苏科版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份苏科版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共29页。试卷主要包含了0分），【答案】D，【答案】A，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

苏科版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 换元法是一种重要的转化方法，如：解方程x4−5x2+6=0，设x2=a，原方程转化为a2−5a+6=0.已知m，n是实数，满足(m2−2m)2+4m2−8m+6−n=0，则n的取值范围是(    )
A. n≤0 B. n≥4 C. n≥2 D. n≥3
2. 已知x1、x2、x3为方程x3+3x2−9x−4=0的三个实数根，则下列结论一定正确的是(    )
A. x1x2x3<0 B. x1+x2−x3>0
C. x1−x2−x3>0 D. x1+x2+x3<0
3. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和它的两个实数根为x1、x2，下列说法：
①若a、c异号，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根
②若b2>5ac，则方程ax2+bx+c=0一定有两异实根
③若b=a+c，则方程ax2+bx+c=0一定有两实数根
④若a=1，b=2，c=3，由根与系数的关系可得x1+x2=−2，x1x2=3
其中正确的结论的个数为(    )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2−2tx+t2−2t+4=0的两实数根，则(m+2)(n+2)的最小值是(    )
A. 7 B. 11 C. 12 D. 16
5. 已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根x1，x2.若1x1+1x2=4m，则m的值是(    )
A. 2 B. −1 C. 2或−1 D. 不存在
6. 某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017年起到2019年累计投入4250万元，已知2017年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是(    )
A. 1500(1+x)2=4250
B. 1500(1+2x)=4250
C. 1500+1500x+1500x2=4250
D. 1500(1+x)+1500(1+x)2=4250−1500
7. 如图，将△ABC绕点O连续旋转5次，得到内外都是正六边形的图形，旋转后得到的△BDE的顶点D在BC上．若CD=2BD，则S外六边形S内六边形的值是(    )


A. 2 B. 32 C. 54 D. 74
8. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α(0°<α<90°)，当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积为(    )


A. 由小到大 B. 由大到小
C. 不变 D. 先由小到大，后由大到小
9. 如图，点A的坐标是(−2,0)，点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P.当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx−3k(k>0)有且只有一个公共点，则k的值为(    )

A. 23 B. 53 C. 255 D. 655
10. 如图，在等腰△ABC和等腰△ABE中，∠ABC=120°，AB=BC=BE=2，D为AE的中点，则线段CD的最小值为(    )

A. 2 B. 7−1 C. 23−1 D. 6−1
11. 已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为(    )
A. 32 B. 32 C. 3 D. 23
12. 如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E .当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是(    )
A.  2 B. π2 C. 32 D. 52
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”.如果关于x的一元二次方程x2+(m−2)x−2m=0是“倍根方程”，那么m的值为______．
14. 若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，当k=______时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
15. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB=90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则CECD的最小值是          ．


16. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：①∠AED+∠BFE+∠CDF=180°；②S=12lr；③2∠EDF=∠A+∠C；④2(AD+CF+BE)=l，其中成立的是______.(填序号)

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 为迎接“2010年上海世博会”，甲、乙两个施工队共同完成“阳光”小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程比甲队单独完成此项工程少用5天，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
18. 已知关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m．
(1)当m=2时，请解关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m；
(2)若关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m中，x为非负数、y为负数，
①试求m的取值范围；
②当m取何整数时，不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1．
19. 已知关于的一元二次方程：x2+(k−5)x+4−k=0
(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的一个根是2，求另一个根及k的值．
20. 随着养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，某市拥有的养老床位不断增加．
(1)该市的养老床位数从2015年底的2万个增长到2017年底的2.88万个，求该市这两年(从2015年底到2017年底)拥有的养老床位数的平均年增长率．
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)、双人间(2个养老床位)、三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值．
②该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
21. 已知关于x的方程x2+2x−a+1=0没有实数根，试判断关于y的方程y2+ay+a=1是否一定有两个不相等的实数根，并说明理由．
22. 如图1，△ABC内接于⊙O，过C作射线CP与BA的延长线交于点P，∠B=∠ACP．
(1)求证：CP是⊙O的切线；
(2)若PC=4，PA=2，求AB的长；
(3)如图2，D是BC的中点，PD与AC交于点E，求证：PC2PA2=CEAE．


23. 如图1，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF．
(1)求证：；
(2)求证：AF是⊙O的切线；
(3)如图2，若点G是△ACD的内心，BC⋅BE=25，求BG的长．


24. 如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=2，∠P=30°，求阴影部分的面积．


25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F连接OF交AD于点G．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若∠OFA=60°，半径为4，在圆O上取点P，使∠PDE=15°，求点P到直线DE的距离．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，关键是根据题意得到n−2≥1
先配方得到(m2−2m+2)2=n−2，得出n−2≥1，即可解答．
【解答】
解：(m2−2m)2+4m2−8m+6−n=0
(m2−2m)2+4(m2−2m)+6−n=0
(m2−2m)2+4(m2−2m)+4=n−2
(m2−2m+2)2=n−2
m−12+12=n−2
∵m−12+12⩾1，
∴n−2≥1
∴n≥3  
2.【答案】D 
【解析】解：∵x3+3x2−9x−4=0，当x=0时，−4≠0，
∴x2+3x−9−4x=0，
∴x1、x2、x3可以看作是抛物线y=x2+3x−9与反比例函数y=4x的三个交点的横坐标，

由函数图象可知x1 x2 x3>0，x1+x2+x3<0，根据已知条件无法判定x1+x2−x3>0，x1−x2−x3>0，
故选：D．
由x3+3x2−9x−4=0可得x2+3x−9=4x则x1、x2、x3可以看作是抛物线y=x2+3x−9与反比例函数y=4x的三个交点的横坐标，
由此画出函数图象求解即可．
本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到x1、x2、x3可以看作是抛物线y=x2+3x−9与反比例函数y=4x的三个交点的横坐标是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：△=b2−4ac，
当a、c异号时，ac<0，所以△>0，所以此时方程ax2+bx+c=0一定有实数根，所以①正确；
若b2>5ac时，所以△>0，所以此时方程ax2+bx+c=0一定有实数根，但不能确定ac<0，所以方程ax2+bx+c=0不一定有两异实根，所以②错误；
若b=a+c时，△=(a+c)2−4ac=(a−c)2≥0，则方程ax2+bx+c=0一定有两实数根，所以③正确；
若a=1，b=2，c=3，△=22−4×1×3=−8<0，所以方程没有实数根，所以④错误．
故选：B．
当a、c异号时，△>0，则根据判别式的意义可对①进行判断；当b2>5ac时，△>0，可判断方程ax2+bx+c=0一定有实数根，但不能确定ac<0，根据根与系数的关系不能判断方程ax2+bx+c=0一定有两异实根，于是可对③进行判断；当b=a+c时，则△=(a−c)2≥0，则根据判别式的意义可对③进行判断；若a=1，b=2，c=3，计算出△=−8<0，则可对④进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．

4.【答案】D 
【解析】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2−2tx+t2−2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2−2t+4，
∴(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=t2+2t+8=(t+1)2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=(−2t)2−4(t2−2t+4)=8t−16≥0，
∴t≥2，
∴(t+1)2+7≥(2+1)2+7=16．
故选：D．
由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2−2t+4，将其代入(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4中可得出(m+2)(n+2)=(t+1)2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据配方法即可得出(m+2)(n+2)的最小值．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据根与系数的关系找出(m+2)(n+2)=(t+1)2+7是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，先由二次项系数非零及根的判别式△>0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=
m+2
m
，x1x2=
1
4
，结合
1
x 1
+
1
x 2
=4m，即可求出m的值．
【解答】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=m+2m，x1x2=14，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=m+2m14=4m，
解得m1=2，m2=−1．
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−(m+2)]2−4⋅m⋅m4=4m+4>0，
解得m>−1，
∴m=2．
故选A．
  
6.【答案】D 
【解析】解：设2017−2019年投入经费的年平均增长率为x，则2018年投入1500(1+x)万元，2019年投入1500(1+x)2万元，
根据题意得1500(1+x)+1500(1+x)2=4250−1500．
故选：D．
如果设投入经费的年平均增长率为x，根据2017年投入1500万元，得出2018年投入1500(1+x)万元，2019年投入1500(1+x)2万元，然后根据三年共投入4250万元可得出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．

7.【答案】D 
【解析】解：∵多边形CDGIKM是正六边形，
∴∠MCD=120°，
∴∠ACD=60°，
∵CD=2BD，
∴设BD=AC=x，则CD=2x，
过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°，
∴CH=12AC=12x，AH=32x，
∴BH=BC−CH=52x，
∴AB=AH2+BH2=(32x)2+(52x)2=7x，
∵将△ABC绕点O连续旋转5次，得到内外都是正六边形的图形，
∴外六边形∽内六边形，
∴S外六边形S内六边形=(ABCD)2=(7x2x)2=74，
故选：D．
根据正六边形的性质得到∠MCD=120°，求得∠ACD=60°，设BD=AC=x，则CD=2x，过A作AH⊥BC于H，根据勾股定理得到AB=AH2+BH2=(32x)2+(52x)2=7x，根据相似多边形的性质即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，相似多边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，构造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性质，通过证明△DMG≌△DNH，把△DHN补到△DMG的位置，得到四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，于是得到阴影部分的面积=扇形的面积−正方形DMCN的面积，即为定值．
【解答】
解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DC，

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴DM=22AD=24AB，DN=22BD=24AB，
∴DM=DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDG=90°−∠GDN，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDH=90°−∠GDN，
∴∠MDG=∠NDH，
在△DMG和△DNH中，
∠MDG=∠NDH∠DMG=∠DNHDM=DN，
∴△DMG≌△DNH，
∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，
∵正方形DMCN的面积=DM2=18AB2，
∴四边形DGCH的面积=18AB2，
∵扇形FDE的面积=90·π·CD2360=πAB216，
∴阴影部分的面积=扇形面积−四边形DGCH的面积=π−2AB216(定值)．
故选C．
  
9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，轨迹，一次函数图象上点的坐标特征等知识．
连接BC，OP，设直线y=kx−3k交x轴于点E(3,0)，交y轴于点F(0,−3k)，由OP=2BC=2，推出点P的运动轨迹是以O为圆心2为半径的圆，当⊙O与直线y=kx−3k相切时，点P组成的图形与直线y=kx−3k有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG，则OG=OP=2，再由勾股定理表示出EF，然后运用面积法列方程求出k的值即可．
【解答】
解：如图，连接BC，OP，设直线y=kx−3k交x轴于点E(3,0)，交y轴于点F(0,−3k)，

∵AC=CP，AB=OB=1，
∴OP=2BC=2
∴点P的运动轨迹是以O为圆心2为半径的圆，当⊙O与直线y=kx−3k相切时，点P组成的图形与直线y=kx−3k有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG．
∵OG⊥EF，E(3,0)，F(0,−3k)，
∴EF=9+9k2
∴12⋅OE⋅OF=12⋅EF⋅OG，
即12×3×3k=12×2×9+9k2，
∴k=255，负值舍去．  
10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，根据题意得出D在以AB为直径的圆上运动是解题的关键．
连接BD，则∠ADB=90°，则D在以AB为直径的圆上运动，当点D运动到D1时，CD的值最小，根据勾股定理求出CO，由CD1=CO−OD1即可解答．
【解答】
解：如图：连接BD，过点C作CG⊥AB交AB延长线于点G，则∠ADB=90°，

∴D在以AB为直径的圆上运动，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBG=60°，∠BCG=30°，
∴CG=3，BG=1，
∴OG=2，
∴当点D运动到D1时，CD的值最小，
此时CO=32+22=7，
CD1=CO−OD1=7−1．
故选B．  
11.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查三角形的内切圆、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用面积法求内切圆的半径，属于中考常考题型．
如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5−x.由AD2=AB2−BD2=AC2−CD2，可得72−x2=82−(5−x)2，解得x=1，推出AD=43，由12⋅BC⋅AD=12(AB+BC+AC)⋅r，列出方程即可解决问题．
【解答】
解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5−x．

由勾股定理可知：AD2=AB2−BD2=AC2−CD2，
即72−x2=82−(5−x)2，解得x=1，
∴AD=43，
∵12⋅BC⋅AD=12(AB+BC+AC)⋅r，
12×5×43=12×20×r，
∴r=3，
故选：C．  
12.【答案】A 
【解析】解：如图，连接EB.设OA=r．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB=135°，
∵∠ACD=∠BCD，
∴AD=DB，
∴AD=DB=2r，
∴∠ADB=90°，
易知点E在以D为圆心、DA为半径的圆上，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，
∵∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α，
∴MN的长GF的长=2α⋅π⋅r180α⋅π⋅2r180=2．
故选：A．
如图，连接EB.设OA=r.易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α，利用弧长公式计算即可解决问题．
本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．

13.【答案】−4或−1 
【解析】解：∵x2+(m−2)x−2m=0，
∴(x+m)(x−2)=0，
∴x1=−m，x2=2，
由题意−m=2×2或2=2(−m)，
∴m=−4或−1，
当m=−4时，△=(−6)2−4×−2×−4=4>0；
当m=−1时，△=(−3)2−4×(−2)×−1=1>0；
经检验，m=−4或−1均符合题意。
故答案为−4或−1．
利用十字相乘法求出方程的根，根据题意转化为方程即可解决问题；
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是学会因式分解法解方程，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

14.【答案】2 
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了勾股定理的逆定理．
根据根与系数的关系得到AB+AC=2k+3，AB⋅AC=k2+3k+2，利用勾股定理的逆定理，当AB2+AC2=BC2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．即(2k+3)2−2(k2+3k+2)=25，解得k1=2，k2=−5，然后利用AB+AC=2k+3>0可确定k的值．
【解答】
解：根据题意得AB+AC=2k+3，AB⋅AC=k2+3k+2，
当AB2+AC2=BC2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
即(2k+3)2−2(k2+3k+2)=25，
整理得k2+3k−10=0，解得k1=2，k2=−5，
因为AB+AC=2k+3>0，
所以k的值为2．
故答案为2．  
15.【答案】22 
【解析】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．

∵∠ACB=∠ADB=90°，OA=OB，
∴OC=OD=12AB，
∴A，C，B，D四点共圆，
∵CA=CB，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠CDA=∠CBA=45°，∠CDB=∠CAB=45°，
∴∠CDB=∠CDA，
∵BE平分∠ABD，
∴点E是△ABD的角平分线的交点，
∴AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠CAE=∠CAB+∠BAE=45°+∠BAE，∠CEA=∠EDA+∠EAD=45°+∠DAE，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CA=CE=定值，
∴当CD的值最大时，CECD的值最小，
∴CD是直径时，CECD的值最小，最小值=ACBA=22，
故答案为22．
如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE.想办法证明CE=CA，当CD是直径时CECD的值最小．
本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证明CA=CE是解题的关键．

16.【答案】①②③④ 
【解析】解：如图，作直径ET，连接DT．

∵AB是⊙O的切线，
∴ET⊥AB，
∴∠AET=90°，
∴∠AED+∠DET=90°，
∵ET是直径，
∴∠EDT=90°，
∴∠DET+∠ETD=90°，
∴∠AED=∠ETD，
∵∠EFD=∠ETD，
∴∠AED=∠EFD，
同法可证，∠BFE=∠EDF，∠CDF=∠DEF，
∵∠EFD+∠EDF+∠DEF=180°，
∴∠AED+∠BFE+∠CDF=180°，故①正确，
连接OA，OB，OC，OF，OD．
∵S=S△AOB+S△BOC+S△ACO=12⋅AB⋅OE+12⋅BC⋅OF+12⋅AC⋅OD=12⋅(AB+BC+AC)⋅r=12lr，故②正确，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠BEF+∠BFE+∠ABC=180°
∴∠BEF+∠BFE=∠BAC+∠ACB，
∵∠BEF=∠EDF，∠BFE=∠EDF，
∴2∠EDF=∠BAC+∠ACB，故③正确，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，
∴AE=AD，CD=CF，BE=BF，
∴2(AD+CF+BE)=l，故④正确，
故答案为：①②③④．
①正确，首先证明∠AED=∠EFD，同法可证∠BFE=∠EDF，∠CDF=∠DEF，由∠EFD+∠EDF+∠DEF=180°，可得∠AED+∠BFE+∠CDF=180°．
②正确，利用面积法证明即可．
③正确，证明∠BEF+∠BFE=∠BAC+∠ACB，可得结论．
④正确，利用切线长定理解决问题即可．
本题考查三角形的内切圆，切线的性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

17.【答案】解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需(x−5)天．(1分)
由题意，得：2x−5+10x+10x−5=1.(3分)
化简得：x2−27x+50=0.(1分)
解得：x1=25，x2=2.(2分)
经检验：x1=25，x2=2都是方程的根；但x2=2不符合题意，舍去．(2分)
∴x=25，x−5=20.(1分)
答：甲队单独完成此项工程需25天，乙队单独完成此项工程需20天． 
【解析】求的是工效，工作时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：乙2天的工作量+甲乙合作10天的工作量=1．
应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

18.【答案】解：(1)把m=2代入方程组x−y=11−mx+y=7−3m中得：x−y=9 ①x+y=1 ②，
①+②得：2x=10，x=5，
①−②得：−2y=8，y=−4，
∴方程组的解为：x=5y=−4；
(2)①x−y=11−m ①x+y=7−3m ②，
①+②得：2x=18−4m，x=9−2m，
①−②得：−2y=4+2m，y=−2−m，
∵x为非负数、y为负数，
∴9−2m≥0−2−m<0，解得：−2 ②3mx+2x>3m+2，
(3m+2)x>3m+2，
∵不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1，
∴3m+2<0，
∴m<−23，
由①得：−2 ∴−2 ∵m整数，
∴m=−1；
即当m=−1时，不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1． 
【解析】(1)把m=2代入原方程组，再利用加减法解方程组即可；
(2)①把m看作常数，解方程组，根据x为非负数、y为负数，列不等式组解出即可；
②根据不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1，求出m的取值范围，综合①即可解答．
本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集，同时学会利用参数解决问题．

19.【答案】解：(1)∵△=(k−5)2−4×1×(4−k)=k2−2k+1=(k−3)2≥0，
∴无论k取任何值，方程总有实数根．

(2)∵x=2是方程x2+(k−5)x+4−k=0的一个根，
∴22+(k−5)×2+4−k=0，
解得：k=2，
设方程的另一个根为x1，则x⋅x1=4−k，
即2×x1=2，
x1=1，
则方程的另一个根为1． 
【解析】(1)根据根的判别式得出△=(k−3)2≥0，从而证出无论k取任何值，方程总有实数根．
(2)先把x=2代入原方程，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．

20.【答案】解：(1)设该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
2(1+x)2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
(2)①设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30)，则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100−3t，
由题意得：t+4t+3(100−3t)=200，
解得：t=25．
答：t的值是25．
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
由题意得：y=t+4t+3(100−3t)=−4t+300(10≤t≤30)，
∵k=−4<0，
∴y随t的增大而减小．
当t=10时，y的最大值为300−4×10=260(个)，
当t=30时，y的最小值为300−4×30=180(个)．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个． 
【解析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次方程以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)根据数量关系列出关于x的一元二次方程；(2)①根据数量关系找出关于t的一元一次方程；②根据数量关系找出y关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程(方程组或函数关系式)是关键．
(1)设该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2015年的床位数=2013年的床位数×(1+增长率)的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
(2)①设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30)，则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100−3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．

21.【答案】解：∵方程x2+2x−a+1=0没有实数根，
∴△1=4−4(−a+1)=4a<0，
∴a<0，
对于关于y的方程y2+ay+a=1，
△2=a2−4a(a−1)=(a−2)2，
∵a<0，
∴(a−2)2>0，即△2>0，
∴方程y2+ay+a=1一定有两个不相等的实数根． 
【解析】首先根据方程x2+2x−a+1=0没有实数根求出a的取值范围，然后求出方程y2+ay+a=1根的判别式，进而作出判断．
本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．

22.【答案】 (1)证明：如图1，连结OA、OC，则OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠AOC+2∠OCA=180°．
由圆周角定理，得∠AOC=2∠B．
∴2∠B+2∠OCA=180°．
∴∠B+∠OCA=90°．
∵∠B=∠ACP．
∴∠ACP+∠OCA=90°，即∠OCP=90°．
∴CP是⊙O的切线；

(2)∵∠B=∠ACP，∠ACP=∠CPB，
∴△APC∽△CPB．
∴PAPC=PCPB，
∴PB=PC2PA=162=8．
∴AB=PB−PA=8−2=6；

(3)如图2，延长ED至F，使DF=ED，连结BF，
易得△BDF≌△CDE，
∴BF=CE，∠CED=∠F．
∴BF//EC，
∴PBPA=BFAE=CEAE．
由(2)得，PB=PC2PA，
∴PBPA=PC2PA2，
∴PC2PA2=CEAE． 
【解析】(1)如图1，连结OA、OC，欲证明CP是⊙O的切线，只需推知∠OCP=90°即可；
(2)通过证△APC∽△CPB得到：PAPC=PCPB，故PB=8.所以AB=PB−PA=8−2=6；
(3)如图2，延长ED至F，使DF=ED，连结BF，构造△BDF≌△CDE，根据该全等三角形的性质和平行线的判定定理得到BF//EC，则PBPA=BFAE=CEAE.由(2)得，PB=PC2PA，代入整理，即可证得结论．
此题考查了切圆的综合知识．在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”.圆与相似三角形，及全等三角形相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．

23.【答案】证明：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴∠BCD=∠ADC，
∴ED=EC；

(2)如图1，连接OA，

∵AB=AC，
∴AB=AC，
∴OA⊥BC，
∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，
∵∠ACB=∠BCD，
∴∠ACD=2∠ACB，
∴∠CAF=∠ACB，
∴AF//BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；

解：(3)∵∠ABE=∠CBA，∠BAD=∠BCD=∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴ABBC=BEAB，
∴AB2=BC⋅BE，
∴BC⋅BE=25，
∴AB=5，
如图2，连接AG，

∴∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠BGA=∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG=∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG=∠GDC+∠ACB，
∴∠BAG=∠BGA，
∴BG=AB=5． 
【解析】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB，结合∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC得∠BCD=∠ADC，从而得证；
(2)连接OA，由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，据此可知AF//BC，从而得OA⊥AF，从而得证；
(3)证△ABE∽△CBA得AB2=BC⋅BE，据此知AB=5，连接AG，得∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠BGA=∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG=∠GAC，结合∠BAD+∠DAG=∠GDC+∠ACB得∠BAG=∠BGA，从而得出BG=AB=5．

24.【答案】解：(1)连结OC，AC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，AP是切线，
∴∠BAP=90°，∠ACP=90°，
∵点D是AP的中点，
∴DC=12AP=DA，
∴∠DAC=∠DCA，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)∵在Rt△ABP中，∠P=30°，
∴∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∴OA=1，BP=2AB=4，AD=12BP2−AB2=3，
∴S阴影=S四边形OADC−S扇形AOC=1×3−120×π×12360=3−π3． 
【解析】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、直角三角形的性质、扇形面积的计算等知识点．
(1)连结OC，AC，由切线性质知Rt△ACP中DC=DA，即∠DAC=∠DCA，再结合∠OAC=∠OCA知∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，据此即可得证；
(2)先求出OA=1，BP=2AB=4，AD=12BP2−AB2=3，再根据S阴影=S四边形OADC−S扇形AOC即可得解．

25.【答案】(1)证明：连接OD，如图，

∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠OAD=∠CAD．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∴∠ODC+∠C=180°．
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：①当点P在AE上时，PH的长为点P到直线DE的距离，
连接OD，OP，过点O作OM⊥DE于点M，过点P作PN⊥OM于点N，如图，

∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=30°，
∴∠EOD=60°，
∵OE=OD，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OE=4．
∵OM⊥DE，
∴DM=EM=2，∠EOM=12∠EOD=30°，
∴OM=23．
∵∠PDE=15°，
∴∠POE=30°，
∴∠POM=∠POE+∠EOM=60°．
∵PN⊥OM，
∴ON=OP⋅cos60°=2，
∴MN=OM−ON=23−2．
∵PH⊥DE，OM⊥DE，PN⊥OM，
∴四边形PHMN为矩形，
∴PH=MN=23−2．
∴点P到直线DE的距离为23−2；
②当点P在DE上时，
连接OP，交DE于点H，如图，

∵∠EOP=2∠PDE，∠PDE=15°，
∴∠EOP=30°．
由①知：∠EOD=60°，
∴∠EOP=12∠EOD，
即OP为∠EOD的平分线，
∵OE=OD，
∴OH⊥DE，
∴PH的长为点P到直线DE的距离，
∵OH=OD⋅cos30°=23，
∴PH=OP−OH=4−23．
综上，若∠PDE=15°，则点P到直线DE的距离为23−2或4−23． 
【解析】(1)连接OD，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和切线的判定定理解答即可；
(2)利用分类讨论的思想方法分：①当点P在AE上时，PH的长为点P到直线DE的距离，②当点P在DE上时两种情形解答：①连接OD，OP，过点O作OM⊥DE于点M，过点P作PN⊥OM于点N，利用等边三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得MN.即可得出结论；②连接OP，交DE于点H，则PH的长为点P到直线DE的距离，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，矩形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．