新高考数学二轮专题《立体几何》第11讲 非常规空间几何体为载体（2份打包，解析版+原卷版）

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第11讲 非常规空间几何体为载体一．选择题（共1小题） 1．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，，，则二面角的大小的正弦值为　　A． B． C． D．【解答】解：如图，连接，，，，，过在平面上作于，连接，由三垂线定理，是二面角的平面角，，，所以在中，故选：．二．解答题（共19小题）2．如图，是圆的直径，圆所在的平面，是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，，求二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：圆所在的平面，，是圆的直径，且是圆上的点，，又，平面，而平面，平面平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，为二面角的平面角，在中，，．3．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆0上异于，的点，（1）求证：平面；（2）设，分别为，的中点，问：对于线段上的任一点，是否都有平面？并说明理由．【解答】（1）证明：因为圆所在的平面，平面，所以可得，因为是圆上的点，是圆的直径，所以由直径对的圆周角等于，可得．再由，利用直线和平面垂直的判定定理可得平面；（2）对于线段上的任一点，都有平面．证明如下：连接，，则因为，分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为是的中位线，所以有，因为平面，平面，所以平面．而和是平面内的两条相交直线，故平面平面．又平面，所以平面．4．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且，（Ⅰ）若为线段的中点，求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）在中，因为，为的中点，所以，又垂直于圆所在的平面，所以，因为，所以平面．（Ⅱ）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为1，又，所以面积的最大值为，又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为：．（Ⅲ）在中，，，所以，同理，所以，在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示，当，，共线时，取得最小值，又因为，，所以垂直平分，即为中点．从而．亦即的最小值为：．5．如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在平面，且．（1）为线段的中点，求证：平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求异面直线与所成的角．【解答】（1）证明：在中，，为的中点，，又垂直于圆所在的平面，，，平面；（2）解：点在圆上，当时，到的距离最大，此时的面积最大，则三棱锥的体积最大，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，1，，，0，，，，与的夹角为，则异面直线与所成的角为．6．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且．为线段的中点，（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若点在线段上，且，求三棱锥体积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在中，因为，为的中点，所以，又垂直于圆所在的平面，所以；又，所以平面；又平面，所以平面平面；（Ⅱ）由，则，所以；又点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为6；又，所以面积的最大值为；又三棱锥的高为，所以三棱锥体积的最大值为；综上知，三棱锥体积的最大值为．7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的四等分点，且靠近． （1）设是上的一点，且，求的大小；（2）当，时，求二面角的余弦值的大小．【解答】解：（1），，，平面，平面，，，．（2）以为坐标原点，过点作，与交于点，分别以、、所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，由题意得，0，，，0，，，1，，，，，，0，，，1，，，，，设，，是平面的一个法向量，则，取，得，，，设，，是平面的一个法向量，则，取，得，，，．二面角的余弦值为．8．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的， （1）设是上一点，且，若中点为，求证：平面平面；（2）若，为上的一点，且，求二面角的余弦值．【解答】证明：（1）由矩形知，由，及，平面，面，由平面，知，由，知，由，知是等边三角形，由为中点，得，由平面，知，由，平面，得平面，由平面，得平面平面．解：（2）二面角可以分割为二面角和二面角，二面角的平面角为，过作的垂线交于，过作的垂线交于，则二面角的平面角为，，，设，则，，，二面角的余弦值为．9．如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，为的中点，，在四边形中，，，为中点，，平面平面，平面，平面．解：（Ⅱ）连结，过作于，连结，，，推导出四边形为矩形，，平面，又，平面，，设，由，得，，，，又平面，，平面，即点到平面的距离为，，到平面的距离应该和平行且相等，为，为中点，到平面的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面的距离为，在，由余弦定理得，设直线与平面所成角为，则．10．如图，在平行六面体中，平面，且，，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值．【解答】解：在平面内，过作，平面，、平面，，，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．，，，，0，，，，1，，，2，，，0，，．，，，．（1）．异面直线与所成角的余弦值为；（2）设平面的一个法向量为，由，得，取，得；取平面的一个法向量为．．二面角的余弦值为，则二面角的正弦值为．11．在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆直径，是圆台的一条母线．（1）已知，分别为，的中点，求证：面；（2）已知，，求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：设的中点为，由三角形中位线定理可得，，，面面，则面；（2）解：连接，则平面，又，且是圆的直径，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系方向为轴，方向为轴，方向为轴，如图，由题意得：，2，，，0，，过点作于点，故，，1，，故，设是平面的一个法向量，则，取，则，又平面的一个法向量，故，二面角的余弦值为．12．如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，，为下底面圆的直径，，．（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论．（Ⅱ）设点为棱的中点，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）当点为上底面圆的圆心时，平面．证明如下：如图，取上底面圆的圆心为，连接，，，，则，．所以四边形为平行四边形，所以，所以．又，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．故点为上底面圆的圆心时，平面．（Ⅱ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．于是可得，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，，所以，．设平面的一个法向量为，由，得．令，则可取．取平面的一个法向量为．设平面与平面所成的锐二面角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．13．如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，，为下底面圆的直径，．（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论．（Ⅱ）设点为棱的中点，，求四棱锥体积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当点为上底面圆的圆心时，平面．证明如下：如图，取上底面圆的圆心为，连接，，，，则，．所以四边形为平行四边形，所以，所以．又，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．故点为上底面圆的圆心时，平面．（Ⅱ）在底面圆中，由得，当且仅当时等号成立，所以四棱锥体积的最大值为．14．如图，在三棱台中，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面，，，，求平面与平面所成的角（锐角）的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，，，；，又，，四边形为平行四边形；，平面，平面；平面；同样，因为为中位线，；又；；平面，；平面平面，平面；平面；（Ⅱ）连接，则；平面；平面，并且；，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：，0，，，1，，，0，，，0，；连接，根据已知条件，为中点；；又平面，平面；，；平面；向量为平面的法向量；设平面的法向量为，则：，取，则：；设平面和平面所成的锐二面角为，则：；平面与平面所成的角为．15．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长．【解答】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，0，，，1，，，0，，，，，，0，，，1，，，0，，，，，又因为，分别为和的中点，得，，，，，．可得，0，为平面的法向量，，，，由此可得，又因为直线平面，所以平面．（2）解：，，，，0，，设，，为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，1，．设，，为平面的法向量，又，1，，则，得，不妨设，可得，，．因此有，，即平面与平面的夹角的余弦值为．（3）解：依题意，可设，其中，，则，，，从而，，，又，0，为平面的法向量，由已知直线和平面的夹角的正弦值为，得，，整理得，又因为，，解得，所以，线段的长为．16．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求实数的值．【解答】证明：（Ⅰ）为等边三角形，为的中点，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，．（Ⅱ）取的中点，连接，则，以为原点，分别以、、为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，，令，得，1，．平面的一个法向量为，，，，，由二面角为钝二面角，二面角的余弦值为．（Ⅲ），，，，，，，解得．17．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：．（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若平面，求的值．【解答】证明：（Ⅰ）为等边三角形，为的中点，，平面平面，平面，平面．（Ⅱ）取的中点，连接，是等腰梯形，，由（Ⅰ）知平面，平面，，建立如图的空间坐标系，则，，，，，，则，0，，，0，，，，，，0，，，，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，即，，，平面的法向量为，则即二面角的余弦值为；（Ⅲ）若平面，则，即，，，，，，，，解得．18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设，是否存在实数使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：平面平面，且平面平面，且，平面，平面，平面，，又，且，平面．（2）解：取中点为，连接，，，，又，．以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，0，，，1，，，，，，0，，则，1，，，，，，0，，，，，设，，为平面的法向量，则，取，得，，，设与平面的夹角为，则直线与平面所成角的正弦值为：．（3）解：设，假设存在实数使得平面，，，，由（2）知，，1，，，0，，，，，，1，，，，，由，可得，，，，，，平面，，，为平面的法向量，，解得．综上，存在实数，使得平面．19．如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离．【解答】证明：（1）取的中点，连接，，在中，因为是的中点，所以且，（1分）因为，，，所以且，（2分）所以四边形是平行四边形，所以，（3分）又平面，平面，所以平面．（4分）（2）在中，，，，由余弦定理得，（5分）因为，所以．（6分）因为平面平面，平面，平面平面，所以平面．（7分）解：（3）解法1：由（1）平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，（8分）设点到平面的距离为，过作，交的延长线于，则平面，所以是三棱锥的高．（9分）由余弦定理可得，所以，．（10分），．因为，（11分）即，解得．所以点到平面的距离为．（12分）解法2：因为，且，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的，（8分）由（2）平面．因为平面，所以平面平面．过点作于点，又因为平面平面，故平面．所以为点到平面的距离．（9分）在中，，由余弦定理可得所以，（10分）因此，（11分）所以点到平面的距离为．（12分）20．已知：平行四边形中，，，平面平面，为等边三角形，，，为线段的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取的中点，连结，，为线段的中点，是的中点，，又，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）取中点，连结，则，平面平面，平面平面，平面，，平面，又平面，，，，，，，，又平面，平面，，平面，又平面，平面平面．解：（3）过作，垂足为，则，以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，设平面的法向量为，，，则，，令得，，，，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．