高考数学统考一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算学案

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[考试要求] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．
eq \([常用结论])
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f (1,2)(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))．
2．若G为△ABC的重心，则有
(1)eq \(GA,\s\up7(→))＋eq \(GB,\s\up7(→))＋eq \(GC,\s\up7(→))＝0；(2)eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \f (1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))．
3．首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
4．对于起点相同、终点共线的三个向量eq \(OP,\s\up7(→))，eq \(OP1,\s\up7(→))，eq \(OP2,\s\up7(→))(O与P1P2不共线)，总有eq \(OP,\s\up7(→))＝ueq \(OP1,\s\up7(→))＋veq \(OP2,\s\up7(→))，u＋v＝1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1.
5．对于任意两个向量a，b，都有：
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
(2)若向量eq \(AB,\s\up7(→))与向量eq \(CD,\s\up7(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是( )
A．eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))
B．eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(DE,\s\up7(→))共线
C．eq \(BD,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))是相反向量
D．eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f (1,2)|eq \(AC,\s\up7(→))|
D [eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f (1,2)eq \(AC,\s\up7(→))，故D错误．]
2．已知下列各式：
①eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))；
②eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(BO,\s\up7(→))＋eq \(OM,\s\up7(→))；
③eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(BO,\s\up7(→))＋eq \(CO,\s\up7(→))；
④eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(CD,\s\up7(→)).
其中结果为零向量的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①中eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))＝0；②中eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(BO,\s\up7(→))＋eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋0＝eq \(AB,\s\up7(→))；③中eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(BO,\s\up7(→))＋eq \(CO,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(CO,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))；④eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(CB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝0.故①④正确，故选B．]
3．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，则eq \(DC,\s\up7(→))＝ ，eq \(BC,\s\up7(→))＝ .(用a，b表示)
b－a －a－b [如图，eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝b－a，eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝－eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝－a－b.]
4．设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝ .
eq \f (1,2) [∵λa＋b与a＋2b共线，
∴存在实数μ使得
λa＋b＝μ(a＋2b),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝μ，,2μ＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f (1,2)，,μ＝\f (1,2).))]
考点一 平面向量的概念
解答与向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．
(4)非零向量a与eq \f (a,|a|)的关系：eq \f (a,|a|)是与a同方向的单位向量．
1．给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
A [①错误，a与b的方向不明；②正确，因为eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))，且A，B，C，D不共线，所以AB綊CD，故四边形ABCD为平行四边形，反之也成立；③正确；④错误．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．]
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使eq \f (a,|a|)＋eq \f (b,|b|)＝0成立的是( )
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－eq \f (1,3)b D．a⊥b
C [由eq \f (a,|a|)＋eq \f (b,|b|)＝0可知a与b是共线且方向相反的向量，结合选项可知C正确．]
点评：向量的概念辨析问题要立足向量的两个要素：
①大小；②方向；同时关注一个特殊向量0.
考点二 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
向量的线性运算
[典例1－1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f (3,4)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f (1,4)eq \(AC,\s\up7(→)) B．eq \f (1,4)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f (3,4)eq \(AC,\s\up7(→))
C．eq \f (3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f (1,4)eq \(AC,\s\up7(→)) D．eq \f (1,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f (3,4)eq \(AC,\s\up7(→))
(2)(2020·长春模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(EC,\s\up7(→))，F为AE的中点，则eq \(BF,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f (1,3)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f (2,3)eq \(AD,\s\up7(→))
B．－eq \f (2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f (1,3)eq \(AD,\s\up7(→))
C．－eq \f (1,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f (2,3)eq \(AD,\s\up7(→))
D．eq \f (2,3)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f (1,3)eq \(AD,\s\up7(→))
(1)A (2)B [(1)eq \(EB,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f (1,2)eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f (1,2)×eq \f (1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \f (3,4)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f (1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，故选A．
(2)根据平面向量的运算法则得eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \f (1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f (1,2)eq \(BE,\s\up7(→))，
eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \f (2,3)eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)).
因为eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \f (1,2)eq \(AB,\s\up7(→))，
所以eq \(BF,\s\up7(→))＝－eq \f (1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f (1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))＋\f (1,2)\(AB,\s\up7(→))－\(AB,\s\up7(→))))＝－eq \f (2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f (1,3)eq \(AD,\s\up7(→))，故选B．]
点评：向量的线性运算问题要瞄准结论．如本例(1)待求的结论，其向量均是从端点A出发的，故首先将eq \(EB,\s\up7(→))分解为eq \(EB,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AE,\s\up7(→))，然后借助几何关系及向量加法的平行四边形法则求解．
根据向量线性运算求参数
[典例1－2] (1)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq \(AB,\s\up7(→))＝xeq \(AE,\s\up7(→))＋yeq \(AF,\s\up7(→))(x，y∈R)，则x－y＝ .
(2)已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(BP,\s\up7(→))＋eq \(CP,\s\up7(→))＝0，eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(PD,\s\up7(→))，则实数λ的值为 ．
(1)2 (2)－2 [(1)由题意得eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f (1,2)eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f (1,2)eq \(AB,\s\up7(→))，
因为eq \(AB,\s\up7(→))＝xeq \(AE,\s\up7(→))＋yeq \(AF,\s\up7(→))，
所以eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (y,2)))eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (x,2)＋y))eq \(AD,\s\up7(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f (y,2)＝1，,\f (x,2)＋y＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f (4,3)，,y＝－\f (2,3)，))
所以x－y＝2.
(2)因为D为边BC的中点，所以eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＝2eq \(PD,\s\up7(→))，
又eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(BP,\s\up7(→))＋eq \(CP,\s\up7(→))＝0，
所以eq \(PA,\s\up7(→))＝eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＝2eq \(PD,\s\up7(→))，
所以eq \(AP,\s\up7(→))＝－2eq \(PD,\s\up7(→))，
所以λ＝－2.]
点评：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
eq \([跟进训练])
1．在△ABC中，D是AB边上的中点，则eq \(CB,\s\up7(→))＝( )
A．2eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→)) B．eq \(CD,\s\up7(→))－2eq \(CA,\s\up7(→))
C．2eq \(CD,\s\up7(→))－eq \(CA,\s\up7(→)) D．eq \(CD,\s\up7(→))＋2eq \(CA,\s\up7(→))
C [在△ABC中，D是AB边上的中点，
则eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))
＝eq \(CD,\s\up7(→))＋(eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→)))＝2eq \(CD,\s\up7(→))－eq \(CA,\s\up7(→)).故选C．]
2．在△ABC中，点M，N满足eq \(AM,\s\up7(→))＝2eq \(MC,\s\up7(→))，eq \(BN,\s\up7(→))＝eq \(NC,\s\up7(→)).若eq \(MN,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AC,\s\up7(→))，则x＝ ；y＝ .
eq \f (1,2) －eq \f (1,6) [eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MC,\s\up7(→))＋eq \(CN,\s\up7(→))
＝eq \f (1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f (1,2)eq \(CB,\s\up7(→))
＝eq \f (1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f (1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \f (1,2)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f (1,6)eq \(AC,\s\up7(→))
＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AC,\s\up7(→))，
∴x＝eq \f (1,2)，y＝－eq \f (1,6).]
考点三 共线向量定理的应用
共线向量定理的三个应用
[典例2] 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解] (1)证明：∵eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，
∴eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up7(→)).
∴eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(BD,\s\up7(→))共线．
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，
∴k2－1＝0，∴k＝±1.
点评：证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
eq \([跟进训练])
1．已知向量a与b不共线，eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋mb，eq \(AC,\s\up7(→))＝na＋b(m，n∈R)，则eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AC,\s\up7(→))共线的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
D [由eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋mb，eq \(AC,\s\up7(→))＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)(λ∈R)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λn，,m＝λ，))所以mn－1＝0.]
2.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))＝neq \(AN,\s\up7(→))，则m＋n的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [法一：连接AO，
则eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \f (1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \f (m,2)eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \f (n,2)eq \(AN,\s\up7(→))，
因为M，O，N三点共线，
所以eq \f (m,2)＋eq \f (n,2)＝1，
所以m＋n＝2.
法二：连接AO.由于O为BC的中点，故eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \f (1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))，
eq \(MO,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))－eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f (1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))－eq \f (1,m)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)－\f (1,m)))eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f (1,2)eq \(AC,\s\up7(→))，
同理，eq \(NO,\s\up7(→))＝eq \f (1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)－\f (1,n)))eq \(AC,\s\up7(→)).
由于向量eq \(MO,\s\up7(→))，eq \(NO,\s\up7(→))共线，故存在实数λ使得eq \(MO,\s\up7(→))＝λeq \(NO,\s\up7(→))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)－\f (1,m)))eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f (1,2)eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)\(AB,\s\up7(→))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)－\f (1,n)))\(AC,\s\up7(→)))).
由于eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))不共线，故得eq \f (1,2)－eq \f (1,m)＝eq \f (1,2)λ且eq \f (1,2)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)－\f (1,n)))，
消去λ，得(m－2)(n－2)＝mn，
化简即得m＋n＝2.]
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
本章在备考中一般为2～3个客观题.
2.考查内容
(1)对向量的考查，主要考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、向量的数量积及应用，难度为容易或中档.
(2)高考主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加、减、乘、除四则运算，其中复数的运算是高考的热点，一般为选择题.
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
①交换律：
a＋b＝b＋a；
②结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ) a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb