初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试单元测试达标测试

苏科版初中数学九年级上册第一章《一元二次方程》单元测试卷

考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若是的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 关于的一元二次方程为实数根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定

5. 一元二次方程的根的情况为(    )

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 两个相等的实数根 D. 两个不相等的实数根

6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7. 方程的根的情况，下列结论中正确的是(    )

A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根

8. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若是方程的一个根，则此方程的另一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

12. 某市一楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若关于的方程有一个根是，则______．
14. 方程的根为______．
15. 设、是方程的两个根，则______．
16. 年，我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积平方步，宽比长少步，问宽和长各几步．若设长为步，则可列方程为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知是方程的解，求实数的值．
18. 已知关于的一元二次方程为常数．
    若它的一个实数根是关于的方程的根，求的值；
    若它的一个实数根是关于的方程的根，求证：．
19. 已知关于的一元二次方程有一个根是．
    求的值；
    求方程的根．
20. 解下列方程：
    ；
    ．
21. 选择适当的方法解方程：；
    对于任意实数，，定义，如，若，求实数的值．
22. 已知关于一元二次方程．
    求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
    当时，方程的两实数根是等腰三角形的两边，试求等腰三角形的周长．
23. 已知关于的一元二次方程．
    求证：该方程总有两个实数根；
    若此方程的两个实数根，，满足，求的值．
24. 已知关于的一元二次方程为实数，．
    求证：此方程总有两个实数根；
    若方程一个根是，求的值及方程的另一个根？
25. 随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施投入，尽快形成合肥都市圈“小时通勤圈”和“小时生活圈”在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，年投入资金万元，年投入的资金为万元，设这两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
    求出这两年间的年平均增长率．
    若对该道路投入资金的年平均增长率不变，预计完成这条道路改造工程的总投入．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
由题意得：，，
解得：，
故选：．
把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为以及一次项的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的定义。掌握了一元二次方程的定义是解题关键，根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可
【解答】
一元二次方程需要满足三个条件：
整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数
只含有一个未知数
未知数的最高次数是
中，当时，不是一元二次方程，选项错误
中，满足定义，正确
中，含有两个未知数，选项错误
中，当，不是一元二次方程，选项错误
故选B．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值．
【解答】
解：是的一个根，
，
，
．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用一元二次方程的根的判别式即可求．
【解答】
解：由根的判别式得，，
故该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】
解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个实数根，

解得：且．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：方程整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根，设为，，
，，
方程一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根绝对值．
故选：．
方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断解的情况，并利用根与系数关系判断即可．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，即，，
则原式



．
故选：．
根据题意把代入方程求出的值，并利用根与系数的关系求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设另一个根是，
，
，
故选：．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意得：，
解得：舍去，．
故选C．  

11.【答案】 

【解析】解：设参加酒会的人数为人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：参加酒会的人数为人．
故选：．
设参加酒会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设平均每次下调的百分率是，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去，
故选：．
设出平均每次下调的百分率为，利用预订每平方米销售价格平均每次下调的百分率开盘每平方米销售价格列方程解答即可．
此题考查了一元二次方程的应用，基本数量关系：预订每平方米销售价格平均每次下调的百分率开盘每平方米销售价格．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．把代入方程得出，求出关于的方程的解即可．
【解答】
解：关于的方程有一个根是，
把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．  

14.【答案】， 

【解析】

【分析】
此题考查了直接开平方法解一元二次方程．
根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】
解：，
，
，．
故答案为，．  

15.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个根，
，，
；
故答案为；
由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入计算即可；
本题考查一元二次方程根与系数的关系
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由长和宽之间的关系可得出宽为步，根据矩形的面积为平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：长为步，宽比长少步，
宽为步．
依题意，得：．  

17.【答案】解：由题意得：
，
，
解得：或，
检验：当时，，
是原方程的根，
当时，，
是原方程的根，
实数的值为或． 

【解析】把代入方程中可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一元二次方程的解，一定要注意解分式方程必须检验．
 

18.【答案】解：解关于的方程得，
把代入方程得，
整理得，解得或；
证明：解关于的方程得，
把代入方程得，
整理得，
所以，
因为，
所以的最小值为． 

【解析】先解一次方程得到，然后把代入一元二次方程得到，然后解关于的方程即可；
先解一次方程得到，把代入方程得到，所以，利用配方法得到，然后根据非负数的性质可得到结论．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

19.【答案】解：把代入方程得，
整理得，
解得，，
，
的值为；
当时，方程化为：，
整理得，
解得，． 

【解析】先把代入方程得到，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值；
当时，方程化为，然后利用因式分解法解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

20.【答案】解：，
，
或
，；

，
，
，． 

【解析】利用因式分解法中的提公因式法把方程左边进行因式分解；
利用利用公式法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了公式法解一元二次方程．
 

21.【答案】解；，
，
，
，
，
所以，；
，
，
，
，
，
，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先根据新定义得到，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

22.【答案】证明：，
无论何值，原方程总有实数根；
解：当时，方程化为，
，
或，
，，
当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不符合三角形三边的关系，舍去；
当等腰三角形腰长为，底边为，它的周长为． 

【解析】先计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
先利用因式分解法解方程得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定等腰三角形腰长为，底边为，然后计算三角形的周长．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
 

23.【答案】证明：，
该方程总有两个实数根；
解：设方程的两实数解为、，
根据根与系数的关系得，，
，
，
，
，
即，
解得，．
故的值为或． 

【解析】通过计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
设方程的两实数解为、，根据根与系数的关系得，，再利用得到，则，然后解方程，从而得到满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

24.【答案】证明：，


，
此方程总有两个实数根；
解：把代入方程得，
解得，
则方程化为，
设方程的另一根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
所以的值为，方程的另一个根为． 

【解析】计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
先把代入方程得，则可得到，方程化为，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

25.【答案】解：设这两年间的年平均增长率为，根据题意得：
，
解得：，舍去．
答：这两年间的年平均增长率为；
根据题意，年投入资金为万元，
预计到年投入资金为万元，
所以完成这条道路改造工程的总投入为万元． 

【解析】根据“年投入资金万元，年投入的资金为万元，设这两年间每年投入资金的年平均增长率相同”得到相应的一元二次方程，计算可得答案；
根据题意可以计算得到年的投入资金，然后将、、、年的资金相加即可．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次方程的解法，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．