陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题11锐角三角函数解析版

这是一份陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题11锐角三角函数解析版，共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题11 锐角三角函数一、单选题1．如图，是的高，若，，则边的长为（　　）A． B． C． D．【答案】D【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵，∴，∵直角△ADC中，，∴，∴直角△ABD中，由勾股定理可得，.故答案为：D.【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）A．3  B．4  C．5  D．6 【答案】B【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB= （180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4× =2 ，∴BC=4 ．故选：B．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（　　）A． B．2  C． D．3 【答案】C【知识点】解直角三角形的应用【解析】【解答】∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC，∵AC=8，∴AD=4 ，在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD= = = ，∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，∴DE=BD•tan30°= = ，∴AE=AD-DE= ，故答案为：C.【分析】根据等腰直角三角形边之间的关系得出AD的长，在Rt△ABD中，根据正切函数的定义由BD=得出BD的长，由DE=BD•tan30°得出DE的长，再根据线段的和差，由AE=AD-DE即可得出答案。4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（　　）A．5 B． C．5  D．5 【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义【解析】【解答】连接OA、OB、OP， ∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB= ×5= ，∴AP=2PD=5 ，故答案为：D．【分析】连接OA、OB、OP， 由等腰三角形性质得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形内角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性质得出OB⊥AP，AD=PD，由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在Rt△PBD中，由锐角三角函数得出PD=cos30°•PB 从而求出AP.二、填空题5．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是　     　．B．运用科学计算器计算：3 sin73°52′≈　     　．（结果精确到0.1）【答案】8；11.9【知识点】计算器在数的开方中的应用；多边形内角与外角；计算器—三角函数【解析】【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=82）3 in73°52′≈12.369×0.961≈11.9故答案为：8，11.9【分析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3 和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．本题主要考查了多边形的外角和以及近似数，解决问题的关键是掌握多边形的外角和定理以及近似数的概念．在取近似值时，需要需要运用四舍五入法求解．6．计算：2sin60°=　     　．【答案】【知识点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：2sin60°=2× = ．【分析】根据特殊角的三角函数性质可知，sin60°=/2，将该值代入即可求解.7．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为　     　．B. tan38°15′≈　     　．（结果精确到0.01）【答案】64°；2.03【知识点】计算器在数的开方中的应用；三角形内角和定理；计算器—三角函数；角平分线的定义【解析】【解答】A、∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=128°，∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，∴∠1= ∠ABC、∠2= ∠ACB，则∠1+∠2= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）=64°，故答案为：64°；B、 tan38°15′≈2.5713×0.7883≈2.03，故答案为：2.03．【分析】A、由已知条件和三角形内角和得出∠ABC+∠ACB=128°；由角平分线定义得出∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，从而求出∠1+∠2的值.B、由计算器得出答案.三、计算题8．计算：（﹣1）2017+tan45°+ +|3﹣π|．【答案】解：原式=﹣1+1+3+π﹣3=π．【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值【解析】【分析】因2017为奇数，所以（﹣1）2017=-1，又因特殊角的三角函数值tan45°=1，  根据立方根的性质=3，另任何一个数的绝对值均为正数，则|3﹣π|=π﹣3，所以原式化简后代入数值即可求解。四、解答题9．一座吊桥的钢索立柱 两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示.小明和小亮想用测量知识测较长钢索 的长度，他们测得 为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现 恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m.已知点B、C、D共线， .求钢索 的长度.（结果保留根号）  【答案】解：在 中，设 .  ∵ ， ，∴ .在 中， ， ，∴ ，即 .解之，得 ∴∴钢索 的长度约为 【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】设AD＝x，在等腰直角三角形ADC中用含x的代数式表示出CD=AD=x，在Rt△ABD中，用三角函数tan30°=可得关于x的方程，解方程可求得x的值，然后根据AB=2AD可求解．10．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN.【答案】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，  ∴∠CEF＝∠BFE＝90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，∴CE＝BF，ME＝AC，∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF＝EM＝31+18＝49，由矩形性质可知：EF＝CB＝18，∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）.答：商业大厦的高MN为80m.【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN.11．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。（小平面镜的大小忽略不计）【答案】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，  则CH＝BD，BH＝CD＝0.5，在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD，∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°，由题意，易知∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴ ，即 ，解得：BD＝17.5，∴AB=17.5＋0.5＝18(m)，∴这棵古树的高AB为18m.【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】 如图，过点C作CH⊥AB于点H， 根据矩形的性质得出 CH＝BD，BH＝CD＝0.5， 根据等腰直角三角形的性质得出 AH＝CH＝BD， 故 AB＝AH＋BH＝BD＋0.5， 进而判断出 △EFG∽△ABG， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式算出BD的长，从而得出答案。12．A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）【答案】解：过点C作CD⊥AB与D，∵AC=20km，∠CAB=30°，∴CD= AC= ×20=10km，AD=cos∠CAB•AC=cos30°×20=10 km，∵∠CBA=45°，∴BD=CD=10km，BC= CD=10 ≈14.14km∴AB=AD+BD=10 +10≈27.32km．则AC+BC﹣AB≈20+14.14﹣27.32≈6.8km．答：从A地到B地的路程将缩短6.8km．【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】解非直角三角形时，若出现特殊角（30°、45°、60°），可过三角形的某一顶点作垂线，使特殊角处于直角三角形中，利用三角函数得出边之间的关系，本题中所求的缩短距离就是求（AC+BC﹣AB）.13．某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）【答案】解：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E， 设AN=x米，则BD=CE=x米，在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，∵ME﹣MD=DE=BC，∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1，∴x= ，解得x≈34（米）．答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E， AN=x米，则BD=CE=x米，在Rt△MBD和Rt△MCE中，分别用锐角三角函数求出MD和ME；
 由ME﹣MD=DE=BC计算出x值.