新教材高一数学必修第二册暑假作业第01练《平面向量及其线性运算》（2份打包，解析版+原卷版）

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第01练  空间向量及其运算、空间向量基本定理【知识梳理】知识点一 向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．【向量的模】的大小，也就是的长度（或称模），记作||．【零向量】长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．知识点二 平行向量（共线）1、平行向量：    方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．2、共线向量：    如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．说明：（1）向量有两个要素：大小和方向．（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．     共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．知识点三 两向量的和或差的模的最值【知识点的知识】    向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量．当两个向量相加时，有|+|≤||+||，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有|+|≥|||﹣|||，当且仅当与方向相反时取得到等号．    另外还有|﹣|≤||+||，当且仅当与方向相反时取得到等号．；|﹣|≥|||﹣|||，当且仅当与方向相同时取得到等号．知识点四 向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．当λ＝0时，λ与平行．对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔＝λ （2）向量数乘运算的法则①1＝；（﹣1）＝；②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；③（λ+μ）＝λ+μ；④λ（+）＝λ+λ．一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示．1．（2022•镇海区校级模拟）已知向量，则“存在实数，使得”是“共线”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据已知条件，结合向量共线的判定定理，即可求解．【解答】解：存在实数，使得，则共线，故充分性成立，共线，当为零向量时，，不一定成立，故必要性不成立，故“存在实数，使得”是“共线”的充分而不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查向量共线的判定定理，属于基础题．2．（2022•江西模拟）已知向量，且，则　　A． B．1 C． D．2【分析】由已知条件结合向量模的求法可得，再代入坐标运算即可求解．【解答】解：由题意可得，即，可得，又，，即有，解得，故选：．【点评】本题考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题．3．（2022•洛阳模拟）已知向量，，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据已知条件，结合向量的平行公式，即可求解．【解答】解：当时，，，，，故充分性成立，向量，，则，解得，或，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查向量的平行公式，属于基础题．4．（2022•辽宁模拟）已知点为的重心，，点是线段的中点，则为　　A．2 B． C． D．【分析】由已知可得，，然后根据向量模的运算性质化简即可求解．【解答】解：由已知可得，，所以，所以，故选：．【点评】本题考查了向量的概念以及模的运算，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5．（2022•乌鲁木齐模拟）若平面向量与方向相同，且，则　　A． B． C． D．【分析】根据题意可设，且，再根据模长公式列方程求出即可．【解答】解：因为与方向相同，可设，且，又因为，所以，解得，所以．故选：．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题，是基础题．6．（2022•榆林二模）已知，，则　　A．2 B．4 C． D．【分析】由，两边平方可得，再由向量展开代入求解即可．【解答】解：由题意，可得，即，又，，代入可得，解得，所以，故选：．【点评】本题考查了向量的线性运算和模的求法，是基础题．7．（2021•浙江模拟）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为　　A． B．2 C． D．3【分析】由可知，所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为，再将其化成，的模和夹角可解得．【解答】解：设与的夹角，由可知，所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为．．故选：．【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算、向量模、向量和差几何意义，考查数学运算能力，属于难题．8．（2022•吕梁一模）在中，为的中点，，，与交于，，则　　A． B． C． D．【分析】由，结合点、、三点共线求解即可．【解答】解：由中，为的中点，，，与交于，，则，由点、、三点共线，则，解得，故选：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三点共线的性质，属基础题．9．（2021•新乡二模）在中为边的中点，则　　A． B． C． D．【分析】由于为边的中点，可得，结合已知即可求解向量，的关系式．【解答】解：因为为边的中点，所以，因为，所以，则．故选：．【点评】本题主要考查了向量的运算，考查了转化思想，属于基础题．二．填空题（共6小题）10．（2022•呼和浩特一模）已知菱形的边长为3，，点，分别在边，上，且满足，则　3　．【分析】根据题意，有菱形的性质可得，由数乘向量的性质可得是的中点，是的中点，则有，即可得答案．【解答】解：根据题意，菱形的边长为2，，则，必有，又由，，则是的中点，是的中点，则，，则，而，则，故答案为：3．【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则的应用，涉及向量加法的定义，属于基础题．11．（2022•惠农区校级三模）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则　　．【分析】向量与的方向相反，直接列出关系式，根据向量相等，求出的值．【解答】解：向量与的方向相反，可得，，，得，．故答案为：【点评】本题考查相等向量与相反向量，考查计算能力，是基础题．12．（2021•贵溪市校级模拟）若向量，则向量与向量共线．　对　（判断对错）【分析】根据平面向量的共线定理，判断即可．【解答】解：向量，根据平面向量的共线定理知，向量与向量共线．故答案为：对．【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．13．（2021•芜湖模拟）已知，，是单位向量，，则　　．【分析】由得，两边平方得值，可求得值．【解答】解：由得，，，，是单位向量，得，，故答案为：．【点评】本题考查向量和差、数量积、模的运算，考查数学运算能力，属于基础题．14．（2022•重庆模拟）点在内部，满足，则　　．【分析】分别延长至，至，至，使，，，结合题意得出是的重心，，再计算与的面积比．【解答】解：根据题意，分别延长至，至，至，使，，，如图所示：由，得，所以点是的重心，所以，设，则，，所以．故答案为：．【点评】本题考查了三角形面积计算问题，也考查了三角形重心的性质以及平面向量在几何中的应用问题，是中档题．15．（2022•长安区校级三模）在中，，．是边上的中点，则的值为　　．【分析】把和代入要求的式子化简可得结果．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求向量的模的方法，把要求的式子化为，是解题的关键．   16．（2020•滨州三模）已知是三角形内部一点，满足，，则实数　　A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出，，三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值．【解答】解：如图，令，则：，，三点共线；与共线反向，；；解得．故选：．【点评】本题考查向量的数乘运算，，，三点共线的充要条件：，且，共线向量基本定理，三角形的面积公式．17．（2017•宝鸡三模）已知点是圆：上的动点，点，，是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为　　A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，再利用向量模的运算性质求得的最大值．【解答】解：由，得，即，为外接圆的直径，如图所示；设坐标原点为，则，是圆上的动点，，，当与共线时，取得最大值7；故选：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了直线与圆位置关系的应用问题，是中档题．18．（2020•天津）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为　　，若，是线段上的动点，且，则的最小值为　　．【分析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，，，，，，，，，设，，，，，，，解得，，，，，，，，设，则，其中，，，，，，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．19．（上海）已知平面向量、、满足，且，，，2，，则的最大值是　　．【分析】分别以所在的直线为，轴建立直角坐标系，分类讨论：当，，，，设，则，则，有的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为，轴建立直角坐标系，①当，，，，则，设，则，，的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值为；②且，，，，则，，的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值为，③，，，，则，设，则的最大值，其几何意义是在圆上取点与定点的距离的最大值为，故的最大值为．故答案为：【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：为该圆的半径，为该点与圆心的距离）．20．（2019•广元模拟）在中，，，，设点，满足，，，若，则　　A． B． C． D．2【分析】如图所示，由，可得．又，，．可得，展开利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，，．又，，．，，在中，，，，，，，，解得．故选：．【点评】本题考查了平面向量三角形法则及其应用、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（2013•浙江模拟）已知中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是　，　．【分析】如图所示，建立直角坐标系．设，，，．由，可得．由向量的平行四边形法则可得：，可得，，．利用数量积的性质可得，可得，即．又，可得，于是，进而得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．设，，，．，．，，，．，，，，即．若，，那么、、三点共线，即为和交点，此时，矛盾，舍去．又，，，，，．，即．（当且仅当或时取等号）．综上可知：．故答案为：，．【点评】本题综合考查了向量的平行四边形法则、数量积的运算性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．