2021-2022学年青海省玉树州州直高中高三（下）第三次大联考数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年青海省玉树州州直高中高三（下）第三次大联考数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知复数为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知某质点从直角坐标系中的点出发，沿以为圆心，为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达点，若在轴上的射影为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将个不同的球放到个不同的盒子里，每个盒子中至少放一个球，则放法种数有(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知斜率为的直线与双曲线相交于，两点，且的中点是，则的渐近线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知点是曲线上任意的一点，则点到直线的距离的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，若对任意的均有成立，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，，，则的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列说法正确的是(    )

A. 的值域为
B. 的最大值为
C. 的单调递增区间为
D. 函数的最小值为

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，若，则______．
14. 已知，满足约束条件，则的最小值为______．
15. 已知，之间具有线性相关关系，若通过组数据得到的回归方程为，且，则______．
16. 在三棱锥中，平面，，点是线段的中点，若三棱锥的外接球的表面积是，则直线与平面所成角的大小是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知单调递增的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前项和．
18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形是矩形，四边形为等腰梯形，且，，．
    求证：；
    求二面角的余弦值．

19. 年北京冬奥会即第届冬季奥林匹克运动会将在年月日至月日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是：，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有人对冰壶运动没有兴趣．
    完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，若从这人中随机选出人作为冰壶运动的宣传员，设表示选出的人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：．

20. 已知过点的动圆与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线．
    求的方程；
    过点的直线交于点，，过点且斜率为的直线与交于异于，的一点，证明：直线过定点．
21. 已知．
    讨论函数的单调性；
    当时，证明：函数有且仅有两个零点，，且．
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
    求的普通方程；
    已知点的直角坐标为，过点作的切线，求切线的极坐标方程．
23. 已知函数．
    若，求不等式的解集；
    若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先对化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
由，得，
，
则．
故选：．
求解函数的定义域化简，求解分式不等式化简，再由交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，考查函数的定义域及分式不等式的解法，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，根据三角函数定义可知：，则，
．
故选：．
根据三角函数定义，代入运算整理．
本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，
由正弦定理可知，
又因为，，
所以，
解得，
所以，
故选：．
根据正弦定理可得，代入余弦定理解方程可得的值，从而可得的值．
本题考查了正余弦定理的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将个不同的球分为组，有种分组方法，
将分好的组全排列，放入个盒子，有种情况，
则不同放法有种；
故选：．
根据题意，分步进行分析：、先将个小球分成组，，将分好的组全排列，放入个盒子，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为的正方形，高为的四棱锥体．
如图所示：

故：．
故选：．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，两点的坐标为，，
则有：，
两式相减，可得：，
由直线的斜率为，且中点，可得：，
故C的渐近线方程为：．
故选：．
根据点在双曲线上，联立方程，表示出中点与斜率的关系，进而求出双曲线的渐近线方程．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，则，
令，解得或，
，，，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式可得点到直线的距离的最小值，
故选：．
求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解．
本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化思想，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数大小的求法，注意对数函数和指数函数性质的合理运用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，可得的图象；
若对任意的，均有成立，
故，，，
即，，
故的最小值为，
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的最小值，求得的最小值．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最小值，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知，在中，，，
，，，
，
，
在中，由正弦定理有，
，
．
故选：．
由题知，，，进而结合正弦定理有，可求离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项A：，显然该函数在上单调递减，
所以，即函数的值域为，故选项A错误，
对于选项B：当时，，故选项B错误，
对于选项C：因为函数在上单调递增，
所以得或，
所以由复合函数的单调性可知的单调递增区间为，
故选项C错误，
对于选项D：函数表示点与连线斜率，
因为点在圆上，如图所示，
当过点的直线与圆的上半部分相切时，斜率最小，
设直线方程为，即，
所以，解得，
斜率的最小值为，
即函数的最小值为，故选项D正确，
故选：．
中根据函数单调性可求出值域，中举反例可知错误，根据复合函数的单调性可判断选项C，中函数表示点与连线斜率，利用数形结合法可求的最小值．
本题主要考查了函数的值域，考查了复合函数的单调性，以及数形结合法求函数的最值，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，，，
，
则，
故答案为：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，，
令，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
有最小值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意知，，
因为回归方程为，
所以可以计算出，
所以，
故答案为：．
依据回归方程过点，即可求得的值．
本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设外接球半径为，则，解得：，

因为，所以为等边三角形，
因为点是线段的中点，
所以，
因为平面，
所以由勾股定理得：，故，
所以直线与平面所成角为，
外接圆半径为，即，
所以，
因为平面，
所以，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
求出外接球半径和的外接圆半径，得到，进而求出，得到直线与平面所成角为，求出的正切值，进而求出．
本题考查了线面角的计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：设的公差为，
由题意得，，即，
解得或舍，
所以，即．
由得，，
所以，
所以
． 

【解析】根据等差数列的通项公式与前项和公式，求得公差和首项后，得解；
易知，再采用分组求和法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前项和公式，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：因为四边形是矩形，故BC，又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，，
取中点，连接，

，，
四边形为平行四边形，
，
在中，，
，
，，平面，且交于点，
平面，
平面，
，
由，平面，可得，，两两垂直，
故以为原点建立如图空间直角坐标系，由同理可得，，

故
故．
设平面的一个法向量为，则，
故，令，
则，
设平面的一个法向量为，
则，故，令，则
二面角为，则，
即二面角的余弦值为． 

【解析】取中点，连接，根据线线平行且相等证明四边形为平行四边形，再根据勾股定理证明，再根据线面垂直的性质与判定证明平面即可，
以为原点建立空间直角坐标系，再分别求解平面和的法向量，进而求得二面角的余弦值即可．
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：根据题意得到如下列联表：

，
有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
对冰壶运动有兴趣的一共有人，
从中抽取人，抽到的男生人数、女生人数分别为：人，人，
的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列是：

故． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
对冰壶运动有兴趣的一共有人，从中抽取人，抽到的男生人数、女生人数分别为：人，人，的所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，即可得分布列，并结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

20.【答案】解：设动圆的圆心，则过点的动圆与直线相切，
可得，化简可得，
故的方程为；
证明：设，，，
设直线的方程为：，即，
联立，得，
则，，
设直线的方程为，，
联立，得，可得，则，，
直线的方程为，
即，则直线过定点． 

【解析】由已知可求的方程；
设，，，设直线的方程为：，联立方程可得，，设直线的方程为，，与抛物线方程联立可得，，表示出直线的方程可得定点坐标．
本题考查抛物线的性质，考查定点坐标问题，属中档题．
 

21.【答案】解：的定义域为．
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，由，得，故在上单调递增，在上单调递减．
证明：当时，，由知，在单调递增，在单调递减，
所以．，
所以在区间上存在零点，
因为在单调递增，故在区间上存在唯一的零点；
因为，所以在区间上存在零点，
因为在单调递减，所以在区间存在唯一的零点．
所以，函数有且仅有两个零点，．
不妨设，．
要证，只需证明，因为在单调递增且，，所以只需证明，，只需证明
设
，当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以． 

【解析】求得，对分与两类讨论，可得函数的单调性；
利用分析法，要证，只需证明，只需证明，而，将双变量化为单变量，只需证明，通过构造函数，求导分析，可证得结论成立．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查转化与化归思想及函数与不等式思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
所以的普通方程是．
由题意，切线的斜率一定存在，
设切线方程为，即，
所以，解得．
所以切线方程是或，
将，代入，
化简得或． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式的应用和转换关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：若，，
当时，，解得，所以，
当时，，无解，
当时，，解得，所以，
综上，不等式的解集是．
因为，
若，不等式恒成立，只需．
当时，，解得，
当时，，此时满足条件的不存在，
综上，实数的取值范围是． 

【解析】通过讨论的范围，去掉绝对值，求出各个区间上的的范围，取并集即可．
利用绝对值三角不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．