新高考数学二轮专题《导数》第14讲 导数解答题之导数中的函数不等式放缩（2份打包，解析版+原卷版）

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第14讲 导数解答题之导数中的函数不等式放缩1．已知，，其中为自然对数的底数． （1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）若在（1）的条件下，当取最大值时，求证：．【解析】（1）解：法一：（分类讨论法）．因为，．①当时，，所以，故在，上单调递增，所以，所以．②当时，令，若，；若，，所以在上单减，在上单增；所以，解得，此时无解，综上可得．法二：（分离参数法）．恒成立在，上恒成立．令，则，所以在，上单增，故，所以．（2）证明：由题意可知，．要证，先证明：时，．令．当时，，所以在，上单减，所以（1），所以．所以要证明式成立，只需要证明．  （8分）令，则，，令又在，上单调递增，则在，上，，在，，．所以，在，上单减，在，上单增，所以，所以在，上单调递增，所以（1）．所以成立，也即是式成立．故．2．已知函数，，且曲线在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求函数在，上的最小值：（3）证明：当时，．【解析】解：（1），，（1），（1），，．（2）由（1）得：，，，在上递减，在上递增．，在，上递增，，在，上的最小值为1．（3）证明：，由（2）得过且在处的切线方程为，故可猜测，时，的图象恒在切线的上方，下面证明当时，设，，，，由（2）知：在上递减，在上递增，，（1），，，存在，使得，，，时，；，时，，故在上递增，在，上递减，在上递增，又（1），当且仅当时等号成立．故，，令，则，时，，时，，在上递增，在上递减，（1），，即．，，即成立，时，，综上所述，时，．3．已知函数，曲线在处的切线方程为．（1）求实数、的值；（2）且时，证明：曲线的图象恒在切线的上方；（3）证明不等式：．【解析】解：（1），由曲线在处的切线方程为，由（1），（1），解得，；（2）由题意只需证：当且时，，设，则，，易知在单调递增；且（1），，必定存在，使得，则在单调递减，在，单调递增，其中，（1），即在单调递减，在单调递增，（1），即当且时，成立；所以当且时，曲线的图象在切线的上方；（3）要证：，只需证，由（2）知时，，故只需证，即证，设，则，故在单调递减，在单调递增，（1）；即不等式：成立．4．已知，曲线在，（1）处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求在，上的最大值；（3）证明：当时，．【解析】解：（1），（1），（1），解得：，；（2）由（1）得：，，，在递减，在递增，，在，递增，（1）；（3），由（2）得过，且在处的切线方程是，故可猜测，时，的图象恒在切线的上方，下面证明时，，设，，，，由（2）得：在递减，在递增，，（1），，，存在，使得，，，时，，，时，，故在递增，在，递减，在递增，又（1），当且仅当时取“”，故，，由（2）得：，故，，当且仅当时取“”，，即，，即成立，当且仅当时“”成立．5．设函数，已知在处有极值．（1）求实数的值；（2）当（其中是自然对数的底数）时，证明：；（3）证明：对任意的，，不等式恒成立．【解析】解：（1）由题意函数，已知在处有极值，所以（1）解得：．（2），，由，，函数的单调递增区间为．，单调的减区间为，，又（e），（e）（1）即：即：；（3），函数的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，函数在处取得最小值，，由于以上各式并不都能取等号，所以把以上各式相加，变形得：．