2021-2022学年山东省淄博市高青县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省淄博市高青县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，将矩形纸片沿折叠，点在线段上，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，已知，：：，那么下列结论中，正确的是(    )

A. ：：
B. ：：
C. ：：
D. ：：

5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在直角中，已知，于点，若，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在菱形中，，，连结，在上取一点，使，连结，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在某次冠状病毒感染中，有只动物被感染，后来经过两轮感染后共有只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染只动物，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为(    )

A.
B.  
C.
D.

11. 如图，在中，，现分别任作的内接矩形，，，设这三个内接矩形的周长分别为、，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在正方形中，对角线，交于点，折叠正方形，使边落在上，点落在点处，折痕交于点，交于点，连接，下列结论：
    ；
    四边形为菱形；
    ；
    ．
    其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

13. 已知，，则______．
14. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______．
15. 如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．如果王青眼睛与地面的距离，同时量得，，则楼高______

16. 如图，正方形的边长为，点，分别是，边上的动点，且，和相交于点，在点、运动的过程中，当中某一个内角是另一个内角的倍时，的面积为______．

17. 两张完全相同的长方形、纸条，长、宽分别为、，按如图所示的方式摆放对角线、重合，则重叠部分的四边形的对角线的长是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56分）

18. 解方程：．
    化简：．
19. 如图，在中，点在边上，．
    求证：∽；
    若，求的长．

20. 一个三角形的三边长分别为，，．
    求它的周长要求结果化简；
    请你给出一个适当的的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长．
21. 如图，在周长为的正方形中，对角线，相交于点，，分别在边，上，且，连接交于．
    求证：≌；
    当时，求的值．

22. 某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品告价为元时，每天可售出件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每天就可以多售出件．
    降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
    要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23. 如图，中，，，于，点是上一点，连接并延长交于点，于点，连接．
    求证：∽；
    如图，若，求证：点是中点；
    如图，若，，求．
     

24. 如图，正方形边长为，点在边上点与点、不重合，过点作，垂足为，与边相交于点．
    求证：≌；
    若的面积为，求的长；
    取，的中点，，连接，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个解为，
，即，
解得：．
故选：．
利用根与系数的关系求出两根之积，把一解代入求出另一解即可．
此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：矩形纸片沿折叠，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据矩形纸片沿折叠，可得，然后根据直角三角形两个锐角互余可得，再由对顶角相等，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不属于同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理：若两条直线被一组平行线被截，那么所截得的线段对应成比例．也考查了比例的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，




．
故选：．
根据题意可知，，所求式子化为即可求解．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，．
，．
．
．
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
本题主要考查二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
．
又，
由勾股定理，得．
，同角的余角相等，
∽．
，即．
．
故选：．
利用射影定理求得的长度；然后根据勾股定理推知的长度；最后由相似三角形∽的对应边成比例求得的长度．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角相等以及同角的余角相等等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，

四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
，
，
故选：．
根据菱形的性质得出，进而得出得出，进而解答即可．
此题考查了菱形的性质，熟记菱形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：每轮感染中平均一只动物会感染只动物，列方程得：，
故选：．
设每轮感染中平均一只动物会感染只动物．则经过一轮感染，一只动物感染给了只动物，这只动物又感染给了只动物．等量关系：经过两轮感染后就会有只动物被感染．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少只动物被感染是解决此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
大正方形的边长是，
留下部分即阴影部分的面积是
故选：．
根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．
此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作于，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
∽，
：：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
同理：．
．
故选：．
首先过点作于，由等腰三角形的性质，可得，，由勾股定理可求得的长，又可证得∽，利用相似三角形的对应边成比例，可证得，又由≌，，则可求得的值，同理可求得，的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与整体思想的应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：折叠正方形，使边落在上，点落在点处，
，，，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形，故正确；设，则，
，
，故正确；
平分，，
，
，故正确，
故选：．
根据正方形的性质和折叠的性质可知，，则，得，故正确；根据，，得四边形是平行四边形，由，可知▱是菱形，故正确；设，则，则，得，故正确；由角平分线的性质得，从而得出正确．
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
；
故答案为：．
先把要求的式子变形为，再代入计算即可．
此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是平方差公式、因式分解，关键是通过因式分解把要求的式子进行变形．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．根据方程有两个相等的实数根得出，求出的值即可．
【解答】
解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，
，，
∽，
，即．
．
故答案是：．
根据镜面反射的性质，∽，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题主要考查了相似三角形的应用，应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
 

16.【答案】或 

【解析】解：正方形的边长为，
．
，
．
在和中，
，
≌．
．
，
．
．
，
．
．
．
中某一个内角是另一个内角的倍，
或．
或．
过点作于点，如图，

当时，点与点重合，
，
的面积．
当时，
，
．
的面积．
综上，的面积为或．
故答案为：或．
利用判定≌，则得；利用当中某一个内角是另一个内角的倍时可得或，于是或；过点作于点，通过计算的长得到的高，利用三角形的面积公式即可求得结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的面积，利用已知条件判定≌是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形、是完全相同的矩形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，，
，
，
▱是菱形，
长方形长、宽分别为、，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，即，
菱形的面积，
菱形的面积，
，
，
故答案为：．
由题意得出，，，即可证明≌，得到，进而得到，根据，，证四边形是菱形，根据勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，再利用菱形面积的两种求法即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
或，
，；



． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
∽；
解：∽，
，
，
． 

【解析】由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证明∽；
由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

20.【答案】解：一个三角形的三边长分别为，，，
这个三角形的周长是：


；

当时，这个三角形的周长是：答案不唯一． 

【解析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；
根据中的结果，选择一个符合题意的的值即可解答本题．
本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
，
又，
∽，
，
，
如图，过点作于，

正方形的周长为，
，
，，，
，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
通过证明∽，可得，由等腰直角三角形的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
 

22.【答案】解：元．
降价前商场每天销售该商品的利润是元．
设每件商品应降价元，
由题意，得，
解得，．
要更有利于减少库存，
．
答：每件商品应降价元． 

【解析】根据总利润单件利润销售数量解答；
根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
∽；
证明：过点作，交于点，

，，
，
，
，
，
，
，
，
点是中点；
解：过点作，垂足为，

，
，，
，
，，
，
点、、、四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
由得：，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】根据垂直定义可得，再利用同角的余角相等可得，即可解答；
过点作，交于点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，
进而可得，即可解答；
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而证明点、、、四点共圆，进而可得，然后求出，从而可证明≌，进而可得，然后可求出、，的长，最后利用可得，进行计算即可解答．
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌．
解：≌，
，
，
的面积

，
，
解得，，，
或，
或．
解：如图，连接并延长交于点，连接，

点是的中点，
，
，
，，
≌，
，或，
当时，，
，
，
；
当时，，
，
，
；
综上，的长度为或． 

【解析】先证得，很容易证明与全等，由此得出，又由互余可得出，进而可得结论；
根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据中即刻得出结论；
连接并延长交于点，连接，可证明≌，所以，或，又是的中位线，求出的长即可．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系．