新高考数学二轮专题《导数》第06讲 导数与零点（2份打包，解析版+原卷版）

第6讲 导数与零点

1．设函数（其中为自然对数的底数，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：令，

则，

设，

令，，

，发现函数，在上都是单调递增，在，上都是单调递减，

函数在上单调递增，在，上单调递减，

故当时，得，

函数至少存在一个零点需满足，

即．

故选：．

2．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】解：的定义域为，

又，

函数至少存在一个零点可化为

函数至少有一个零点；

即方程有解，

则，

；

故当时，，

当时，；

则在上单调递增，

在上单调递减，

故；

又当时，，

故；

故选：．

3．已知函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数取值范围为　　

A．， B． C． D．

【解析】解：由题意得：，

，

问题转化为函数的图象和函数的图象有2个交点，

，

故函数在和上递增，

在，单调递减，且时，

，，（2），

作出函数的图象，

如图示：

观察图象得：函数和的图象有2个不同的交点时，

实数，，

故选：．

4．已知函数的定义域为，且对任意都满足，当时，．（其中为自然对数的底数），若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是　　

A．或 B． C． D．

【解析】解：由函数则函数的图象关于对称，

如图所示：

由于和函数的图象只有两个交点，

设，图象上的切点，，

所以，则，

所以曲线的切线方程为，

把代入可得，

则，结合图象，

要使图象有两个交点，则或．

故选：．

5．定义：如果函数在区间，上存在，，满足，，则称函数在区间，上的一个双中值函数，已知函数是区间，上的双中值函数，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数，，

函数是区间，上的双中值函数，

区间，上存在，，

满足，即方程在区间，有两个解，

令，

对称轴，

则，

解得．

实数的取值范围是．

故选：．

6．定义：如果函数在定义域内给定区间，上存在，满足，则称函数是，上的“平均值函数”， 是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是　　

①是区间，上的平均值函数，0是它的均值点；

②函数在区间，上是平均值函数，它的均值点是5；

③函数在区间，（其中上都是平均值函数；

④若函数是区间，上的平均值函数，则实数的取值范围是

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】解：根据题意，依次分析题目中的四个结论：

对于①，若是区间，上的平均值函数，设其均值点为，

则有，解可得，即0是它的均值点，①正确；

对于②，若函数在区间，上是平均值函数，设其均值点为，

则有，解可得或（舍即5是它的均值点，②正确，

对于③，函数在区间，都是平均值函数，则恒成立，明显错误，③错误；

对于④，若函数是区间，上的平均值函数，

则关于的方程在内有实数根，

而，解得，（舍，

必有必为均值点，即，即实数的取值范围是，④正确；

其中①②④正确；

故选：．

7．若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C．，， D．，

【解析】解：由题意得，，

令，，

则，，

当时，（e），

当时，（e），

（e），

，

而时，，

则要满足，

解得：，

故选：．

8．已知函数，若存在，使得关于的方程有解，其中为自然对数的底数则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由可得，

即，即，

令，则方程有解．

设，则，

显然为减函数，又（e），

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为（e），

，解得或．

故选：．

9．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为　　

A． B． C． D．1

【解析】解：由方程

，

令，则有．

，

令函数，，

在递增，在递减，

其图象如下，

要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且

结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，

且，，

．

．

．

故选：．

10．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为　　

A． B． C． D．1

【解析】解：由方程，

令，则有．

，

令函数，，

在递增，在递减，

其图象如下，

要使关于的方程有3个不相等的实数解，，，且

结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，

且，

．

．

．

故选：．

11．若关于的方程有三个不相等的实数解、、，其中，，则的值为　　

A． B．4 C． D．

【解析】解：令，函数的图象如下：

方程．即，

要使方程有三个不相等的实数解、、，，

则方程一定有两个实根，，

可验证或1不符合题意，

所以方程一定有两个实根，，且．

且，，

 则．

．

则，

故选：．

12．已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数的图象如下图所示：

若关于的方程恰有三个不相等的实数解，

则函数的图象与直线有三个交点，

当直线经过原点时，，

由的导数得：，

当直线与相切时，切点坐标为：，，

当直线经过，时，，

故，

故选：．

13．已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：由得，

即，

设，，

，

由得，即，

由得，即，

即当时，函数取得极大值，

当时，满足的整数解超过2个，不满足条件．

当时，要使的整数解只有2个，

则满足，即，

即，即，

即实数的取值范围是，，

故选：．

14．已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是　　．

【解析】解：解：由得，

即，

设，，

，

由得，即，

由得，即，

即当时，函数取得极大值，

当时，满足的整数解超过2个，不满足条件．

当时，要使的整数解只有2个，

则满足，即，

即，

即实数的取值范围是，．

故答案为：，．