浙教版九年级上册3.3 垂径定理导学案

新知讲解

提炼概念

垂径定理的逆定理

定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．

定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．

垂直于弦,平分弦所对的弧,垂直平分

注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．

典例精讲

例3  赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).

课堂练习

巩固训练

1.判断：

 ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.                                           （     ）

⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.                                            （     ）

⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.  （  ）

⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（     ）

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（     ）

2.如图所示，AB是半圆的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D.已知BC＝8 cm，DE＝2 cm，则AB的长为______cm.

3．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．

(1)请你确定弧AB的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)

(2)如果已知石拱桥的桥拱的跨度(即弧所对的弦长)为24 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为8 m，求桥拱所在圆的半径．

4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米?

引入思考

定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧.

定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦.

提炼概念

典例精讲

    例3 解：弧AB表示桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交弧AB于点D.

∵C是弧AB的中点,

∴OC就是拱高.

∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,

OD=OC-DC=（R-7.23）.

在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 

∴R2=18.512+(R-7.23)2,

解得R≈27.31.

答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.

巩固训练

1. 答案： ⑴×（2）√（3）×（4）×（5）√

2.【解析】 E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥BC，CD＝BD＝4 cm.设OB＝x cm，则OD＝(x－2)cm.在Rt△ODB中，OD2＋BD2＝OB2，∴(x－2)2＋42＝x2，解得x＝5，2x＝10.

3.解：(1)如图，点E即为所求．

(2)由(1)知OE⊥AB，在Rt△AOD中，AB＝24 m，DE＝8 m，

∴AD＝AB＝12(m)，

设AO＝r m，

∴OD＝(r－8)m，

∴r2＝122＋(r－8)2.

解得：r＝13.

4.解 如图，OB＝1.5，OA＝1.15，

∵ AB2=OB2-OA2，

∴ AB≈0.96m.

∵ 0.96+2＝2.96＜3,

∴高为3m，宽为2.3m的集装箱

车不能顺利通过.

由题意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2,

又∵AB2=OB2-OA2，

∴OB≈2.31m.

∴要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车能顺利通过,半圆拱半径至少为2.31m.

课堂小结

垂径定理的逆定理

定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．

定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．

垂直于弦,平分弦所对的弧,垂直平分

注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．