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新高考数学二轮专题《导数》第21讲 导数解答题之隐零点问题(2份打包,解析版+原卷版)
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第21讲 导数解答题之隐零点问题1.设函数.(Ⅰ)求函数的图象在点处的切线方程;(Ⅱ)求的单调区间;(Ⅲ)若,为整数,且当时,,求的最大值.【解析】解:(Ⅰ),,,,,函数的图象在点处的切线方程为.(Ⅱ),.若,则恒成立,所以,在区间上单调递增.若,则当时,,当时,,所以,在区间上单调递减,在上单调递增.由于,所以,.故当时,.①令,则.函数在上单调递增,而(1),(2).所以在上存在唯一的零点,故在上存在唯一的零点.设此零点为,则.当时,;当时,;所以,在上的最小值为.由,可得,所以,,.由于①式等价于.故整数的最大值为2.2.已知函数.(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;(Ⅱ)当时,证明.【解析】(Ⅰ)解:,是的极值点,,解得.所以函数,其定义域为..设,则,所以在上为增函数,又,所以当时,,即;当时,,.所以在上为减函数;在上为增函数;(Ⅱ)证明:当,时,,故只需证明当时.当时,函数在上为增函数,且,.故在上有唯一实数根,且.当时,,当,时,,从而当时,取得最小值.由,得,.故.综上,当时,.3.已知函数.(1)设是的极值点,求并讨论的单调性;(2)当为奇函数时,证明:恒成立.【解析】(1)解:,是的极值点,,解得.函数,其定义域为.设,则,在上为增函数,又,当时,,即;当时,,.在上为减函数;在上为增函数;(2)证明:,为奇函数,,即,解得,,则在上单调递增,,,在存在唯一实数根,且,当时,,,时,,当时,函数取得最小值,,即,,.4.已知函数.(Ⅰ)设是的极值点,求的值,并讨论的单调性;(Ⅱ)证明:.【解析】解:,由题意可得,,解可得,,令,则,故在上单调递增且,当时,即,函数单调递增,当时,即,函数单调递减,(Ⅱ)证明:(2)令,则在上单调递增,因为,,所以在存在唯一实数根,且,当时,,,时,,当时,函数取得最小值,因为,即,故,所以.5.已知函数(Ⅰ)若是的极值点,求的值,并讨论的单调性;(Ⅱ)当时,证明:.【解析】解:(Ⅰ)由函数的定义域,因为,是的极值点,所以(1),所以,所以,因为和,在上单调递增,所以在上单调递增,当时,;时,,此时,的单调递减区间为,单调递增区间为,(Ⅱ)证明:当时,,设,则,因为和,在上单调递增,所以在上单调递增,因为(1),(2),所以存在使得,所以在上使得,在,上,所以在单调递减,在,上单调递增,所以,因为,即,所以,所以,因为,所以,所以.6.已知函数在上有两个极值点,,且.(1)求实数的取值范围;(2)证明:当 时,.【解析】(1)解:,,由题意知方程在上有两不等实根,设,其图象的对称轴为直线,故有,解得.(2)证明:由题意知是方程的大根,从而,,由于,,.设,,,,在,递增,,即成立.7.已知函数,其中.(Ⅰ)设是的导函数,讨论的单调性;(Ⅱ)证明:存在,使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解.【解析】解:(Ⅰ)由已知,函数的定义域为,,.当时,在上单调递增,在区间上单调递减;当时,在上单调递增.(Ⅱ)由,解得,令,则(1),(e).故存在,使得.令,,由知,函数在上单调递增..即,当时,有,.由(Ⅰ)知,在上单调递增,故当时,,从而;当,时,,从而.当时,.综上所述,存在,使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解.8.已知,函数,是的导函数,(Ⅰ)当时,求证:存在唯一的,,使得;(Ⅱ)若存在实数,,使得恒成立,求的最小值.【解析】(Ⅰ)证明:,,(1分)当时,,函数在上的单调递增,(2分)又,,(3分)存在唯一的,,使得;(4分)(Ⅱ)解:(1)当时,则当时,,即函数在上单调递增,且当时,,这与矛盾;(5分)(2)当,由,得,;(6分)(3)当,由(Ⅰ)知当时,;当,时,;即在上单调递减,在,上单调递增,(7分)的最小值为,(8分)其中满足,故且,恒成立,,即,于是,(9分)记,,则,(10分)由得,即函数在上单调时递减,由得,即函数在上单调递增,,综上得的最小值为,此时.
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