中考数学一轮总复习23《正多边形与圆的有关的证明和计算》知识讲解+巩固练习（基础版）（含答案）

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）

【考纲要求】

1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
 

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、正多边形和圆

1、正多边形的有关概念：

(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
　　(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
　　(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
　　(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）
　　(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2、正多边形与圆的关系：
　　(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
　　(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
　 （3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.

（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3、正多边形性质：
　　(1)任何正多边形都有一个外接圆.
　　(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
要点诠释：

（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.
（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.

考点二、圆中有关计算
1．圆中有关计算
　　圆的面积公式：，周长.
　　圆心角为、半径为R的弧长.
　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.

要点诠释：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
 

【典型例题】

类型一、正多边形有关计算 

1．（2015•镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．

（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于　          ．

【思路点拨】

（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；

（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．

【答案与解析】

（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，

（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，

∴∠AOD=3=135°，

∵OA=5，

∴的长=，

设这个圆锥底面圆的半径为R，

∴2πR=，

∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．

故答案为：．

【总结升华】

本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．

【答案】.

        解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝，

所以AB＝AO1+O1C+BC＝．

【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算  自主学习4】

【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.

【答案】

【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算  自主学习2】

【变式3】（2015•广西自主招生）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（　　）

A．5：4     B．5：2     C．：2 D．：

【答案】A.

【解析】解：如图1，连接OD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，

∵∠AOB=45°，

∴OB=AB=2，

由勾股定理得：OD==2，

∴扇形的面积是=π；

如图2，连接MB、MC，

∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，

∴∠BMC=90°，MB=MC，

∴∠MCB=∠MBC=45°，

∵BC=2，

∴MC=MB=，

∴⊙M的面积是π×（）2=2π，

∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．

故选：A．

类型二、正多边形与圆有关面积的计算

2．(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是(  )．

A．P＝Q    B．P＞Q    C．P＜Q    D．无法确定

    (2)如图(b)，△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是________．

(3)如图(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′，求AB扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)

【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．

【答案与解析】

解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：

        ；

    (2)(转化法“凑整”)利用，则阴影部分的面积可转化为△ACD的面积，等于△ABC面积的一半，答案为；

(3)(旋转法)将图形ABM绕点O逆时针旋转到A′B′M′位置，则

．

【总结升华】

求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是(   )

A．    B．    C．    D．

【答案】

      解：如图，由AB，AC为直径可得AD⊥BC，则BD＝DC＝6．

在Rt△ABD中，，

∴  ．

      答案选D.

3．如图所示，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连AC，求阴影部分的面积．

【思路点拨】

图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB、OC，由BC∥OA，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC去求解．

【答案与解析】

    解：如图所示，连OB、OC

    ∵  BC∥OA．

    ∴  △OBC和△ABC同底等高，

    ∴  S△ABC＝S△OBC，

    ∴ 

    ∵  AB为⊙O的切线，

    ∴  OB⊥AB．

    ∵  OA＝4，OB＝2，

    ∴  ∠AOB＝60°．

    ∵  BC∥OA，

    ∴  ∠AOB＝∠OBC＝60°．

    ∵  OB＝OC，

    ∴  △OBC为正三角形．

∴  ∠COB＝60°，

∴  ．

【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．

举一反三：

【变式】如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．

【答案】

解：连接OC、OD、CD．

    ∵  C、D为半圆的三等分点，

    ∴  ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝．

    又∵  OC＝OD，

    ∴  ∠OCD＝∠ODC＝60°，∴  DC∥AB，

    ∴  ，

∴  ．

4．（2015秋•江都市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．

（1）求弧BE所对的圆心角的度数．

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；

（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．

【答案与解析】

解：（1）连接OE，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠EAB=45°，

∴∠EOB=2∠EAB=90°；

（2）由（1）∠EOB=90°，

且AB=4，则OA=2，

∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，

∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，

又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，

∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．

【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．

5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（）对应的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.

【思路点拨】

    看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．

【答案与解析】

阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB和一个Rt△BOC组成，

其中扇形AOB的中心角是，AO的长为4，Rt△BOC中，OB＝OA＝4，∠BOC＝60°，

∴ 可求得BC长和OC长，从而可求得面积，

阴影部分面积＝扇形AOB面积+△BOC面积＝．

【总结升华】

本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.

举一反三：

【变式】如图，矩形ABCD中，AB＝1，．以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】. 

解析：连接AE，易证AB＝BE＝1，∠BAE＝45°，所以∠EAD＝45°，

所以．

6．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．
（1）求线段PC的长；
（2）求阴影部分的面积．

【思路点拨】

（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的长；
   （2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．

【答案与解析】

解：（1）连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，
∵AB=8，∴OC=AB=4，
又在直角三角形OCP中，∠P=30°，
∴tanP=tan30°=，即PC==4；

（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，
又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，
∴∠COE=∠AOC=60°，又半径OC=4，
∴S扇形OCE=，
在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，∴OD=OC=2，
根据勾股定理得：CD=，
∴S△OCD=DC•OD=×2×2=2，
则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=．

【总结升华】

此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题
1．在半径为12的⊙O中，60°的圆心角所对的弧长是（   ）

A．6π     B．4π    C．2π    D．π

2．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（   ）

    A．1    B．    C．    D．

3．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为(   )

A．2    B．3    C．    D．

4．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径等于(   )

    A．9    B．27    C．3    D．10 

5．如图所示．在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ）

    A．     B．    C．    D．

6．（2015•金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）

A． B． C． D．2

二、填空题

7．已知扇形的半径为3cm，面积为3πcm2，则扇形的圆心角是________，扇形的弧长是________cm（结果保留π）.

8．如果圆锥的底面半径为3 cm，母线长为6 cm，那么它的侧面积等于________cm2．

9．如图所示，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是________．

10．如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为________．

11．如图所示，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的体积是________．

12．（2015•建邺区二模）如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为　          　．

三、解答题

13．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分)，求阴影部分的面积及扇形的弧长．

14. 如图所示，已知在⊙O中，AB＝，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．

(1)求图中阴影部分的面积；

(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，

∠COB＝2∠PCB．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)求证：；

(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN·MC的值．

16.（2015秋•泰兴市校级月考）如图，纸片ABCD是一个菱形，其边长为2，∠BAD=120°．以点A为圆心的扇形与边BC相切于点E，与AB、AD分别相交于点F、G；

（1）请你判断所作的扇形与边CD的位置关系，并说明理由；

（2）若以所作出的扇形为侧面围成一个圆锥，求该圆锥的全面积．

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】直接用公式.    

2.【答案】C；

【解析】，∴  ．

3.【答案】D；

4.【答案】C；

【解析】设该圆锥的底面半径为r，则，解得r＝3． 

5.【答案】D；

【解析】可转化为以AB为直径的圆的面积减去△ABC的面积．   

6.【答案】C；

【解析】如图，连接AC、BD、OF，

设⊙O的半径是r，

则OF=r，

∵AO是∠EAF的平分线，

∴∠OAF=60°÷2=30°，

∵OA=OF，

∴∠OFA=∠OAF=30°，

∴∠COF=30°+30°=60°，

∴FI=r•sin60°=，

∴EF=，

∵AO=2OI，

∴OI=，CI=r﹣=，

∴，

∴，

∴=，

即则的值是．

故选：C．

二、填空题

7．【答案】120°，2π；

【解析】直接代公式，.

8．【答案】18π；

【解析】圆锥的侧面积公式为S＝πra，所以S＝π×3×6＝18π(cm2)．

9．【答案】6π；

  【解析】4条弧长的和可以看作是4个圆的周长减去四个圆在四边形ABCD内的四条弧的长，

又由∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴  四边形ABCD内的四条孤长的和为一个圆的周长，

所以所求的四条弧长之和为3个圆的周长：3×2πr＝3×2π×1＝6π．

10．【答案】；

【解析】连接AE，易证AB＝BE＝1，∠AEB＝45°，∴  ∠EAD＝45°，

∴  ．

11．【答案】；

   【解析】可求圆锥底面半径，高，

代公式 ．

12．【答案】6﹣2  ；

【解析】如图，连接OB，OF，

根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，

∴BF=OB=2，

∴△BFO的高为；，CD=2（2﹣）=4﹣2，

∴BC=（2﹣4+2）=﹣1，

∴阴影部分的面积=4S△ABC=4×（）•=6﹣2．

故答案为：6﹣2．

三、解答题

13.【答案与解析】

    解  设切点为E，连接AE，则AE⊥BC．

    ∵  ∠C＝∠D＝90°，

    ∴  四边形ADCE是矩形．

    ∴  CE＝AD＝4．

    ∵  BC＝6，∴  BE＝2．

    ∵  BE＝AB，

    ∴  ∠BAE＝30°，AE＝．

    ∴  ∠DAB＝120°．

    ∴  ．

    ．

14.【答案与解析】

     解：（1）连BC，∵  AC为⊙O的直径，∴  ∠ABC＝90°，∵  AB＝，∠A＝30°，

∴  AC＝2BC，由勾股定理可求AC＝8，又易求∠BOD＝120°，

∴  ．

     （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，

          ∴  ，∴  ．

15.【答案与解析】

    (1)证明：∵  OA＝OC，∴  ∠A＝∠ACO．

∵  ∠COB＝∠A+∠ACO，

∴  ∠COB＝2∠A，

∵  ∠COB＝2∠PCB，

∴  ∠A＝∠ACO＝∠PCB．

∵  AB是⊙O的直径，∴  ∠ACO+∠OCB＝90°．

∴  ∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．

∵  OC是⊙O的直径，∴  PC是⊙O的切线．

(2)证明：∵  PC＝AC，∴  ∠A＝∠P，

∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．

∵  ∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，

∴  ∠CBO＝∠COB．

∴  BC＝OC，∵  ，∴  ．

 (3)解：如图，连接MA，MB．

∵  点M是的中点，

∴  ，

∴  ∠BCM＝∠ABM．

∵  ∠BMC＝∠BMN，

∴  △MBN∽△MCB，

∴  ，

∴  BM2＝MC·MN．

∵  AB是⊙O的直径，，

∴  ∠AMB＝90°，AM＝BM．

∵  AB＝4，∴  ，

∴  MC·MN＝BM2＝8．

16.【答案与解析】

解：（1）相切；

证明：连接AE、AC，过点A作AH⊥CD，垂足为H，

∵CB与⊙A相切，

∴AE⊥BC，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC平分∠BAD，

∴AE=AH，

∴扇形与边CD相切；

（2）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

∴△ABC是等边三角形，又其边长为2，

∴AE=，

∴的长为=π，

则圆锥的侧面积为：×π×=π，

设圆锥的底半径为r，2πr=π，

解得，r=，

则圆锥的底面积为：π×（）2=，

该圆锥的全面积=π+=π．