高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第4节不等关系与不等式学案

这是一份高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第4节不等关系与不等式学案，共5页。
　不等关系与不等式[考试要求]　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)．(单向性)提醒：同向不等式可相加，不能相减．1．倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒＜；(2)a＜0＜b⇒＜；(3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞.2．分数性质若a＞b＞0，m＞0，则(1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0)；(2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＞b，则ac2＞bc2.  (　　)(2)若ac2＞bc2，则a＞b.  (　　)(3)若＞1，则a＞b.  (　　)(4)若a＋c＞b＋c，则a＞b.  (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√二、教材习题衍生1．设a，b，c∈R，且a＞b，则(　　)A．ac＞bc　　　　　　　 B．＜C．a2＞b2   D．a3＞b3D　[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D．]2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则(　　)A．ad＞bc   B．ad＜bcC．ac＞bd   D．ac＜bdD　[c＜d＜0⇒－c＞－d＞0，则有－ac＞－bd，所以ac＜bd，故选D．]3．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　　)A．a－c＜b－d   B．ac＜bdC．a＋c＞b＋d   D．a＋d＞b＋cC　[由a＞b，c＞d得a＋c＞b＋d，故选C．]4．设a＝＋，b＝＋，则a与b的大小关系为(　　)A．a＝b　　B．a＞b    C．a＜b　　D．无法判断B　[a2＝17＋2，b2＝17＋2，由2＞2，知a2＞b2，又a＞0，b＞0，所以a＞b，故选B．]考点一　比较两个数(式)的大小                 　比较两个数或代数式的大小的三种方法(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．[典例1]　(1)若0＜x＜1，p，q∈N*，则M＝1＋xp＋q与N＝xp＋xq的大小关系为(　　)A．M＞N   B．M＜NC．M＝N   D．不确定(2)若a＝，b＝，则a________b．(填“＞”或“＜”)(1)A　(2)＜　[(1)(1＋xp＋q)－(xp＋xq)＝(1－xp)＋xq(xp－1)＝(1－xp)(1－xq)，∵0＜x＜1，p，q∈N*，∴1－xp＞0,1－xq＞0，∴(1－xp)(1－xq)＞0，∴1＋xp＋q＞xp＋xq，即M＞N，故选A．(2)法一：(作商法)易知a＞0，b＞0，＝＝＝log89＞1，所以b＞a.法二：(作差法)b－a＝－＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)＞0.所以b＞a.]1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)A．M＞N    B．M≥N    C．M＜N    D．M≤NA　[M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴M＞N，故选A．]2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)A．A≤B    B．A≥B    C．A＜B    D．A＞BB　[因为A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，所以A≥B．故选B．]考点二　不等式性质的应用                     1．判断不等式是否成立的方法(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．2．利用不等式的性质求取值范围的方法(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．　判断不等式是否成立[典例2－1]　(1)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)A．＞   B．＜C．＞   D．＜(2)(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则(　　)A．ln(a－b)＞0   B．3a＜3bC．a3－b3＞0   D．|a|＞|b|(1)B　(2)C　[(1)由c＜d＜0得＜＜0，则－＞－＞0，∴－＞－，∴＜，故选B．(2)由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A错误；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B错误；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D错误．故选C．]点评：本例第(1)题也适合用特殊值法求解．　求代数式的取值范围[典例2－2]　(1)已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．(2)已知－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(1)(－4,2)　(1,18)　(2)(3,8)　[(1)∵－1＜x＜4,2＜y＜3，∴－3＜－y＜－2，∴－4＜x－y＜2；由－1＜x＜4,2＜y＜3得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，∴1＜3x＋2y＜18.(2)设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，则2x－3y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，∴，解得∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．由－1＜x＋y＜4得－2＜－(x＋y)＜，由2＜x－y＜3得5＜(x－y)＜.∴3＜2x－3y＜8.]点评：x＋y，x－y,2x－3y看作三个整体，整体中x，y相互制约．1．“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件A　[由a＞b＞0得a2＞b2，∴a2＋a＞b2＋b.反之由a2＋a＞b2＋b可得(a2＋a)－(b2＋b)＞0，即(a－b)(a＋b＋1)＞0，∴或即或无法推出a＞b＞0.因此，“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”的充分不必要条件，故选A．]2．已知－1＜x＜y＜3，则x－y的取值范围是________．(－4,0)　[由－1＜x＜y＜3得，－1＜x＜3，－3＜－y＜1.∴－4＜x－y＜4，又x＜y.∴x－y＜0.∴－4＜x－y＜0.]3．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．(－π，2π)　[设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则3α－β＝(m＋n)α＋(n－m)β.∴，解得，∴3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)．由－＜α－β＜得－π＜2(α－β)＜π，∴－π＜3α－β＜2π.]