新高考数学二轮专题《立体几何》第4讲 直线与平面所成的角（2份打包，解析版+原卷版）

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第4讲 直线与平面所成的角一．选择题（共2小题） 1．正方体的棱长为6，点在上，且，过点的直线与直线，分别交于，两点，则与面所成角的正弦值为　　A． B． C． D．【解答】解：平面，是与面所成角，设与交点为，连结，平面，平面，平面平面，，是的中点，是的中点，是的中点，，，，．故选：．2．在正方体中，点为底面的中心，点为线段的中点，则直线与平面所成角的大小为　　A． B． C． D．【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，，1，，，2，，，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设直线与平面所成角的大小为，则．．直线与平面所成角的大小为．故选：．二．填空题（共7小题）3．如图，在长方体中，已知，，则直线与平面所成角的正弦值是　　．【解答】解：连接交于点，连接，在长方体中，因为，所以，因为，，所以平面，所以直线与平面所成的角为，已知，，所以，，由平面，平面，所以，所以．即直线与平面所成角的正弦值是．故答案为：．4．在直角梯形中，，，，若将沿直线折成△，使得，则直线与平面所成角的正弦值是　　．【解答】解：过作于，连结，过作，连结．，，，平面，平面，，又，，平面．为直线与平面所成的角．在直角梯形中，过作，交于，交于，设，则，，，．由得，即，．．．故答案为．5．已知长方体中，，，则直线和平面所成角的正弦值为　　．【解答】解：由题意，连接，交于点长方体中，平面在中，直线和平面所成角的正弦值为．故答案为：．6．和所在的平面互相垂直，且，，则与平面所成角的余弦值为　　．【解答】解：设，作于点，连，以点为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴方向，建立坐标系，因为，，所以与都是正三角形，可得下列坐标：，0，，，0，，，，，，，，，0，，0，，显然，0，为平面的一个法向量，直线与平面所成角的余弦值为：．故答案为：．7．已知和所在的平面互相垂直，且，，则与平面所成角的正弦值为　　．【解答】解：设，作于点，连，以点为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴方向，建立坐标系，得下列坐标：，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，设平面的法向量为，则可取与平面所成角的正弦值为故答案为：8．如图，的等腰直角三角形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点，则与平面所成角的大小为　　．【解答】解：取中点，连，，，设，则，，，，由平面平面，平面，则即为与平面所成角在中，直角边即与平面所成角的大小为故答案为：．9．是直角三角形所在平面外一点，已知三角形的边长，，，，则直线与平面所成角的余弦值为　　．【解答】解：取的中点，连接，，，是的中点，，，，，，，又，，，，又，平面，为直线与平面所成的角，．故答案为：．三．解答题（共7小题）10．已知平面外两点、到平面的距离分别为1和2，、两点在平面内的射影之间的距离为，求直线和平面所成的角．【解答】解：设所在的直线和平面所成的角是，平面外两点、到平面的距离分别为1和2，、两点在平面内的射影之间的距离为，可得结合，，可得即所在的直线和平面所成的角为．11．如图，在直角三角形中，，为三角形所在平面外的一点，平面，若，，．求直线与平面所成的角（Ⅱ）求直线与平面所成的角．（Ⅲ）求直线和平面所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）平面，是直线与平面所成的角，，，，，直线与平面所成的角为．（Ⅱ）在直角三角形中，，为三角形所在平面外的一点，平面，，，又，平面，是直线与平面所成的角，，，．，，，直线与平面所成的角为．（Ⅲ）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，，，，，，，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，，，则，取，得，设直线和平面所成角为，则．直线和平面所成角的正弦值为．12．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，．是的中点，，又，．四边形为平行四边形．，又平面，平面．平面．（Ⅱ）取的中点，连结，，，，四边形是正方形，，，，又，，，．平面平面，平面平面，平面，平面．（Ⅲ）过点作交的延长线于点，连结，因为平面平面，平面平面，平面，平面，为直线与平面所成角，，，．，，．，．13．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面平面；（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：，分别为，的中点，底面为正三角形，，四边形为矩形，，，，，，，，平面，平面，平面平面，综上，，且平面平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，，，面，面，面面，，四边形为平行四边形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直线在平面内的投影为，直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，在等腰梯形中，令，过作于，则，，，，直线与平面所成角的正弦值为．14．如图，已知三棱柱的侧面为矩形，，，，分别为、的中点，过作平面分别交、、于点、、．（1）求证：平面平面．（2）若为线段上一点，，平面．则当为何值时直线与平面所成角的正弦值为．（请说明理由）【解答】（1）证明：四边形是矩形，，，，又是的中点，是的中点，，四边形是矩形，，，是的中点，，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面．（2）解：连接，平面平面，平面，平面，，又，，平面，平面，平面平面，，，，四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，，，，在上取点，使得，则，，四边形是平行四边形，，又平面，为直线与平面所成的角，即，即，又，，，．15．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且．（Ⅰ）证明：无论取何值，总有；（Ⅱ）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值．【解答】证明：，，，，即、、两两相互垂直．以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，1，．，，0，，，1，，．无论取何值，．（Ⅱ），0，是平面的一个法向量．．当时，取得最大值，此时，，．16．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，、分别是，的中点，点在线段上，且（1）证明：无论取何值，总有；（2）当时，求直线与平面所成角的正切值．【解答】（1）证明：以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，由题意知：，0，，，0，，，1，，，，，，0，，，0，，，，，，1，，，无论取何值，总有．（6分）（2）解：时，，，，由题意知平面的法向量，0，（8分）设为与面所成角，则，，（12分），直线与平面所成角的正切值为2．（13分）