新教材高一数学必修第二册暑假作业第05练《余弦定理》（2份打包，解析版+原卷版）

这是一份新教材高一数学必修第二册暑假作业第05练《余弦定理》（2份打包，解析版+原卷版），文件包含新教材高一数学必修第二册暑假作业第05练《余弦定理》解析版doc、新教材高一数学必修第二册暑假作业第05练《余弦定理》原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
【知识梳理】
知识点一 余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
一．选择题（共8小题）
1．中，角、、所对的边为，，，若，，，则
A．B．C．D．
【分析】由已知直接利用余弦定理求解．
【解答】解：中，角、、所对的边为，，，由，，，
得，
，．
故选：．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
2．在中，，，，则
A．1B．2C．D．
【分析】由已知直接利用余弦定理求解．
【解答】解：在中，由，，，
得，
则．
故选：．
【点评】本题考查余弦定理的应用，是基础题．
3．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则
A．B．C．D．
【分析】化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可得的值．
【解答】解：因为在中，内角，，的对边分别为，，，且，
所以，
所以，
因为，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4．在中，，则
A．B．C．D．
【分析】直接利用余弦定理求出，然后求出的大小即可．
【解答】解：因为在中，设、、所对的边分别是、、，若，
由余弦定理可知，所以．
故选：．
【点评】本题考查余弦定理的应用，解三角形的知识，考查计算能力，属基础题．
5．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则
A．B．C．3D．
【分析】根据已知条件，先求出，再结合余弦定理，即可求解．
【解答】解：，
则，
故，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查余弦定理，属于基础题．
6．中内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则
A．B．C．3D．7
【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．
【解答】解：由于，，，
利用余弦定理：；
故：．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7．已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，则
A．B．C．D．
【分析】直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果．
【解答】解：的面积为，
所以，
整理得；
由于；
故．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则
A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理可求的值，可求．
【解答】解：由，可得，
，．
故选：．
【点评】本题考查余弦定理的应用，属基础题．
二．多选题（共4小题）
9．在中，角，，的对边分别为，，，若，则角可能等于
A．B．C．D．
【分析】由已知利用余弦定理可得，将各个选项的的值代入，求解的值即可判断．
【解答】解：因为，
又由余弦定理，
若，则，化简可得，故错误；
若，则，化简可得，故正确；
若，则，化简可得，故正确；
若，则，化简可得，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．在中，若，则角的值可以为
A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系式，转化求解即可．
【解答】解：在中，若，
可得，所以，
解得或．
故选：．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基础题．
11．在中，内角，，的对边分别是，，，下列结论正确的是
A．若，则为等腰或直角三角形
B．若，则
C．若，则
D．若，，，则符合条件的有两个
【分析】选项，利用正弦定理化边为角，再由二倍角公式，推出或，得解；
选项，由余弦定理，即可得解；
选项，根据“大边对大角”和正弦定理，得解；
选项，利用正弦定理求得，再由“大边对大角，知角只有一个，得解．
【解答】解：选项，由正弦定理及，知，
所以，
所以或，即或，
所以为等腰或直角三角形，即选项正确；
选项，由余弦定理知，，
因为，所以，即选项错误；
选项，因为，所以，
由正弦定理知，，所以，即选项正确；
选项，由正弦定理知，，所以，解得，
又，所以，所以角只有一解，即符合条件的只有1个，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．在中角，，的对边分别，，，，，．则下列说法正确的是
A．为锐角三角形B．△面积为或
C．长度为6D．外接圆的面积为
【分析】由，得，又，所以，又，，所以，解得或，从而即可对选项逐一判断．
【解答】解：由，得，又，所以，
又，，所以，解得或，故选项错误；
当时，，所以为钝角，选项错误；
当时，；当时，，选项正确；
，所以，所以外接圆的面积为，选项正确，
故选：．
【点评】本题主要考查余弦定理的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
三．填空题（共6小题）
13．已知中，角，，所对边分别为，，，且满足，则 ．
【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．
【解答】解：，
直接利用余弦定理，
转换为，
整理得，
由于，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则 ．
【分析】化简已知得，解方程可求，进而求得．
【解答】解：，由余弦定理得，
结合，得，
，，所以，
，，
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
15．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，则 ．
【分析】由题意，利用余弦定理求得，，从而求得的值．
【解答】解：中，角，，所对的边分别为，，，，
由余弦定理可得，即，
，．
再把代入，可得．
则，
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于中档题．
16．已知在四边形中，，，，且．则 7 ．
【分析】在中，利用余弦定理求得的长，再由正弦定理求出的值，利用，，初步确定的范围后，即可得；进而可得的值，以及，，从而求出，不妨设，由，可得，根据两角差的余弦公式求出的值，再在中，利用余弦定理，即可得解．
【解答】解：中，由余弦定理得，，
因为，所以，
由正弦定理知，，
所以，，
所以或，
因为，所以，，
若，则，不符合题意，所以．
可得，且，，
所以，
因为，所以不妨设，
因为，所以，即，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以．
故答案为：7．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17．的内角，，的对边分别是，，．已知，则 若，，则的面积为 ．
【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：由于，则，由于；
所以；
故．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18．在中，若，，，则 ．
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
【解答】解：，，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理，考查计算能力，属于基础题．
一．选择题（共3小题）
19．在中，，，的对边分别为，，．若，当角最大时，则
A．B．C．D．
【分析】角化边可得，，关系，利用余弦定理和基本不等式可求得取最小值时最大，进而得到，求得，即可求得．
【解答】解：由可得，
所以，
（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为，此时角最大，且有，
故，
又，所以，
故选：．
【点评】本题考查余弦定理的应用，转化思想，基本不等式的应用，属于中档题．
20．已知锐角外心为，面积为，角，，所对的边分别为，，，满足，若，则的最大值为
A．B．C．D．
【分析】由已知结合余弦定理及三角形面积公式先求出，然后结合向量数量积的定义及性质进行化简，再由基本不等式可求．
【解答】解：由，得，即，
因为为三角形内角，
所以，
因为锐角外心在三角形内部，，
设，分别为，的中点，
，
又，
所以①，
同理，得②，
①②联立得，
化简得，当且仅当时取等号，
解得或，
由①②得，
所以，
所以，即．
故选：．
【点评】本题主要考查了余弦定理，向量数量积的定义及性质，基本不等式求解最值的综合应用，属于中档题．
21．在平面四边形中，，，，，则的最小值为
A．B．C．D．
【分析】先设，在中正弦定理和余弦定理结合求出，再在中结合余弦定理以及辅助角公式即可求解
【解答】解：设，
在中，由正弦定理得
即，
由余弦定理得，且，
中，由余弦定理得，，
当时，取得最小值．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
二．填空题（共1小题）
22．已知在四边形中，，，，且．则 7 ．
【分析】在中，利用余弦定理求得的长，再由正弦定理求出的值，利用，，初步确定的范围后，即可得；进而可得的值，以及，，从而求出，不妨设，由，可得，根据两角差的余弦公式求出的值，再在中，利用余弦定理，即可得解．
【解答】解：中，由余弦定理得，，
因为，所以，
由正弦定理知，，
所以，，
所以或，
因为，所以，，
若，则，不符合题意，所以．
可得，且，，
所以，
因为，所以不妨设，
因为，所以，即，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以．
故答案为：7．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三．解答题（共1小题）
23．如图，在平面四边形中，．
（1）证明：；
（2）记与的面积分别为和，求的最大值．
【分析】（1）在，中，由余弦定理可得，即可得证．
（2）由题意利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求得，利用余弦函数的性质以及二次函数的性质即可求解其最大值．
【解答】解：（1）证明：因为在平面四边形中，，
所以在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，即．
（2）因为与的面积分别为和，
所以，，
则
由（1）知：，
代入上式得，
所以当时，取到最大值14．
【点评】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换，余弦函数的性质以及二次函数的性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
一．选择题（共2小题）
24．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围．
【解答】解：中，由余弦定理得，，
且的面积为，
由，得，
化简得，
又，，
所以，
化简得，
解得，或（不合题意，舍去），
所以，
由，且，，，解得，，，，
所以，所以，
所以，，
设，其中，，
所以，当且仅当时，即时取最小值，
由于，且函数在，上单调递减，函数在，上单调递增，
又，，
所以，．
故选：．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理转化能力，属于难题．
25．在非等腰中，内角，，满足，若关于的不等式对任意，恒成立，则角的取值范围为
A．，，B．，，
C．，D．，，
【分析】首先整理式子，可得，由非等腰，可得，则：在，恒成立，整理移项，再利用基本不等式得：，再利用三角函数的性质，即可得解．
【解答】解：在中，由，代入可得：，
所以：，
整理可得：，即：，
因为非等腰，所以，
，代入，
两边同除，可得：，在，恒成立，
可得，即，
又因为，则，
所以，即，
又因为非等腰，
所以，
所以，，．
故选：．
【点评】本题考查了解三角形，考查了三角形的性质及恒等变换公式，考查了转化思想和基本不等式，本题解题的关键是对原式的处理，使之能使用基本不等式，而不能走进一元二次不等式的误区，进行讨论，属于较难题．
二．填空题（共1小题）
26．已知在中角，，所对的边分别为，，，，，若，则 ；设为边的中点，当取得最大值时，的面积是 ．
【分析】利用正弦定理把转化为，可求值；利用，两边平方，再结合余弦定理可求得的面积．
【解答】解：（1）由正弦定理可把转化为，
得：，，故在中，；
（2）是中点，，，由余弦定理得：，，
，当且仅当 “时取“”．
此时底边上的高，
故的面积为．
【点评】本题考查正余弦定理的应用、三角形面积公式、基本不等式、向量加法几何意义及向量数量积运算，考查数学运算能力，属于难题．
三．解答题（共2小题）
27．随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有，，三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），，两地相距，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设；
（1）用分别表示和，并求出的取值范围；
（2）某一时刻太阳与，三点在同一直线，此时地到直线的距离为，求的最大值．
【分析】（1）根据，分别在与中利用余弦定理，可得且．两式联解即可得出用表示、的式子，再根据基本不等式与实际问题有意义建立关于的不等式组，解之即可得到的取值范围；
（2）根据是的中线，利用三角形的面积公式算出，解出，设，由于在区间，上是增函数，可得当时，有最大值，由此可得当时的最大值为10．
【解答】解：（1）在中，，，
由余弦定理得，，
又，
所以①
在中，，
由余弦定理得，②
①②得，可得：，
①②得，
又因为：，
所以，即，
又，即，
所以．
（2）是的中点，可得，
故，
又，
，得．
设，
所以，，
又，，在上都是增函数；
所以，在上是增函数，
所以的最大值为，即的最大值为10．
（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出在上是增函数，但未给出证明或讨论，扣1分）
【点评】本题给出实际应用问题，求的最大值，着重考查了余弦定理、三角形的面积公式、二次函数的单调性等知识，考查了解三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题．
28．在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值．
【分析】（1）利用正弦定理、和差公式化简即可得出．
（2）利用余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1），
，化为，
，，，
，．
（2）由余弦定理可得：，可得．
由，可得．
，
解得．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角