新高考数学二轮专题《导数》第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明（2份打包，解析版+原卷版）

第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明

1．已知函数．

（1）证明：函数在上单调递增；

（2）若，，求的取值范围．

【解析】解：（1）证明：，

因为，所以，，

于是（等号当且仅当时成立）．

故函数在上单调递增．

（2）由（1）得在上单调递增，

又，所以，

（ⅰ）当时，成立．

（ⅱ）当时，令，则，

当时，，单调递减，

又，所以，

故时，．

由式可得，

令，则

由式可得

令，得在上单调递增，

又，，所以存在使得，

即时，，

所以时，，单调递减，

又，所以，

即时，，与矛盾．

综上，满足条件的的取值范围是，．

2．已知函数为常数，是自然对数的底数）是实数集上的奇函数，函数是区间，上的减函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在，及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）试讨论函数的零点的个数．

【解析】解：（Ⅰ）是上的奇函数

，

，（4分）

（Ⅱ）由知，，

又在，上单调递减，

在，上恒成立．

对，恒成立，

，（6分）

在，上恒成立，即（7分）

，

，

即对恒成立

令，则（8分）

，．（9分）

（Ⅲ）由知，

讨论函数的零点的个数，即讨论方程根的个数．

令，，

，

当时，，在上为增函数；

当时，，在上为减函数，

当时，（e）

而，

函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，

①当，即时，方程无解．函数没有零点；（10分）

②当，即时，方程有一个根．函数有1个零点（11分）

③当，即时，方程有两个根．函数有2个零点．（12分）

3．已知函数在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值，并讨论在上的增减性；

（Ⅱ）若，且，求证：．

（参考公式：

【解析】（Ⅰ）解：由题意知，解得

故，．

当时，为减函数，且，

，为增函数．

（Ⅱ）证明：由，得，

所以，

两边同除以，得，

所以，

令，得，

得．

因为，

所以，

因为，

又，易知，所以，

又，所以，故，得．

4．设．

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（Ⅰ）证明：，则，

设，则，（2分）

当时，，即为增函数，

所以，

即在时为增函数，所以．（4分）

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知时，，，

所以，（6分）

设，则，

设，则，

当时，所以为增函数，

所以，所以为增函数，所以，

所以对任意的恒成立．（8分）

又，时，，

所以时对任意的恒成立．（9分）

当时，设，则，，

所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数，

所以在时，所以时不符合题意．

综上，实数的取值范围为，．（12分）

（Ⅱ）解法二：因为等价于（6分）

设，则

可求，（8分）

所以当时，恒成立，在，是增函数，

所以，即，即

所以时，对任意恒成立．（9分）

当时，一定存在，满足在时，，

所以在是减函数，此时一定有，

即，即，不符合题意，故不能满足题意，

综上所述，时，对任意恒成立．（12分）

5．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数，．过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值．

【解析】解：（1），

的增区间为；

减区间为．（4分）

（2）令

要使恒成立，只需当时，，

令，则对恒成立，

在上是增函数，则，

①当时，恒成立，在上为增函数，

，满足题意；

②当时，在上有实根，在上是增函数，

则当，时，，不符合题意；

③当时，恒成立，在上为减函数，

不符合题意，，即，．（8分）

（3），

设切点坐标为，则切线斜率为，

从而切线方程为，

，

令，，这两个函数的图象均关于点对称，

则它们交点的横坐标也关于对称，

从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，

又在共有1008对，每对和为．

．（12分）

6．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）如果对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）由于，

所以，

当，，即，，时，；

当，，即，，时，．

所以的单调递增区间为，，，

单调递减区间为，，；

（2）令，

要使总成立，只需，时，

对求导，可得，

令，

则，

所以在，上为减函数，

所以，；

对分类讨论：

①当时，恒成立，

所以在，上为增函数，

所以，

即，故成立；

②当时，在上有实根，

因为在，上为减函数，

所以当，时，，

所以，不符合题意；

③当时，恒成立，

所以在，上为减函数，

则，

由，可得，

即有．

综上，可得实数的取值范围是，．

7．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）由于，

所以，

当，即时，；

当，即时，．

所以的单调递增区间为，

单调递减区间为；

（2）令，

要使总成立，只需时，

对求导，可得，

令，

则，

所以在上为增函数，

所以；

对分类讨论：

①当时，恒成立，

所以在上为增函数，

所以，

即恒成立；

②当时，在上有实根，

因为在上为增函数，

所以当时，，

所以，不符合题意；

③当时，恒成立，

所以在上为减函数，

则，不符合题意．

综上，可得实数的取值范围是，．

8．已知，其中．

（1）若在处取得极值，求实数的值．

（2）若在，上单调递增，求实数的取值范围．

【解析】解：（1），（2分）

由可得，；（4分）

经检验，满足题意．（5分）

（2）函数在单调递增．在上恒成立．（7分）

即在上恒成立．即

，（10分）．（11分）

检验，时，，，仅在处取得．所以满足题意．

．（12分）

9．已知．

（1）若在上单调，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，在，上恒成立．

【解析】解：（1）（1分）

若在上单调递增，则当，恒成立，

当时，，

此时；（4分）

若在上单调递减，同理可得（5分）

所以的取值范围是（6分）

（2）时，（7分）

当，时，在上单调递增，在上单调递减，

（9分）

存在，使得在，上，在，上，

所以函数在，上单调递增，在，上单调递减（11分）

故在，上，，，

所以在，上恒成立（12分）

10．已知．

（1）若在其定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；

（2）若函数在上有1个零点．

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）证明：若，则不等式成立．

【解析】解：（1）在上恒成立，（1分）

所以，令，则，

由，得，所以在单调递增，

由，得，所以在单调递减，

所以当时，取得最小值（1），（2分）

所以．（3分）

（2），，，

所以，

当时，，所以在，单调递增，

又因为，所以在，上无零点．（4分）

当时，，使得，

所以在，单调递减，在单调递增，

又因为，，

所以若，即时，在，上无零点，（5分）

若，即时，在，上有一个零点，（6分）

当时，，在，上单调递减，在，上无零点，

综上当时，在，上有一个零点（7分）

证明：要证当时，成立，

只需证，只需证，（8分）

设，，则，

所以在上单调递增，（1），

由（1）知，时，，即，当且仅当时取等号，

所以当时，即，

所以，（9分）

又因为，所以，

所以，所以，

即，不等式成立．（10分）