高考数学统考一轮复习第4章三角函数解三角形第3节第1课时两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式学案

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2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
(2)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝eq \f (tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f (2tan α,1－tan2α).
提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．
(2)二倍角是相对的，如eq \f (α,2)是eq \f (α,4)的2倍，3α是eq \f (3α,2)的2倍．
3．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中sin φ＝\f (b,\r(a2＋b2))，cs φ＝\f (a,\r(a2＋b2)))).
eq \([常用结论])
1．公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α).
2．降幂公式
sin2α＝eq \f (1－cs 2α,2)；
cs2α＝eq \f (1＋cs 2α,2)；
sin αcs α＝eq \f (1,2)sin 2α.
3．升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f (α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f (α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)＋cs \f (α,2)))eq \s\up12(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)－cs \f (α,2)))eq \s\up12(2).
4．半角正切公式
tan eq \f (α,2)＝eq \f (sin α,1＋cs α)＝eq \f (1－cs α,sin α).
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)公式asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
(3)cs θ＝2cs2eq \f (θ,2)－1＝1－2sin2eq \f (θ,2).( )
(4)当α是第一象限角时，sin eq \f (α,2)＝eq \r(\f (1－cs α,2)).( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．已知cs α＝－eq \f (3,5)，α是第三象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)＋α))为( )
A．eq \f (\r(2),10) B．－eq \f (\r(2),10) C．eq \f (7\r(2),10) D．－eq \f (7\r(2),10)
A [∵cs α＝－eq \f (3,5)，α是第三象限角，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f (4,5).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)＋α))＝eq \f (\r(2),2)(cs α－sin α)＝eq \f (\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (3,5)＋\f (4,5)))
＝eq \f (\r(2),10).故选A．]
2．已知sin α－cs α＝eq \f (4,3)，则sin 2α＝( )
A．－eq \f (7,9) B．－eq \f (2,9) C．eq \f (2,9) D．eq \f (7,9)
A [∵sin α－cs α＝eq \f (4,3)，
∴(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1－sin 2α＝eq \f (16,9)，
∴sin 2α＝－eq \f (7,9).
故选A．]
3．计算：sin 108°cs 42°－cs 72°sin 42°＝ .
eq \f (1,2) [原式＝sin(180°－72°)cs 42°－cs 72°sin 42°
＝sin 72°cs 42°－cs 72°sin 42°＝sin(72°－42°)
＝sin 30°＝eq \f (1,2).]
4．若tan α＝eq \f (1,3)，tan(α＋β)＝eq \f (1,2)，则tan β＝ .
eq \f (1,7) [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f (tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f (\f (1,2)－\f (1,3),1＋\f (1,2)×\f (1,3))＝eq \f (1,7).]
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
考点一 公式的直接应用
应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[典例1] (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A．eq \f (\r(5),3) B．eq \f (2,3) C．eq \f (1,3) D．eq \f (\r(5),9)
(2)已知α，β为锐角，tan α＝eq \f (4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f (\r(5),5).
①求cs 2α的值；
②求tan(α－β)的值．
(1)A [由3cs 2α－8cs α＝5，得3(2cs2α－1)－8cs α＝5，
即3cs2α－4cs α－4＝0，
解得cs α＝－eq \f (2,3)或cs α＝2(舍去)．
又∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，
∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (2,3)))2)＝eq \f (\r(5),3)，故选A．]
(2)[解] ①因为tan α＝eq \f (4,3)，
所以sin α＝eq \f (4,3)cs α.
因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f (9,25)，
因此cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f (7,25).
②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cs(α＋β)＝－eq \f (\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f (2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f (4,3)，所以tan 2α＝eq \f (2tan α,1－tan2α)＝－eq \f (24,7)，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f (tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)＝－eq \f (2,11).
eq \([跟进训练])
1．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,4)))＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
D [由已知得2tan θ－eq \f (tan θ＋1,1－tan θ)＝7，得tan θ＝2.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )
A．eq \f (1,5) B．eq \f (\r(5),5) C．eq \f (\r(3),3) D．eq \f (2\r(5),5)
B [由二倍角公式可知4sin αcs α＝2cs2α.
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，∴cs α≠0，
∴2sin α＝cs α，∴tan α＝eq \f (1,2)，∴sin α＝eq \f (\r(5),5).故选B．]
考点二 公式的逆用和变形

两角和、差及倍角公式的逆用和变形的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形
①sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
②cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
③1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)±cs \f (α,2)))2；
④sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,tan2α＋1)；
⑤cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α)；
⑥tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
公式的逆用
[典例2－1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))＝( )
A．eq \f (1,2) B．eq \f (\r(3),3) C．eq \f (2,3) D．eq \f (\r(2),2)
(2)化简eq \f (sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝ .
(1)B (2)eq \f (1,4) [(1)由sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,3)))＝1，得sin θ＋sin θcs eq \f (π,3)＋cs θsin eq \f (π,3)＝1，
整理得eq \f (3,2)sin θ＋eq \f (\r(3),2)cs θ＝1，
即eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(3),2)sin θ＋\f (1,2)cs θ))＝1，
即eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))＝1，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))＝eq \f (\r(3),3)，故选B．
(2)eq \f (sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝eq \f (sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)
＝eq \f (2sin 10°cs 10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)cs 10°－\f (\r(3),2)sin 10°)))＝eq \f (sin 20°,4sin30°－10°)＝eq \f (1,4).]
点评：(1)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f (1,2)，1，eq \f (\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
公式的变形
[典例2－2] (1)若0＜θ＜π，
则eq \f (1＋sin θ＋cs θ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (θ,2)－cs \f (θ,2))),\r(2＋2cs θ))＝ .
(2)化简sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))－sin2α的结果是 ．
(1)－cs θ (2)eq \f (1,2) [(1)由θ∈(0，π)，得0＜eq \f (θ,2)＜eq \f (π,2)，
∴cs eq \f (θ,2)＞0，
∴eq \r(2＋2cs θ)＝eq \r(4cs2\f (θ,2))＝2cs eq \f (θ,2).
又(1＋sin θ＋cs θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (θ,2)－cs \f (θ,2)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f (θ,2)cs \f (θ,2)＋2cs2\f (θ,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (θ,2)－cs \f (θ,2)))
＝2cs eq \f (θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f (θ,2)－cs2\f (θ,2)))＝－2cs eq \f (θ,2)cs θ，
故原式＝eq \f (－2cs \f (θ,2)cs θ,2cs \f (θ,2))＝－cs θ.
(2)原式＝eq \f (1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f (π,3))),2)＋eq \f (1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,3))),2)－sin2α
＝1－eq \f (1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f (π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,3)))))－sin2α
＝1－cs 2α·cs eq \f (π,3)－sin2α
＝1－eq \f (cs 2α,2)－eq \f (1－cs 2α,2)＝eq \f (1,2).]
eq \([跟进训练])
1．设a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°，
b＝eq \f (\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)，c＝eq \f (1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
D [由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°＝cs 50°cs 127°＋sin 50°sin 127°＝cs(50°－127°)＝cs(－77°)＝cs 77°＝sin 13°，b＝eq \f (\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)＝eq \f (\r(2),2)sin 56°－eq \f (\r(2),2)cs 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝eq \f (1－tan239°,1＋tan239°)＝eq \f (1－\f (sin239°,cs239°),1＋\f (sin239°,cs239°))＝cs239°－sin239°＝cs 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b.故选D．]
2．若α＋β＝－eq \f (3,4)π，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
2 [由α＋β＝－eq \f (3,4)π得tan(α＋β)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (3,4)π))＝1，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1
＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1＝2.]
考点三 利用“角的变换”求值
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[典例3] (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f (π,6)))＝eq \f (1,3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f (π,3)))＝( )
A．eq \f (\r(3),2) B．eq \r(3) C．eq \f (1,2) D．eq \f (\r(3),3)
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,6)))＝eq \f (1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝ .
(3)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋α))＝eq \f (1,4)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)π－2α))＝ .
(1)D (2)eq \f (2\r(6)＋1,6) (3)－eq \f (7,8) [(1)法一：cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f (π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f (π,6)))＋\f (π,6)))＋cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f (π,6)))－\f (π,6)))
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f (π,6)))cseq \f (π,6)＝eq \f (\r(3),3)，故选D．
法二：cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f (π,3)))＝cs x＋cs xcs eq \f (π,3)＋sin xsin eq \f (π,3)＝eq \f (\r(3),2)sin x＋eq \f (3,2)cs x
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(3),2)cs x＋\f (1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f (π,6)))
＝eq \f (\r(3),3)，故选D．
(2)由于角α为锐角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,6)))＝eq \f (1,3)，
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,6)))＝eq \f (2\r(2),3)，
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,6)))－\f (π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,6)))cs eq \f (π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,6)))sin eq \f (π,6)
＝eq \f (2\r(2),3)×eq \f (\r(3),2)＋eq \f (1,3)×eq \f (1,2)＝eq \f (2\r(6)＋1,6).
(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋α))＝eq \f (1,4)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)π－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,4)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f (7,8).]
点评：常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f (α＋β,2)－eq \f (α－β,2)，α＝eq \f (α＋β,2)＋eq \f (α－β,2)，eq \f (α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (α,2)＋β))等．
eq \([跟进训练])
1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))＝eq \f (\r(2),10)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))，
则(1)cs α＝ ；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f (π,4)))＝ .
(1)－eq \f (3,5) (2)－eq \f (17\r(2),50) [(1)由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))知α＋eq \f (π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,4)，\f (5π,4)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4))))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(2),10)))eq \s\up12(2))＝－eq \f (7\r(2),10)，
∴cs α＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))－\f (π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))cs eq \f (π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))sin eq \f (π,4)
＝－eq \f (7\r(2),10)×eq \f (\r(2),2)＋eq \f (\r(2),10)×eq \f (\r(2),2)＝－eq \f (3,5).
(2)由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))和(1)知，得sin α＝eq \f (4,5).
∴sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (3,5)))×eq \f (4,5)＝－eq \f (24,25)，
cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (3,5)))2－1＝－eq \f (7,25)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f (π,4)))＝sin 2αcs eq \f (π,4)－cs 2αsin eq \f (π,4)
＝eq \f (\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (24,25)＋\f (7,25)))＝－eq \f (17\r(2),50).]
2．已知cs(75°＋α)＝eq \f (1,3)，则cs(30°－2α)的值为 ．
eq \f (7,9) [cs(75°＋α)＝sin(15°－α)＝eq \f (1,3)，
所以cs(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－eq \f (2,9)＝eq \f (7,9).]