陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆解析版

这是一份陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆解析版，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9 圆
一、单选题
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）
A．55° B．65° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝ 12 ∠BDC＝65°，
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）
A．3 3 B．4 3 C．5 3 D．6 3
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= 12 （180°﹣∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB•cos∠OBC=4× 32 =2 3 ，
∴BC=4 3 ．
故选：B．
【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（　　）
A．44° B．45° C．54° D．67°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB=∠OBA=12×88°=44°.
故答案为：A.
【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠C=92°，结合内角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，据此计算.
4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．55°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接FB，
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝ 12 ∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故答案为：B。
【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝ 12 ∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（　　）
A．15° B．35° C．25° D．45°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=65°，根据三角形的内角和得出∠A的度数，根据二直线平行，内错角相等得出∠ACD=∠A，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A，根据三角形的内角和即可得出答案。
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（　　）
A．5 B．532 C．5 2 D．5 3
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB= 32 ×5= 532 ，
∴AP=2PD=5 3 ，
故答案为：D．
【分析】连接OA、OB、OP， 由等腰三角形性质得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形内角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性质得出OB⊥AP，AD=PD，由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在Rt△PBD中，由锐角三角函数得出PD=cos30°•PB 从而求出AP.
二、填空题
7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是　 　°．
【答案】120
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，
∴∠B=3x=60°，
∴∠D=180°﹣60°=120°．
故答案为：120．
【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即∠A+∠C=180°，求出每一份x，进而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.
8．如图，正方形 ABCD 的边长为4， ⊙O 的半径为1.若 ⊙O 在正方形 ABCD 内平移（ ⊙O 可以与该正方形的边相切），则点A到 ⊙O 上的点的距离的最大值为　 　.
【答案】32+1
【知识点】正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：由题意得当 ⊙O 与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到 ⊙O 上的点的距离取得最大，如图所示：
∠OFC=90°
连接AC，OF，AC交 ⊙O 于点E，此时AE的长即为点A到 ⊙O 上的点的距离为最大，如图所示，
∵四边形 ABCD 是正方形，且边长为4，
∴AB=BC=4,∠ACB=45° ，
∴△OFC是等腰直角三角形， AC=42 ，
∵⊙O 的半径为1，
∴OF=FC=1 ，
∴OC=2 ，
∴AO=AC−OC=32 ，
∴AE=AO+OE=32+1 ，
即点A到 ⊙O 上的点的距离的最大值为 32+1 ；
故答案为 32+1 .
【分析】 当⊙O与CB、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大；根据切线的性质得到OE＝OF，由正方形的性质可得△OFC是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC的值，由线段的构成AO=AAC-OC可求得AO的值，则AE=AO+OE可求解.
9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为　 　．
【答案】1
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，
∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．
故答案为：1．
【分析】根据题意可知，∠C是外接圆的圆周角，因为∠C为直角，所以∠C所对应的边AB=2为该圆的直径，则半径为2÷2=1.
三、综合题
10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.
（1）求证：∠CAB=∠APB；
（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.
【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM=90°.
∵CD⊥AB
∴∠CEA=90°，
∴AM∥CD.
∴∠CDB=∠APB.
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠APB.
（2）解：如图，连接AD.
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB+∠ADC=90°.
∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，
∴∠ADC=∠C.
∴AD=AC=8.
∵AB=2r=10，
∴BD=AB2−AD2=6.
∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，
∴△ADB∽△PAB.
∴ABPB=BDAB.
∴PB=AB2BD=1006=503.
∴DP=503−6=323.
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAM=90°，根据垂直的概念可得∠CEA=90°，推出AM∥CD，根据平行线的性质可得∠CDB=∠APB，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，据此证明；
（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，由等角的余角相等可得∠ADC=∠C，则AD=AC=8，利用勾股定理求出BD，证明△ADB∽△PAB，根据相似三角形的性质可得PB，然后根据DP=PB-BD进行计算.
11．如图， AB 是 ⊙O 的直径，点E、F在 ⊙O 上，且 BF=2BE ，连接 OE 、 AF ，过点 B 作 ⊙O 的切线，分别与 OE 、 AF 的延长线交于点C、D.
（1）求证： ∠COB=∠A ；
（2）若 AB=6 ， CB=4 ，求线段 FD 的长.
【答案】（1）证明：如图，取 BF 的中点M，连接 OM 、 OF ，
∵BF=2BE ，
∴BM=MF=BE ，
∴∠COB=12∠BOF ，
∵∠A=12∠BOF ，
∴∠COB=∠A
（2）解：连接 BF ，
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴AB⊥CD ，
由（1）知 ∠COB=∠A ，
∴△OBC∽△ABD ，
∴OBBC=ABBD ，
∵AB=6 ， CB=4 ，
∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8 .
∴AD=62+82=10 ，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴BF⊥AD .
∵∠D=∠D ，
∴△BFD∽△ABD .
∴FDBD=BDAD ，
∴FD=BD2AD=8210=325
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝12∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝12∠BOF可求解；
（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBC∽△ABD，由比例式OBBC=ABBD可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD的值，根据圆周角定理得∠AFB＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式FDBD=BDAD可求解．
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长.
【答案】（1）证明：连接OC，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∴AD∥EC；
（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∴sin∠ADB＝ ABAD=32 ，
∴AD＝ 12×23 ＝8 3 ，
∴OA＝OC＝4 3 ，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝4 3 ，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF＝ EFAF=3 ，
∴EF＝ 3 AF＝12，
∴CE＝CF+EF＝12+4 3 .
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝8 3 ，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝4 3 ，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解.
13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.
（1）求证：AB=BE；
（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠EAM＝90°，
∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，
又∵AB＝BM，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE
（2）解：连接BC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°
在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，
∴BC＝ AC2−AB2 =8，
由(1)知，∠BAE＝∠AEB，
又∠ABC=∠EAM=90°，
∴△ABC∽△EAM，
∴∠C＝∠AME， ACEM=BCAM ，
即 1012=8AM ，
∴AM＝ 485 ，
又∵∠D＝∠C，
∴∠D＝∠AMD，
∴AD＝AM＝ 485
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出 ∠EAM＝90°， 根据等边对等角得出 ∠MAB＝∠AMB， 利用等角的余角相等得出 ∠BAE＝∠AEB ，根据等角对等边得出AB=BE；
（2） 连接BC， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ABC＝90° ，根据勾股定理算出BC的长，然后判断出 △ABC∽△EAM， 推出 ∠C＝∠AME， ACEM=BCAM ， 根据比例式算出AM的长，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠D＝∠C， 故 ∠D＝∠AMD， 根据等角对对等边即可得出AD=AM，从而得出答案。
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．
（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
（2）连接MD，求证：MD＝NB．
【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，
∴∠ONC＝∠DBC，
∴ON∥AB，
∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，
∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB
（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴
∴CN＝NB＝ 12 CB，
又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，
又∵D是AB的中点，∴MD＝ 12 CB，
∴MD＝NB．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD＝CD＝DB，根据等边对等角得出∠DCB＝∠DBC，∠DCB＝∠ONC，根据等量代换得出∠ONC＝∠DBC，根据同位角相等，两直线平行得出ON∥AB，根据切线的性质及平行线的性质得出NE⊥AB ；
（2） 根据中位线的判定定理，由ON∥AB，OC＝OD，得出CN＝NB＝ 12CB，根据圆周角定理得出∠CMD=90°，根据同旁内角互补，两直线平行得出MD//BC，再根据三角形的中位线定理得出MD＝12CB，根据等量代换得出MD＝NB．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵AO=2，
∴OE=2，
∴EG=2 3 ，
∴阴影部分的面积= 12× 2×2 3 ﹣ 60⋅π×22360 =2 3 ﹣ 23 π．
【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结OE,证明OE与EF垂直，可证∠AEO+∠BEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形OEG面积减去扇形OED的面积即可.
16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，
（1）求弦AC的长；
（2）求证：BC∥PA．
【答案】（1）解：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵∠P=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AC⊥PB，PB过圆心O，
∴AD=DC
在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°= 532
∴AC=2AD=5 3
（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，
∴∠PAC=60°，
∵∠AOP=60°
∴∠BOA=120°，
∴∠BCA=60°，
∴∠PAC=∠BCA
∴BC∥PA
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OA，由切线性质得出∠PAO=90°，再由三角形内角和得出∠AOD=60°，由AC⊥PB，PB过圆心O得出AD=DC；在Rt△ODA中；
由锐角三角函数求出AD=OA•sin60°；从而求出AC=2AD
（2）由AC⊥PB，∠P=30°得出∠PAC=∠AOP=60°；从而得出∠BOA=120°，∠BCA=60°，∠PAC=∠BC；由平行线的判定得出ABC∥PA.
17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．
求证：
（1）FC=FG；
（2）AB2=BC•BG．
【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD，
∵E是AD的中点，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D，
∵GB⊥AB，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G，
∵∠DCB=∠GCF，
∴∠GCF=∠G
∴FC=FG；
（2）证明: 连接AC，如图所示：
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直径，
∵FD是⊙O的切线，切点为C，
∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，
∴∠CAB=∠G，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴ABGB=BCAB ，
∴AB2=BC•BG．
【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．
18．如图
（1）问题提出
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　 　.
（2）问题探究
如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是 AB 上一点，且 PB=2PA ，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.
（3）问题解决
如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.
【答案】（1）CF、DE、DF
（2）解：连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径， PB=2PA ，
∴∠APB＝90°，∠AOP＝ 13 ×180°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8× 32 ＝4 3 ，
在Rt△CFB中BF＝ CFtan∠ABC ＝ CFtan30∘ ＝ CF33 ＝ 3 CF，
∵PB＝PF+BF，
∴PB＝CF+BF，
即：4 3 ＝CF+ 3 CF，
解得：CF＝6﹣2 3 ；
（3）解：①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，
∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝ 12 PA′•PB＝ 12 x（70﹣x），
在Rt△ACB中，AC＝BC＝ 22 AB＝ 22 ×70＝35 2 ，
∴S△ACB＝ 12 AC2＝ 12 ×（35 2 ）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB＝ 12 x（70﹣x）+1225＝﹣ 12 x2+35x+1225；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，
在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝ A′P2+PB2 ＝ 302+402 ＝50，
∵S△A′PB＝ 12 A′B•PF＝ 12 PB•A′P，
∴12 ×50×PF＝ 12 ×40×30，
解得：PF＝24，
∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），
∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
故答案为：CF、DE、DF；
【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；
（2）连接OP，由AB是半圆O的直径， PB=2PA ，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝4 3 ，在Rt△CFB中，BF＝ CFtan∠ABC ＝ 3 CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；
（3）① 同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝ 12 PA′•PB＝ 12 x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35 2 ，S△ACB＝ 12 AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；② 当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝ A′P2+PB2 ＝ 302+402 ＝50，由S△A′PB＝ 12 A′B•PF＝ 12 PB•A′P，求PF，即可得出结果.
19．如图
（1）【问题提出】
如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为　 　．
（2）【问题探究】
如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
（3）【问题解决】
如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧 BC 、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．
【答案】（1）5
（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，
显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ 132−122 ＝5，MN＝18，
∴PM的最大值为18
（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂
由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，
如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，
∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，
∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 3 ，
BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 3 ，
∴∠ABO＝90°，AO＝3 7 ，PA＝3 7 －3 3 ，
∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，
∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，
∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，
∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝ 3 P´A＝3 21 －9，
所以PE＋EF＋FP的最小值为3 21 －9km
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠BAO=∠OAC= 12 ∠BAC= 12×120° =60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
故答案为：5；
【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，等腰三角形的三线合一得出∠BAO=∠OAC= 12∠BAC= 12×120 ° =60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案；
（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，根据三角形三边之间的关系及等量代换得出MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，当PM=MN时，PM最大，根据垂径定理及勾股定理得出OM的长，根据线段的和差即可得出结论；
（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点， 首先判断出∆ABC是直角三角形，及∠ABC＝30°，BC的长度，BC所对的圆心角为60°，进而判断出∆OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠CBO＝60°，BO＝BC，进而得出∠ABO＝90°，Aode长，PA的长，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，故∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，根据余弦函数，由P´P＂＝2P´Acos∠AP´E=3 P´A，从而得出答案。
20．综合题
（1）问题提出
如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　 　；
（2）问题探究
如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
（3）问题解决
某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交 AB 于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
【答案】（1）4 3
（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CQ=AP=3，
过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，
由勾股定理得：PQ= PM2+MQ2 = 122+122 =12 2.
（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C
∵AD=DB，ED⊥AB， AB 是劣弧，
∴AB 所在圆的圆心在射线DC上，
假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD= 12 AB=12，
在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，
解得：r=13，
∴OD=5，
过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵S△ABM=96，AB=24，
∴12 AB•MN=96，
12 ×24×MN=96，
∴MN=8，NB=6，AN=18，
∵CD∥MN，
∴△ADC∽△ANM，
∴DCMN=ADAN ，
∴DC8=1218 ，
∴DC= 163 ，
∴OD＜CD，
∴点O在△AMB内部，
∴连接MO并延长交 AB 于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，
∵在 AB 上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，
∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，
即MF＞MG，
过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，
∴OM= MH2+OH2 = 32+62 =3 5 ，
∴MF=OM+r=3 5 +13≈19.71（米），
答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD= 12 AC= 12 ×12=6，
∵O是内心，△ABC是等边三角形，
∴∠OAD= 12 ∠BAC= 12 ×60°=30°，
在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°= ADOA ，
∴OA=6÷ 32 =4 3 ，
故答案为：4 3 ；
【分析】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，得出AD=12 AC=6， 由等边三角形的性质得出∠OAD= 12 ∠BAC= 12 ×60°=30°；在Rt△AOD中，利用锐角三角函数求出OA的值.
（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分， 由矩形性质得出CQ=AP=3；过P作PM⊥BC于点，求出P，MQ的值；再由勾股定理得PQ=12 2.
（3）如图3，作射线ED交AM于点C；在Rt△AOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+（r﹣8）2，求出r=13，OD=5；过点M作MN⊥AB，垂足为N，
由S△ABM=96，AB=24得出MN=8，NB=6，AN=18；由CD∥MN得出△ADC∽△ANM，根据相似三角形的性质得出 DCMN=ADAN ，从而求出DC= 163 ，
得出OD＜CD，点O在△AMB内部；过O作OH⊥MN，垂足为H，由勾股定理得出OM=3 5 ，从而求出MF.