2021学年第4章 等可能条件下的概率综合与测试单元测试练习

苏科版初中数学九年级上册第四章《等可能条件下的概率》单元测试卷

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的个出口中的一个．下列判断：
    

个出口的出水量相同
号出口的出水量与号出口的出水量相同

，，号出水口的出水量之比约为
若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换最快一个三角形材料使用时间的倍。

其中正确的判断有．(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 某彩票中奖机会是，现有人购张，则该人中奖机会是(    )

A.  B. 不可能中奖 C. 中奖机会大 D. 不能确定

3. 这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内两个碗球数可以不同你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 书架上有本经济类书，本数学书，本小说，本电脑游戏类书．现某人随意从架子上抽取一本书，若得知取到经济类或者数学书的机会为，则，的关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. “五一”期间，小胡和小刘两家准备从七仙岭、呀诺达、槟榔谷中选择一景点游玩，他们通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 从，，，，中任取一个数作为，既要使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，又要使关于的分式方程有正数解，则符合条件的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图四个转盘中，、转盘分成等分，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下图是一个优美的几何图形，此图由三个半圆构成，其直径分别为的斜边，直角边，，若的三边所围成的阴影区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

11. 如图，在正方形网格中，有个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同，使图中黑色区域是轴对称图形的概率是．(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字、、、若转动转盘一次，转盘停止后当指针恰好指在分界线上时，不记，重转，指针所指区域的数字是奇数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 从数，，，中任取一个数记为，再从余下的三个数中，任取一个数记为若，反比例函数的图象经过第一、三象限的概率是______．
14. 在、、、这四个数字中，任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中，是奇数的概率是____．
15. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是______．

16. 如图，两个正方形边长分别为、，如果，，在图中任意取一点，这个点在阴影部分的概率是          ．
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 甲乙两人玩一种游戏：共张牌，牌面上分别写有，，，，，，，，，洗好牌后，将背面朝上，每人从中任意抽取张，然后将牌面上的三个数相乘，结果较大者为胜．
    你认为抽取到哪三张牌时，不管对方抽到其他怎样的三张，你都会赢？
    你认为抽取到哪三张牌时，不管对方抽到其他怎样的三张，你都会输？
    结果等于的可能性有几种？把每一种都写出来．
18. 从甲地到乙地有、、三条不同的公交线路为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时的数据，统计如下表：
    
    
    早高峰期间，请问乘坐哪条线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过”的可能性最大
19. 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调袋到乙库，则乙库存粮是甲库的倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
20. 在某次数学活动中，如图有两个可以自由转动的转盘、，转盘被分成四个相同的扇形，分别标有数字、、、，转盘被分成三个相同的扇形，分别标有数字、、若是固定不变，转动转盘如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止
    若单独自由转动盘，当它停止时，指针指向偶数区的概率是______．
    小明自由转动盘，小颖自由转动盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之积为的倍数的概率．

21. 盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．

从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，写出表示和关系的表达式．

往盒中再放进枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求和的值．

22. 如图，有一个均匀的正二十面体形状的骰子，其中个面标有““，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，其余的面标有“”，将这个骰子掷出后．
    “”朝上的概率是多少？
    哪个数字朝上的概率最大？

23. 有两组卡片，第一组卡片上写有、、，第二组卡片上写有、、、、分别利用画树状图和列表的方法，求从每组卡片中各抽出一张，都抽到的概率．
24. 甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为，，，两人各随机摸出一张卡片先摸者不放回来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．

若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？

若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？

若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？

25. 如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑个小正方形所形成的图案．
    

如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？

现将方格内空白的小正方形中任取个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出各出水口的出水量是解决问题的关键．根据出水量假设出第一次分流都为，可以得出下一次分流的水量，依此类推最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．
【解答】

解：设从最上方流入的污水量为．
 

显然个出口的出水量不全相同，故错误

号出口的出水量为，号出口的出水量为，故正确

号出口的出水量为，号出口的出水量为，号出口的出水量为，，，号出口的出水量之比约为，故正确

号与号出口的出水量最少，为，相应的三角形材料损耗速度最慢，第一次分流时流经相应净化材料表面的水量最多，为，净化塔最上面的三角形材料损耗最快，更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的倍，故正确故正确的有个．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了可能性大小的判断，事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．根据题意即可得到答案．
【解答】
解：彩票中奖机会是，即中奖机率是千分之五，购张则此人的中奖机会很大．
故A、、D错误；C正确．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他若选择只有一个白球的碗获得自由的概率，如果他选择错了碗，从另一个碗里摸到白球的概率是，从而所以获得自由的概率最大是．
故选：．
可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他选择只有一个白球的碗的概率是，如果他选择错了碗，将还有近的概率从另一个碗里摸到白球，从而使自己获得自由的概率最大．
本题考查概率的相关计算．确定出摸到白球最大概率方案是解答关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由已知可得，解得，即故选A．
由取到经济类或者数学书的机会为，可知经济类和数学书的本数占全部的，列出代数式即可求出的关系．
解答此题的关键是根据概率公式列出代数式．
 

5.【答案】 

【解析】解：用、分别表示两张印有中国国际进口博览会的标志，用表示一张印有进博会吉祥物“进宝”．
一次性随机抽取两张，所有可能出现的情况如下：

共有种等可能出现的结果，有种两张卡片图案不相同，
，
故选：．
利用树状图或列表法列出所有可能出现的结果数，再从中得到满足条件的结果数，进而求出概率即可．
考查随机事件发生概率的计算方法，列表法和树状图法是常用的方法，使用的前提是每一种结果出现的可能性是均等的，即是等可能事件．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两家抽到同一景点的结果数为，
所以两家抽到同一景点的概率．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出两家抽到同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
且，解得且
分式方程，去分母得，
，
分式方程有正数解，
且，
解得且，
的取值范围为且，，
从，，，，中任取一个数作为，符合条件的整数的值是，
即符合条件的只有个，故符合条件的概率是．
故选A．
 

8.【答案】 

【解析】解：所示：指针落在影区域内的概为：；
如图指针落在阴区域内的概率为：；
如所：指针落在阴影域内的概率：，
如所示：指针落在阴影区内概率：；
落在阴影区域内的率最大转盘是：．
故选：
利用针在阴影区域内的概是：，分别求概率比较即．
此题考了几何概率，算阴影区域的积在面积中占的是题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了几何概率：某事件的概率某事件所占有的面积与总面积之比．用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．
【解答】
解：设正方形的边长为，
针尖落在黑色区域内的概率．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的面积、圆的面积的知识，关键是求出对应的面积，属于基础题设，，，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案．

【解答】

解：设，，，

，

，

，

，

，

．

故选A．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查求事件的概率，涂黑一个格共种等可能情况，结合轴对称的意义，可得到轴对称图形的情况数目，结合概率的计算公式，计算可得答案．

【解答】 
解：如图，根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现种等可能情况， 

而当涂黑或或时，可以使图中黑色区域是轴对称图形， 
故其概率为．

故选 D．

12.【答案】 

【解析】解：奇数有两种，共有四种情况，将转盘转动一次，求得到奇数的概率为：
．
故选：．
转盘中个数，每转动一次就要种可能，而其中是奇数的有种可能．然后根据概率公式直接计算即可．
此题主要考查了几何概率，正确应用概率公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，
当时，，，，则，均小于，
时，，，，，，，即数值的个数为个；
时，同理可得：即数值的个数为个；
时，同理可得：即数值的个数为个；
故在的个数值中有个大于的，即概率为，
故答案为：．
反比例函数的图象经过第一、三象限，则，当时，，，，则，均小于，时，数值的个数为个；时，同理可得：即数值的个数为个；时，同理可得：即数值的个数为个；即可求解．
本题主要考查反比例函数的性质，通过讨论的方法，逐次求出各种情况下的符号，即可求解．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了概率的计算，数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，先一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】
解：从数字，，，中任取两个数组成两位数，
共有，，，
，，，
，，，
故种等可能事件，
其中奇数有，，，共个，
故从数字，，，中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为：
，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，
设圆的半径为，则正方形的面积为，
所以黑色部分的面积为，
则所求的概率，
故答案为：．
根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的概率公式计算可得．
本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
这个点在阴影部分的概率是；
故答案为：．
先求出阴影部分的面积，再求出总面积，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了几何概率，解题的关键是求出阴影部分的面积和两个正方形的面积，用到的知识点是概率相应的面积与总面积之比．
 

17.【答案】解：当抽到，，时，乘积为，不管对方抽到其他怎样的三张，都会赢；或抽到，，时，乘积为，不管对方抽到其他怎样的三张，都会赢；
当抽到，，时，乘积为，不管对方抽到其他怎样的三张，都会输；
结果等于的可能性有种：
；
；
；
；
． 

【解析】当抽到，，时，乘积为，结果最大；抽到，，时，乘积为，也会赢；
当抽到，，时，乘积为，结果最小；
依据有理数的乘法，即可得到结果等于的可能性有种：；；；；．
本题主要考查了可能性的大小以及有理数的乘法，几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
 

18.【答案】解：根据题意，线路公交车“用时不超过”的可能性为，
线路公交车“用时不超过”的可能性为，
线路公交车“用时不超过”的可能性为．
；

线路上的公交车从甲地到乙地“用时不超过”的可能性最大．

【解析】见答案
 

19.【答案】解：设甲库原来存粮袋，乙库原来存粮袋，依题意可得；
再设乙库调袋到甲库，则甲库存粮是乙库的倍，即；
由式得，
将代入，并整理得，
由于
又、是正整数，从而有，即；
并且整除，
又与互质，
整除．
最小为，
最小是．
答：甲库原来最少存粮袋． 

【解析】两个关系式为：甲库存粮乙库存粮；甲库存粮若干袋粮乙库存粮若干袋粮，进而得到相应的最小整数解即可．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题需求得最小的整数解．
 

20.【答案】 

【解析】解：指针指向、、、区是等可能情况，
指针指向偶数区的概率是：；

根据题意画出树状图如下：

一共有种情况，两数之积为的倍数的情况有种，
所以，两数之积为的倍数．
根据概率公式列式计算即可得解；
画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：由题意，得．
整理，得．
由题意，得 
解得
经检验符合题意． 

【解析】见答案
 

22.【答案】解：显然标有数字““的面有个
所以朝上；
标有““和“”的面各有个，多于标有其他数字的面；
所以，朝上朝上，为最大． 

【解析】根据概率的计算公式，易得标有数字““的面数，进而与总面数相比可得答案；
根据可能性的大小的比较，比较标有各种数字的面数，进而可得答案．
此题考查概率的计算公式与可能性大小的比较，注意结合题意，分析情况的总数目与符合条件的数目．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：列表得：

共有种等可能的结果，从每组卡片中各抽取一张，都抽到的有种情况，
都抽到的概率为；

画树状图如下：

由树状图可知，共有种等可能的结果，从每组卡片中各抽取一张，都抽到的有种情况，
都抽到的概率为． 

【解析】首先根据题意列出表格或树状图，然后由表格或树状图即可求得所有等可能的结果与从每组卡片中各抽取一张，两张都是的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】解：若甲先摸，共有张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共张，
故甲摸出“石头”的概率为；
若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，这样的卡片共有张，故乙获胜的概率为；
若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出，
若甲先摸出“锤子”，则甲获胜即乙摸出“石头”或“剪子”的概率为；
若甲先摸出“石头”，则甲获胜即乙摸出“剪子”的概率为；
若甲先摸出“剪子”，则甲获胜即乙摸出“布”的概率为；
若甲先摸出“布”，则甲获胜即乙摸出“锤子”或“石头”的概率为．
，
故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大． 

【解析】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
根据概率的求法，找准两点：、全部情况的总数；、符合条件的情况数目．二者的比值就是其发生的概率．
 

25.【答案】解：正方形网格被等分成等份，其中阴影部分面积占其中的份，
米粒落在阴影部分的概率是；

列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中是轴对称图形的有种，
故新图案是轴对称图形的概率为． 

【解析】直接利用概率公式计算可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式计算可得．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．