新高考数学二轮专题《立体几何》第13讲 立体几何空间角的大小比较（2份打包，解析版+原卷版）

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第13讲 立体几何空间角的大小比较一．选择题（共17小题） 1．如图，已知，是的中点，沿直线将折成△，所成二面角的平面角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：①当时，；②当时，如图，点投影在上，，连结，易得，，即综上所述，，故选：．2．如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），、、分别为、、上的点，，，分别记二面角，，的平面角为、、，则　　A． B． C． D．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面的中心为．不妨设．则，0，，，，，，6，，，0，，，，．，，，，3，，，6，，，．设平面的法向量为，，，则，可得，可得，取平面的法向量，0，．则，取．同理可得：．．．．解法二：如图所示，连接，，，过点分别作垂线：，，，垂足分别为，，，连接，，．设．则．同理可得：，．由已知可得：．，，，为锐角．．故选：．3．如图，正四面体中，、、在棱、、上，且，，分别记二面角，，的平面角为、、，则　　A． B． C． D．【解答】解：观察可知，，为钝角，，均为锐角，平缓一点，陡急一点，，则，故选：．4．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与面所成的角为，二面角的平面角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：如图，过作底面的垂线，垂足为，连接，则，．取为的中点，连接，则，，为二面角的平面角，等于．过作的平行线，过作的平行线，相交于，则为与所成的角，等于．底面，，又，，平面，则，在与中，有，，而，，得，均为锐角）；在与中，有，，而，，，得，均为锐角）．当与重合时，．综上，．故选：．5．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点）．记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：方法一、如图为的中点，在底面的射影为，则在底面上的射影在线段上，作于，易得，过作于，过作，交于，则，，，则，可得；，可得，方法二、由最小值定理可得，记的平面角为（显然，由三正弦定理可得；方法三、（特殊图形法）设三棱锥为棱长为2的正四面体，为的中点，易得，可得，，，当时，由余弦定理可得，，，可得，故错误．故选：．6．如图，三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，二面角的平面角为，则不可能是　　A． B． C． D．【解答】解：如图，由题意，三棱锥为正三棱锥，过作，则为直线与直线所成角为，当无限靠近时，无限接近，但小于，则．当棱锥的侧棱无限长，无限靠近时，无限趋于但小于；二面角的平面角为，即的平面角为，由三棱锥存在，得，随着棱长无限增大，无限趋于．，．则不可能是．故选：．7．如图，是边上一点，将沿折成直二面角，要使最短，则是　　A．中边上的中线 B．中边上的高线 C．中的平分线 D．要视的具体情况而定【解答】解：如图所示，作，垂足为．直二面角，平面．时，，．设．则，．，，．，当且仅当时，即时，即为的平分线时，最短．故选：．8．如图，正四棱锥．记异面直线与所成角为，直线与面所成角为，二面角的平面角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：由，可得为和所成角；过作平面，垂足为，连接，可得为直线与面所成角；取的中点，连接和，可得，，可得为二面角的平面角；设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，可得，，，由，可得，即，则，由，，，可得．故选：．9．已知正四面体，为内的一点，记与平面、，所成的角分别为、、，则下列恒成立的是　　A． B． C． D．【解答】解：当为底面的中心时，设正四面体的棱长为，则底面三角形的高为：，如图，，此时：．排除选项；．．排除．当与重合时，，，．，．排除．故选：．10．已知三棱锥的底面为正三角形，，平面、、与平面所成的锐二面角分别为、、，则　　A． B． C． D．【解答】解：由题意设的高为，的高为，三棱锥的高为，三棱锥的底面为正三角形，，平面、、与平面所成的锐二面角分别为、、，，根据正弦函数定义得，，，，都是锐角，．故选：．11．如图，已知三棱锥满足，在底面的投影为的外心，分别记直线与平面、、所成的角为，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：连结，，，取的三边中点，，，连结，，，，，，是的外心，，又平面，平面，，又，平面，，为二面角的平面角，为与平面的所成角，即，，同理可得：，，设，，且，，，，，．故选：．12．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面，，若侧面，，与底面所成的二面角分别为，，，则下列的结论成立的是　　A． B． C． D．【解答】解：侧面，，，是面与底面所成的二面角，，侧面，，与底面所成的二面角分别为，，，，过作于，则，平面，为平面与底面所成角，，，过作于，则为平面与平面所成的二面角，，．故选：．13．如图，三棱锥中，，，，，，分别是，，的中点，记直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，平面与平面所成的锐二面角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为，，所以，所以平面，，又，所以平面，过作的垂线，显然垂直平面，故直线与平面所成的角为，同理，平面与平面所成的锐二面角为，由，得，也是直线与平面所成的角，由，则，所以，故选：．14．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面．过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线，，所成锐角分别为，，，则这三个角的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：由图可知，即面，即面为面，又面，设，为的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，0，，，0，，，1，，则，1，，，1，，，1，，，2，，设直线与直线，，所成角分别为，，，则，，，所以，所以，故选：．15．已知长方体的底面为正方形，，，且，侧棱上一点满足，设异面直线与，与，与的所成角分别为，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：不妨取，．连接、，设，取的中点，连接．，，，，，．在△中，；在△中，；在△中，，．，异面直线夹角的取值范围是，，．故选：．16．如图，矩形中，，，是线段上一点且满足，是线段上一动点，把沿折起得到△，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，，平面与平面所成锐角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：过作平面，交于，过作，交于，连结，，，，与平面所成角为，，平面与平面所成锐角为，，，比较，，的大小即可，由直角三角形的性质得最小，最大，故最大，，，，，．故选：．17．如图，矩形中，，，是线段（不含点上一动点，把沿折起得到△，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，，平面与平面所成锐角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：如图，过作，平面平面，且，可得平面，，过作，垂足为，连接，则．则，，为平面与平面所成的锐角．要保证折起后能使平面平面，则，，当逐渐增大时，小于1逐渐减小，此时大于逐渐增大．故与大小不确定；，，则，．故选：．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/4/3 11:02:16；用户：程长月；邮箱：hngsgz031@xyh.com；学号：25355879