初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试单元测试一课一练
展开苏科版初中数学九年级上册第一章《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
- 若是关于的方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
- 下列方程中是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
- 下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
- 定义为不大于实数的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为( )
A. 或 B. C. D. 或
- 在正方形的对角线上取一点，连结，过点作交于点，将线段向右平移个单位，使得点落在上，落在上．已知，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
- 关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
- 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
如果是方程的根，则是等腰三角形；
如果方程有两个相等的实数根，则是等边三角形；
如果是等边三角形，则这个一元二次方程的根为和．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
- 已知，是方程的两根，则代数式的值是( )
A. B. C. D.
- 赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制每两队之间都进行两场比赛，比赛总场数为场，若设参赛队伍有支，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
- 一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图所示方式放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分黑色阴影部分的面积为按照图所示方式放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图所示方式放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为( )
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若、两点同时出发，当点运动到点时，、两点同时停止运动，当三角形的面积是三角形的面积的三分之一时，经过多少秒时间？( )
A. B. C. 或 D. 或
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 若实数是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
- 已知一个一元二次方程的二次项系数是，常数项是，它的一个根是，则这个方程为 ．
- 如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，若，则_____________．
- 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的元降到元，则平均每次降价的百分率为_________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 若关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
- 、、为正整数，关于的方程的两实根的绝对值都小于，求的最小值．
- 在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．
的值是_______可不写过程；
点是直线上的一个动点，点和点分别在轴和轴上．
如图，点为线段的中点，且四边形是平行四边形时，求的周长；
当平行于轴，平行于轴时，连接，若的面积为，求点坐标．
- 如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况．
- 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
求的值；
求该方程的根． - 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求的取值范围；
若，满足，求的值． - 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．
试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ - 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图，地毯中央的矩形图案长米、宽米，整个地毯的面积是平方米．求花边的宽．
- 解方程：
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是分式方程，故A错误；
B、时，是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
2.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
因为，
所以，
则．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义得到，然后利用等式性质求的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】
【解析】解：、时是一元一次方程，故A错误；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4.【答案】
【解析】解：、该方程属于分式方程，故本选项错误；
B、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、由已知方程得到：，属于一元一次方程，故本选项错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
5.【答案】
【解析】解：当时，，解得或，均不合题意
当时，，解得， 舍去
当时，，方程没有实数解
当时， ，方程没有实数解．
所以方程的解为．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的判定和性质，平移的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，添加辅助线构造全等三角形是关键．
过点作于，交于，先证明四边形和是矩形，再证明，
得，，得和重合，，最后利用勾股定理根据，
得，解方程求得即可解答．
【解答】
解：过点作于，交于，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
四边形和是矩形，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
线段向右平移个单位，使得点落在上，落在上．
，，，
，
，
，
在和中
，
，，
和重合，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
两边平方得：，
，
，
，
负数已舍去，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：当时，方程化为，解得：，符合题意；
当时，得到，解得：，
综上，的取值范围是．
故选：．
分两种情况考虑：当时，方程为一元一次方程，有实数根，符合题意；当不为时，方程为一元二次方程，得到根的判别式大于等于，求出的范围，综上，得到满足题意的范围．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，根的判别式的值大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于，方程没有实数根．
8.【答案】
【解析】
【分析】
直接将代入得出关于，的等式，进而得出，即可判断的形状；
利用根的判别式进而得出关于，，的等式，进而判断的形状；
利用是等边三角形，则，进而代入方程求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，灵活应用所学知识是解题关键．
【解答】
解：是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形．
是直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
是等边三角形，
可整理为：，
，
解得：，．
故其中正确的是．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程解的定义．
根据一元二次方程解的定义得到，即，根据根与系数的关系得到，，然后整体代入变形后的代数式即可求得．
【解答】
解：、是方程的两根，
，，，
，
则原式
．
10.【答案】
【解析】解：设参赛队伍有支，则
．
故选：．
设参赛队伍有支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
11.【答案】
【解析】设矩形的长为，宽为，根据题意，得
，得，
．
将代入，得，
整理，得，
解得，舍去，
．
所求面积为．
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．
设经过秒，三角形的面积是三角形的面积的三分之一．表示出，，，再得出与面积，利用求出即可．
【解答】
解：设经过秒，三角形的面积是三角形的面积的三分之一．
、移动秒时，，，则，
，
，
当时，则，
整理，得，
解得，，
即当或时，的面积等于的面积的三分之一．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于的式子，代入代数式化简求值把代入方程有，变形可得 ，代入代数式可以求出结果．
【解答】
解：是一元二次方程的一个根，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的概念根据一元二次方程的二次项系数是，常数项是，得到方程为，再根据它的一个根是，代入计算得到的值．
【解答】
解：一元二次方程的二次项系数是，常数项是，它的一个根是，
这个一元二次方程可以为．
把代入得，
，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形，一元二次方程的解法，掌握正方形的判定和性质，勾股定理和添加辅助线构造正方形是关键．
过点分别作于，交延长线于得矩形，先证明矩形是正方形，再求得，设，则，，利用勾股定理得方程，解方程求得，最后在中，由勾股定理求得即可解答．
【解答】
解：过点分别作于，交延长线于得矩形，
，
，
，
矩形是正方形，
四边形是正方形，，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，舍去，
，
在中，由勾股定理得：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程的依据是：商品原来价格每次降价的百分率现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【解答】
解：设这种商品平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得，
，
解得，不合题意，舍去；
故答案为：．
17.【答案】解：依题意，解得且．
【解析】本题根据一元二次方程的定义，二次项系数不等于，并且二次根式有意义的条件被开方数是非负数，即可求得的范围．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
18.【答案】解：由于，，是正整数，关于的一元二次方程的两个实数根，
则判别式，
若方程的两根设为，，且，
则由题设可得，，
则．
令，即有，
即，且．
整理可得：，且，且
即有．
结合前者，可知，最小为，，．
则的最小值为．
【解析】由题意和韦达定理可得方程的两根满足令，即有，且对称轴介于，由不等式的性质可得结合前者，可得最小为，，即可得到最小值．
本题考查二次方程实根的分布，主要考查二次函数和二次方程的关系，运用不等式的基本性质是解题的关键．
19.【答案】解：将代入，得：， 解得：故答案为： 可无过程
由可知直线的解析式为 当时，，点的坐标为，点为的中点，点的坐标为，四边形是平行四边形， ，，，是的中位线，四边形是平行四边形，，在中，，，，
， 设点的坐标为，则，，，或 方程无解； 解方程，得：，，点的坐标为或．
【解析】略
20.【答案】解：方程没有实数根，
．
．
对于方程．
当时，方程有一个实数根；
当时，．
，
，方程有两个不相等的实数根．
答：当时，方程有一个实数根；
当且时，此方程有两个不相等的实数根．
【解析】根据题意：要使方程没有实数根，必有，解可得的取值范围，将其代入方程的公式中，判断的取值范围，即可得出答案．
主要考查一元二次方程根与系数之间的关系及根的情况的判断公式的使用；要求学生熟练掌握．
本题易错点是忽视对第二个方程是否是一元二次方程进行讨论，这个方程可能是一元一次方程．
21.【答案】解：关于的一元二次方程有两个相等的实根，
，
或，
的值为或．
当时，关于的一元二次方程为，
解得．
当时，关于的一元二次方程为，
解得．
【解析】根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，解方程求得的数值；
把代入原方程求得方程的解即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
22.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，
解得：，
的取值范围为．
关于的一元二次方程有两个实数根，，
，．
，
当时，有，
联立解得：，，
，；
当时，有，
联立解得：，不合题意，舍去．
符合条件的的值为．
【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；
由根与系数的关系可得、，分和可找出或，联立或求出、的值，进而可求出的值．
23.【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染个人．
人．
答：经过三轮传染后共有人会患流感．
【解析】设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据数量关系，列式计算．
24.【答案】解：设花边的宽为米，
根据题意得，
解得，，
不合题意，舍去．
答：花边的宽为米．
【解析】首先设花边的宽为米，根据题意可得等量关系为：矩形图案的长两个花边的宽矩形图案的宽两个花边的宽地毯的面积，根据等量关系列出方程，再解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
25.【答案】解：两边平方得：，
，
解得或．
经检验是原方程的解．
【解析】应两边平方，把无理方程转换为整式方程求解．
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
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