2021-2022学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 已知为虚数单位，复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法错误的是(    )

A. 线性回归直线一定过样本点中心
B. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好
C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D. 在线性回归分析中，相关系数的值越大，变量间的相关性越强

5. 已知条件：函数的定义域，条件：的解集，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 函数的零点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知命题：，；：，那么下列命题正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若函数，给出下面结论：时有极大值，在单调递减，其中正确的结论个数(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 设函数，则______．
14. 曲线在点处的切线方程为______．
15. 下列四个命题：
    复数在复平面中对应的点在第二象限
    已知幂函数为偶函数，则
    若函数定义域为，则
    ，恒成立
    其中真命题的序号是______把真命题的序号都填上
16. 设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红，有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害．为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对高二年级的学生进行网络搜题的情况进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各人进行抽样分析，已知经常使用网络搜题的女生占整个女生的，而男生中偶尔或不用网络搜题占整个男生的．
    补全下列列联表．

试运用独立性检验的思想方法分析，并判断是否在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？并说明理由．
附：．

18. 已知是函数的极值点．
    求的值；
    证明：当时，恒成立．
19. 某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据如表所示：

作出这组数的散点图如图
请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度关于时间的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由
根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测第天这株幼苗的高度结果保留整数．
附：，参考数据：

20. 已知函数，
    当时，求函数在的值域；
    若关于的方程有解，求的取值范围．
21. 已知命题：在区间上恒成立；
    命题：函数，若对任意，恒成立；
    如果命题为真命题，求实数的取值范围；
    命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
22. 已知函数
    讨论函数的单调性；
    若，是否存在实数，都有恒成立，若存在求出实数的最小值，若不存在说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
则．
故选：．
根据已知条件，先求出集合，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：“，”的否定是，．
故选：．
任意改存在，将结论否定，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对：根据样本点中心：点必在回归直线上，故A正确；
对：由相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故B正确；
对：在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，说明总体“距离”越小，即其模型拟合的精度越高，故C正确；
故D：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故D错；
故选：．
对：根据样本点中心：点必在回归直线上，可分析的真假．
对：利用相关指数：越大模型的拟合效果越好判断；
对：对于这组数据的拟合程度的好坏的评价，残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好，即可判断；
对：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，即可判断．
本题考查命题真假的判断，涉及线性回归直线的性质以及残差图、相关性指数的概念，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，条件：函数的定义域，其定义域为，即对应的集合为，
条件：，解可得，即对应的集合为，
易得是的真子集，
故是的充分不必要条件，
故选：．
根据题意，求出、对应的的取值范围，分析两个集合的关系，即可得答案．
本题考查充分必要条件的判断，涉及函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，
由，得，
，由题意可得，，即，
解得舍去，或．
故选：．
设切点坐标，求出原函数的导函数，得到函数在切点处的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：令，可得，
整理可得，
如图所示：可得有两个交点，即函数有两个零点；
故选：．
将零点转化为两个函数的交点问题，由数形结合可得由两个交点．
本题考查函数的零点与两个函数的交点相互转化的性质的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于命题：，故为真命题；
对于命题：，；故，故为假命题；
故为真命题；
故选：．
直接利用基本不等式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，三角函数诱导公式的应用判断命题的真假．
本题考查的知识要点：命题真假的判定，基本不等式的应用，三角函数关系式的额变换，正弦型函数的性质的应用，三角函数诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为函数是上的偶函数，所以，
而，可得，
由可得，所以可得周期，
所以，
而时，，所以，
故选：．
由偶函数和，可得函数的周期，可得以的值．
本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：的定义域为，
且，则为奇函数，
当时，，，由，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
可知当时，有极小值，而为奇函数，则时有极大值，故正确；
在单调递增，故错误；
由在单调递增，得，而，
，故正确．
正确结论的个数为个，
故选：．
由奇函数定义判断函数为奇函数，求出时的函数解析式，利用导数研究单调性与极值，结合奇偶性判断．
本题考查分段函数的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
则当时，，当时，，
可知在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
故，
在上单调递减，故，
对任意，总存在，使得成立，
，
即，得．
实数的最大值为．
故选：．
利用导数求得在上的值域，由函数的单调性求得在上的值域，问题转化为，得到关于的不等式求解．
本题主要考查了函数的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，训练了利用导数求最值，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意，在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，令，，则，
当时，，在上单调递增，而当时，，不合题意；
当时，由，得，
令，作出两函数图象如下图所示，

由图象可知，存在，使得，则，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，取得最小值，且最小值为，
由，得，得．
综上，．
故选：．
问题转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，令，，求导后易知当时不合题意，当时，利用导数求出函数的最小值，由此容易得到实数的取值范围．
本题考查不等式恒成立问题，考查导数的综合应用，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，构造函数，，利用导数求出函数的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数，，
则，
故答案为：．
由题意，利用分段函数先求出，可得要求式子的值．
本题主要考查利用函数的解析式，求函数的值，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，得，
，又，
曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：对：，则其对应的点应该在第一象限，故错误；
对：因为函数为幂函数，所以，解得或，
又函数为偶函数，所以，故，则，故正确；
对：因为函数定义域为，即对，，
则，解得，故正确；
对：令，则，
所以函数在上单调递增，
当时，，
故恒成立，故正确，
故答案为：．
对：化简之后即可判断；
对：利用幂函数定义先求得，进而得到函数解析式，即可求得，即可判断；
对：根据定义得到关于的不等式，即可判断；
对：令，再利用导数研究函数的单调性，以及的取值，即可判断．
本题考查命题真假的判断，涉及复数、幂函数、偶函数以及函数恒成立问题，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，则，
当时，，
当时，，函数为减函数，
函数是奇函数，函数为定义域上的奇函数，
时，函数是减函数，
又，，
时，由，得，解得；
时，由，得，解得．
不等式的解集为．
故答案为：．
构造函数，利用已知结合的导数判断函数的单调性与奇偶性，即可求出不等式的解集．
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：男生中偶尔或不用网络搜题的学生人数为，
经常使用网络搜题的女生的学生人数为，
列联表如下：

，
能在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关． 

【解析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：是的极值点，
，
，
，
，
，当时，即，当时，，
在单调递减，在单调递增，
经检验，满足题意．
证明：要证在时恒成立，
则令，，
，
，
，，
在单调递增，
，
恒成立
当时，
 

【解析】将代入，可解，但需要验证．
根据题意构建，，再求导证明．
本题考查函数极值以及利用函数单调性证明不等式相关知识，属于较难题．
 

19.【答案】解：由散点图可知，更适宜作为幼苗高度关于时间的回归方程类型；
令，则构造新的成对数据，如下表所示：

则，，
，
，
故关于的回归直线方程为，
从而可得：关于的回归方程为，
取，得，
故预测第天幼苗的高度大约为． 

【解析】由散点图直接得结论；
令，则，利用最小二乘法求该线性回归方程，进一步可得关于的回归方程，取，求得即可．
本题考查回归方程的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：当时，，
令，，，
所以，
所以函数是开口向上的抛物线，且对称轴，
当时，，
又因为，所以当时，函数的最大值为，
的值域是；
方程有解，有解，
即，
所以，
所以可得．
即的取值范围为． 

【解析】由题意整理，换元可得函数的值域；
方程整理可得的解析式，由函数的范围，可得的取值范围．
本题考查换元法求函数的值域及由函数的最值求参数的范围的方法，属于中档题．
 

21.【答案】解：若在区间上恒成立，则在区间上恒成立，
因此，只需，即命题：，
实数的取值范围为；
由命题“”为真命题，“”为假命题，可知，一真一假，
当为真命题时，，恒成立，，
在上恒成立，
在上单调递增，
在上恒成立，
恒成立，
，解得，
若真假，则，；
若假真，则，；
综上：，． 

【解析】若命题为真命题，则不等式可转化为在区间上恒成立，由此容易求得的范围；
易知，一真一假，若为真命题，可得，然后分真假和假真讨论得解．
本题考查不等式的恒成立问题以及复合命题的真假判断，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
当 时，，在单调递增，
当 时，，
令 ，得，得，
在单调递增，在单调递减，
综合得：当 时，在单调递增；
当 时，在单调递增，在单调递减；
，，
，，
令 ，，
令 ，
单调递减，
，
，
，使得，
即 ，
当 ，，，单调递增，
，，，单调递减，



，
，
，
的最小值为． 

【解析】讨论导函数的符号即可求解；
先分离参数，再构造函数求导研究其最值，从而得的范围，从而得实数的最小值．
本题考查导数研究函数的单调性、最值，分类讨论思想，考查恒成立问题，隐形零点问题，属中档题．