新高考数学二轮专题《导数》第07讲 导数中的恒成立与存在性问题（2份打包，解析版+原卷版）

第7讲 导数中的恒成立与存在性问题

1．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：设，，

由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，

，

当时，，当时，，

当时，取最小值，

当时，，当时，（1），

直线恒过定点且斜率为，

故且，解得

故选：．

2．设函数，其中，若存在两个整数，，使得，都小于0，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数，

其中，

设，，

存在两个整数，，

使得，都小于0，

存在两个整数，，

使得在直线的下方，

，

当时，，

当时，．

当时，，（1），

直线恒过，斜率为，故，

且，解得．，解得，

的取值范围是，．

故选：．

3．设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：设，，

由存在唯一的整数使得，

，

当时，，当时，，

当时，取最小值，

当时，，当时，（1），

直线恒过定点且斜率为，

故且，解得

故选：．

4．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：设，，

则，

，，单调递减，

，，，单调递增，

，取最小值，

，

（1）（1），

直线恒过定点且斜率为，

，

，

，

的取值范围，．

故选：．

5．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，

有两个不同的解，

即得有两个不同的解，

设，则，

，，函数递减，，，函数递增，

时，函数取得极小值，，，

，

故选：．

6．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：曲线上存在不同的两点，

使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，

有两个不同的解，

即得有两个不同的解，

设，则，

，，函数递减，，，函数递增，

时，函数取得极小值，，，

．

故选：．

7．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

【解析】解：设对任意两个不等的正实数都有恒成立，则，

，

令，则，所以函数是增函数，

恒成立，

恒成立，，

当时，取得最大值（1），

．

即的取值范围是，．

故选：．

8．已知，若对任意两个不等的正实数，都有成立，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

【解析】解：对任意两个不等的正实数，，都有恒成立

则当时，恒成立

在上恒成立

则

而，则

故选：．

9．已知函数，若对，，且，有恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B．， C．， D．

【解析】解：因为，所以，

所以．

因为，，且，所以恒成立恒成立

恒成立，即恒成立，

所以恒成立，

又因为时，，所以．

故选：．

10．已知函数，在区间内任取两个数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：由函数，

，

，，且，

不等式恒成立等价式恒成立，转化为恒成立，

即，恒成立，

整理可得：，

，

函数在是递增函数．

故得．

故选：．

11．设函数，若不等式有解，则实数的最小值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：可化为

，

即，

令，

则，

令，则，

故当，即时，

有最小值，

故当，时，，时，；

故有最小值（1）；

故实数的最小值为．

故选：．

12．设函数，若不等式有解，则实数的最小值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：若不等式有解，

则有解，

令，

则，

令，

则，

令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在，，

故，

故，

令，即，解得：，

令，即，解得：，

故在递减，在递增，

故（e），

故的最小值是，

故选：．

13．设函数，若不等式在，上有解，则实数的最小值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：在，上有解

在，上有解

．

令，

则，

，，

当，时，，在区间，上单调递减；

当时，在区间上单调递增；

当时，取得极小值（1），也是最小值，

，

．

故选：．

14．已知函数，若存在，，使得，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，，

，

，

存在，，使得，

，

设，

，

，

当时，解得：，

当时，即时，函数单调递增，

当时，即时，函数单调递减，

当时，函数取最大值，最大值为（2），

，

故选：．

15．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C． D．，

【解析】解：，，使得成立，

等价于，

，

当时，，递减，

当时，，递增，

所以当时，取得最小值；

当时取得最大值为，

所以，即实数的取值范围是，

故选：．

16．设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．

【解析】解：设上为，，上切点为，，

依题得，，有，，

易得．

故选：．

17．设函数，若对任意，，，不等式恒成立，则正数的取值范围为　　

A． B．， C． D．

【解析】解：对任意，，，不等式恒成立，

等价于恒成立，

，当且仅当时等号成立，

；

又，在，上恒成立，

则，

，又，解得．

正数的取值范围为．

故选：．

18．设表示自然对数的底数，函数，若关于的不等式有解，则实数的值为　　．

【解析】解：，

若关于的不等式有解，

即为有解，

由，

可得函数的几何意义为点和点的距离，

由于两点在曲线和直线运动，

当直线与曲线相切，设切点为，

可得切线的斜率为，解得，

则切点为，可得切点到直线的距离为，

可得有解，且等号成立，

由和联立，可得交点为，，

即有，

故答案为：．

19．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是　，　．

【解析】解：设，则，

，

令，

，

在上单调递减，

，

，

时，，

．

的取值范围是，．

故答案为：，．

20．（1）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是　，　．

（2）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围　　．

【解析】解：（1）函数，其中，

设，，

存在唯一的整数，使得，

存在唯一的整数，使得在直线的

下方，

，

当时，，

当时，．

当时，，（1），

直线恒过，斜率为，故，

且，解得．

的取值范围是．

（2），，使得成立，等价于，

，

，

当时，；时，．

时，．

，

．

，

实数的取值范围是．

故答案分别为：（1）；（2）．

21．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　，　．

【解析】解：当时，不等式恒成立，

即时，恒成立，

即时，或，

令，，

令，解得：，

令，解得：，

在递增，在递减，

（e），而，

又当时，符合条件，，

故，或，

故答案为：，．

22．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　，　．

【解析】解：当时，不等式

即为显然成立；

当时，，，只要，

即有的最小值，

令，，

当时，，递增；

当时，，递减．

即有处取得最小值，且为，

则，解得；

当时，，，

只要恒成立，由于，

则不恒成立．

综上可得的范围是，．

故答案为：，．

23．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　或　．

【解析】解：，则，令，则，

时，，时，

时，函数取得最大值，

，

，；

时，则，在上不恒成立，不合题意；

时，或，，

综上，或．

24．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　，　．

【解析】解：当时，取，则，，不等式在上不恒成立，

．

①当时，，

令，

，

当时，，为增函数，当时，，为减函数，

在上的极大值也是最大值为（1）．

又，，当时，，为减函数，当时，，

为增函数，

在上的极小值也是最小值为（1）（1）．

在上恒成立；

②当时，取，则，，不等式在上不恒成立．

综上，．

故答案为：，．

25．已知函数，，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为　，　．

【解析】解：函数的定义域为，则当时，恒成立，

此时，函数在上是增函数，

又函数，在，上是减函数

不妨设，

则，，

则不等式等价为，

即

设，

则，等价于函数在区间，上是减函数

，

在，上恒成立，

即在，上恒成立，即不小于在，内的最大值．

而函数在，是增函数，的最大值为

，

又，，．

故答案为：，．

26．若，，，且对任意，，，的恒成立，则实数的取值范围为　，　．

【解析】解：易知在，上均为增函数，

不妨设，则 等价于，

即；

令，则在，为减函数，

则在上恒成立，

恒成立；

令，

，

为减函数，在，的最大值为；

综上，实数的取值范围为，．

故答案为：，．

27．设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为　，　．

【解析】解：由，得，

，，

由，得，

又，，

，，

要使过曲线上任意一点的切线为，

总存在过曲线上一点处的切线，使得，

则，解得．

即的取值范围为，，

故答案为，．

28．设函数，对任意、，不等式，恒成立，则正数的取值范围是　　．

【解析】解：当时，，

时，函数有最小值，

，，

当时，，则函数在上单调递增，

当时，，则函数在上单调递减，

时，函数有最大值（1），

则有、，，

不等式恒成立且，

，

故答案为：．

29．已知函数，，当时，且对任意的，，，恒成立，则实数的取值范围为        ．

【解析】当时，在，上恒成立，

函数在，上单调递增，

，

在，上恒成立，

在，上为增函数．

当时，且对任意的，，，

恒成立，

即在，上恒成立．

设，则在，上为减函数．

在，上恒成立，化为恒成立．

设，

，，．

，，．

在，上恒成立，即为减函数．

在，上的最大值为（4）．

．