新高考数学二轮专题《导数》第21讲 导数解答题之隐零点问题（2份打包，解析版+原卷版）

这是一份新高考数学二轮专题《导数》第21讲 导数解答题之隐零点问题（2份打包，解析版+原卷版），文件包含新高考数学二轮专题《导数》第21讲导数解答题之隐零点问题解析版doc、新高考数学二轮专题《导数》第21讲导数解答题之隐零点问题原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
第21讲 导数解答题之隐零点问题1．设函数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若，为整数，且当时，，求的最大值．【解析】解：（Ⅰ），，，，，函数的图象在点处的切线方程为．（Ⅱ），．若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．若，则当时，，当时，，所以，在区间上单调递减，在上单调递增．由于，所以，．故当时，．①令，则．函数在上单调递增，而（1），（2）．所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．当时，；当时，；所以，在上的最小值为．由，可得，所以，，．由于①式等价于．故整数的最大值为2．2．已知函数．（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明．【解析】（Ⅰ）解：，是的极值点，，解得．所以函数，其定义域为．．设，则，所以在上为增函数，又，所以当时，，即；当时，，．所以在上为减函数；在上为增函数；（Ⅱ）证明：当，时，，故只需证明当时．当时，函数在上为增函数，且，．故在上有唯一实数根，且．当时，，当，时，，从而当时，取得最小值．由，得，．故．综上，当时，．3．已知函数．（1）设是的极值点，求并讨论的单调性；（2）当为奇函数时，证明：恒成立．【解析】（1）解：，是的极值点，，解得．函数，其定义域为．设，则，在上为增函数，又，当时，，即；当时，，．在上为减函数；在上为增函数；（2）证明：，为奇函数，，即，解得，，则在上单调递增，，，在存在唯一实数根，且，当时，，，时，，当时，函数取得最小值，，即，，．4．已知函数．（Ⅰ）设是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（Ⅱ）证明：．【解析】解：，由题意可得，，解可得，，令，则，故在上单调递增且，当时，即，函数单调递增，当时，即，函数单调递减，（Ⅱ）证明：（2）令，则在上单调递增，因为，，所以在存在唯一实数根，且，当时，，，时，，当时，函数取得最小值，因为，即，故，所以．5．已知函数（Ⅰ）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：．【解析】解：（Ⅰ）由函数的定义域，因为，是的极值点，所以（1），所以，所以，因为和，在上单调递增，所以在上单调递增，当时，；时，，此时，的单调递减区间为，单调递增区间为，（Ⅱ）证明：当时，，设，则，因为和，在上单调递增，所以在上单调递增，因为（1），（2），所以存在使得，所以在上使得，在，上，所以在单调递减，在，上单调递增，所以，因为，即，所以，所以，因为，所以，所以．6．已知函数在上有两个极值点，，且．（1）求实数的取值范围；（2）证明：当 时，．【解析】（1）解：，，由题意知方程在上有两不等实根，设，其图象的对称轴为直线，故有，解得．（2）证明：由题意知是方程的大根，从而，，由于，，．设，，，，在，递增，，即成立．7．已知函数，其中．（Ⅰ）设是的导函数，讨论的单调性；（Ⅱ）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．【解析】解：（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，，．当时，在上单调递增，在区间上单调递减；当时，在上单调递增．（Ⅱ）由，解得，令，则（1），（e）．故存在，使得．令，，由知，函数在上单调递增．．即，当时，有，．由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，从而；当，时，，从而．当时，．综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．8．已知，函数，是的导函数，（Ⅰ）当时，求证：存在唯一的，，使得；（Ⅱ）若存在实数，，使得恒成立，求的最小值．【解析】（Ⅰ）证明：，，（1分）当时，，函数在上的单调递增，（2分）又，，（3分）存在唯一的，，使得；（4分）（Ⅱ）解：（1）当时，则当时，，即函数在上单调递增，且当时，，这与矛盾；（5分）（2）当，由，得，；（6分）（3）当，由（Ⅰ）知当时，；当，时，；即在上单调递减，在，上单调递增，（7分）的最小值为，（8分）其中满足，故且，恒成立，，即，于是，（9分）记，，则，（10分）由得，即函数在上单调时递减，由得，即函数在上单调递增，，综上得的最小值为，此时．