2021-2022学年四川省眉山市高一（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

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2021-2022学年四川省眉山市高一（下）期末数学试卷（理科） 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共12小题，共60分）不等式的解集为(    )A.  B.
C.  D. 直线的倾斜角为(    )A.  B.  C.  D. 若，满足约束条件，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 计算：(    )A.  B.  C.  D. 已知数列满足，，为数列的前项和，若，则(    )A.  B.  C.  D. 向量，满足，，，则向量，的夹角是(    )A.  B.  C.  D. 设等差数列的前项和为，，，取最小值时，的值为(    )A. 或 B.  C.  D. 或已知矩形中，，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点距离地面的高度与地面垂直，在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为，并从点测得点的仰角为；在赛道与建筑物之间的地面上的点处测得点，点的仰角分别为和其中，，三点共线该学习小组利用这些数据估算得约为米，则的高约为米．(    )
参考数据：，，
A.  B.  C.  D. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 已知，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共4小题，共20分）直线经过的定点是______．在正项等比数列中，是与的等差中项，则的公比为______．已知，均为锐角，，，则______．共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士．年月日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，则的最大值为______，此时______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）已知直线：和：．
若两直线垂直，求实数的值；
若两直线平行，求两直线间的距离．已知的内角分别为，，，且．
求角的大小；
求的取值范围．已知函数．
求函数的单调增区间；
若，且，求的值．已知等差数列的公差不为，且，；数列的前项和为，且．
求数列，的通项公式；
求数列的前项和．在中，角，，的对边分别为，，，请在以下三个条件中任选一个，完成下列问题：

求角的大小；
若，点在边上，且，，求的面积．已知数列满足，，令，设数列前项和为．
求证：数列为等差数列；
若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
设正项数列满足，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：不等式，
解方程得，，
不等式的解集为．
故选：．
解方程得，，由此能求出不等式的解集．
本题考查一元二次不等式的性质、解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：直线的斜率等于，设它的倾斜角等于，则  ，且，
，
故选：．
直线的斜率等于，设它的倾斜角等于，则  ，且，求得值，即为所求．
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到，是
 解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，由，得，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：．
故选：．
利用两角差的正切公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了两角差的正切公式以及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由，，于是是首项为，公比为的等比数列，
故，
根据求和公式，，
令，即，
解得．
故选：．
先求出通项公式，然后求出其前项和，解方程即可．
本题考查了等比数列的前项和的计算，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由，知，即，
所以，解得，
所以，，
因为，，所以，．
故选：．
将两边平方，并结合平面向量数量积的运算法则，即可得解．
本题考查平面向量的数量积，熟练掌握平面向量数量积的运算法则，模长的计算方法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：等差数列的前项和为，，，
求得，，
故有，
故当时，取得最小值．
由于为自然数，故当，或时，取得最小值，
故选：．
由题意，利用等差数列的通项公式、前项和公式，求出首项和公差，可得，再利用二次函数的性质，得出结论．
本题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式，二次函数的性质，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：矩形，，
，，
，，
，，
，
故选：．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求出，，再利用数量积运算求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，平面向量基本定理，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由题意知，，则，，，
在中，，
在中，，则，
则，
，
则米，
故选：．
根据正弦定理以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，根据仰角的定义分别求出对应角的大小，利用正弦定理建立方程进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 10.【答案】 【解析】解：设，，
因为，所以当时，，
当时，，
根据不等式可知或，
对于，必有即，
则当时，，
当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为．
故选：．
根据题意：，，由一次函数以及不等式分析变形后带入，然后利用基本不等式求解．
本题主要考查不等式恒成立的处理方法，代数式最值的求解等知识，属于中等题．
 11.【答案】 【解析】解：，，，，
，，
解得，，
，且，，
，．
故选：．
利用和差公式结合条件求出和，再求出即可．
本题考查了和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：由，可得，
由余弦定理可得，
因为的面积，
所以，
因为，
所以，
故当时，取得最大值，此时．
故选：．
根据题意得到，利用余弦定理和面积公式，化简得到，结合，得到，即可求解．
本题考查了三角形面积最值问题，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：，
令，解得，，
则直线经过的定点是．
故答案为：．
根据已知条件，结合定点的定义，即可求解．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：是与的等差中项，
，
设的公比为，，
则，即，解得或舍去，
故的公比为．
故答案为：．
根据已知条件，结合等差中项的性质，可得，再结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由于已知，均为锐角，，，
所以，；
故．
故答案为：．
直接利用三角函数关系式的变换和角的恒等变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，角的恒等变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 16.【答案】  【解析】解：设，则，，
则，
故当时，有最大值为，
当时，，则，
又，
，
，
，
故答案为：，．
，则，利用则可解，又，，可得，．
本题考查平面向量运算，属于中档题．
 17.【答案】解：两直线垂直，，解得．
两直线平行，，解得或，
当时，两直线重合，故舍去，所以，
此时：，：，
则两直线间的距离为． 【解析】根据已知条件，结合两直线垂直的性质，即可求解．
根据已知条件，结合直线平行的性质，以及平行直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线平行，垂直的性质，属于基础题．
 18.【答案】解：因为，
所以，解得或，
由于，所以，可得；


，
因为，所以，则，
所以
所以的取值范围是． 【解析】利用二倍角余弦公式得到方程，解得，即可得解．
依题意，利用和差角公式化简，再根据的取值范围，求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得．
本题主要考查特殊角的三角函数值，解三角形中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
 19.【答案】解：，
令，得，
所以函数的单调增区间为；
由可得，
又因为，所以，
而，所以，
所以；
所以
． 【解析】利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，再由可求出函数的增区间，
由可得，然后求出的范围，再求出的值，而，两边取余弦化简可求得结果
本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
 20.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，得，
化简得，因为，故；
故；
由数列的前项和为，
当时，得；
当时，有，
有，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
综上：；
解：，
，
，
得：，
整理化简得：． 【解析】利用等差数列的通项公式求出公差，即可求出，根据，作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而得到的通项公式；
由可得，利用错位相减法计算可得．
本题考查了等差数列的通项公式，利用数列的递推关系求通项公式以及错位相减求和问题，属于中档题．
 21.【答案】解：选，由得：，得，
所以，所以，即有，
由于，所以；
选：由余弦定理知：；所以，
代入条件有：，
由于，所以；
即，
由正弦定理有：，
因为，，
所以，
又因为，所以；
选：由得：，
由正弦定理有，，所以，又因为，所以；
由可知，则，
在中，，
在中，由正弦定理可知，即，
可得，
所以，在中，，
所以的面积． 【解析】若选，利用诱导公式及和差角公式求出，从而得解；
若选，利用余弦定理得到，再利用正弦定理将边化角，最后利用两角和的正弦公式计算可得；
若选，根据同角三角函数的基本关系将切化弦，再利用正弦定理将角化边，从而计算可得；
利用诱导公式得到，从而求出，再由两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，最后根据面积公式计算可得．
本题注意考查了正余弦定理的灵活应用和三角形面积的计算问题，属于中档题．
 22.【答案】证明：，，即，
，，，，
数列为等差数列且首项为，公差为．
解：数列为等差数列且首项为，公差为，
，，，
，
存在，使不等式成立，
成立，，
，
当且仅当，即时取等号，．
证明：，，，
，，
，即，
，
． 【解析】把已知的数列递推式变形，得到，即可证明．
利用裂项相消法求出数列的和，再分参得到，再利用基本不等式求最值即可．
先得到，再求出数列和，即可证明．
本题考查了数列递推式，考查了等差数列的证明，训练了裂项相消法求数列的和，数列不等式的证明，是难题．