC的中点，，连接PM，则，，在中，，得，，故直线PD与平面AMN所成角的正弦值为.解法二：由(1)知，，又，所以.连接PM，则.因为平面ABCD，故以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面AMN的法向量为，则，即，则，取，则，所以.设直线PD与平面AMN所成的角为，则，故直线PD与平面AMN所成角的正弦值为.19.答案：(1)回归方程为.(2)2022年我国高新技术专利数为4.01万件.解析：(1)由已知可得，，，，所以回归方程为.(2)由(1)知.又2022年对应的是编号8，所以2022年我国高新技术专利申请数(万件)，即可以预测2022年我国高新技术专利数为4.01万件.20.答案：(1)标准方程为.(2)直线过定点，定点坐标为.解析：(1)由题意可得，则，故椭圆C的方程为，即，联立直线与椭圆C的方程，得得.因为直线与椭圆C有且只有一个公共点T，所以，得，所以椭圆C的标准方程为.(2)由(1)可得点T的坐标为.当直线的斜率存在时，设直线，，联立直线与椭圆C的方程得整理得，，则，.由题意得，所以，化简得，所以，化简得，所以或(舍去).此时直线，过点.当直线的斜率不存在时，设直线，A在x轴上方，则，则，解得.此时直线，过点.综上，直线过定点，定点坐标为.21.答案：（1）（2）解析：（1），，，所以曲线在处的切线方程为，所以，则，即.，则曲线在点处的切线方程为，即，从而，，所以，.（2）由题意知，，函数有零点，即有根.当时，，不符合题意.当时，函数有零点等价于有根.设，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以仅有一根，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.所以若函数有零点，则，从而.22.答案：（I）曲线C的普通方程为；直线l的直角坐标方程为（Ⅱ）2解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数），则则，即曲线C的普通方程为.直线l的极坐标方程为，则直线l的直角坐标方程为.（Ⅱ）由直线l的直角坐标方程，得斜率，倾斜角为，过点，所以可设直线l的参数方程为（t为参数）.将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得.整理得.设点A，B对应的参数分别为，，则，所以.23.答案：(I)4(Ⅱ)见解析解析：(I)可知在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当时，取到最小值4，所以.(Ⅱ)证明:由(I)可知，，且，当且仅当时，等号成立，所以，所以，当且仅当时，等号成立. 年份编号x12345专利申请数y(万件)1.61.92.22.63.0
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