高考数学统考一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入学案

　数系的扩充与复数的引入

[考试要求]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.

2.了解复数的代数表示法及其几何意义.

3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)复数的定义

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.

(2)复数的分类

(3)复数相等

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数

a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．

2．复数的几何意义

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.

2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．

3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a∈C，则a2≥0. (　　)

(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数． (　　)

(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi. (　　)

(4)方程x2＋x＋1＝0没有解． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材习题衍生

1．设z＝(1＋i)(2－i)，则复数z在复平面内所对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

A　[z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故复数z在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限．]

2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)

A．1－2i   B．－1＋2i

C．3＋4i   D．－3－4i

D　[∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D．]

3．设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)

A．1    B．    C．    D．2

A　[＝i，

则z＝＝i，

∴|z|＝1.]

4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝        .

2＋i　[由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.

∴z＝2＋i.]

考点一　复数的有关概念                    

1．(2020·广州模拟)如果复数z＝，则(　　)

A．z的共轭复数为1＋i   B．z的虚部为－i

C．|z|＝2   D．z的实部为－1

D　[∵z＝＝＝＝－1－i，∴z的实部为－1，故选D．]

2．(2020·大连模拟)设(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则＝(　　)

A．1    B．    C．    D．

D　[由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，则y＝2x，＝|2＋i|＝，故选D．]

3．如果复数是纯虚数，那么实数m等于(　　)

A．－1    B．0    C．0或1    D．0或－1

D　[＝＝，因为此复数为纯虚数，所以解得m＝－1或0，故选D．]

考点二　复数的运算                  

[典例1]　(1)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

(2)(2020·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝(　　)

A．－i    B．i    C．1－i    D．1＋i

(1)C　(2)B　[(1)αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；＝＝＝－i，②正确；＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．

(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝1＋i，所以解得所以z＝i，故选B．]

点评：(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；

(2)在z，，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.

1．(2020·全国卷Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z＝(　　)

A．1－i    B．1＋i    C．－i    D．i

D　[ ∵(1＋i)＝1－i，∴＝＝＝－i，∴z＝i，故选D．]

2．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)

A．0    B．1    C．    D．2

D　[法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.故选D．

法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D．]

考点三　复数的几何意义                    

[典例2]　(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1   B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1   D．x2＋(y＋1)2＝1

(2)(2020·黄冈模拟)已知i是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为(　　)

A．(0,1)   B．(－1,0)

C．(1,0)   D．(0，－1)

(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－3,1)   B．(－1,3)

C．(1，＋∞)   D．(－∞，－3)

(1)C　(2)A　(3)A　[(1)由题意可知z＝x＋yi，

所以|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝＝1.

∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．

(2)∵＝＝i，∴该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)，故选A．

(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A．]

点评：复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．

1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于(　　)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

D　[由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，

它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]

2．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝        .

2　[设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4.

因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝

＝

＝＝2.]