新高考数学二轮专题《立体几何》第16讲 立体几何作图问题（2份打包，解析版+原卷版）

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第16讲 立体几何作图问题一．解答题（共15小题） 1．如图，三棱柱的各棱长均相等，底面，，分别为棱，的中点．（1）过作平面，使得直线平面，若平面与直线交于点，指出点所在的位置，并说明理由；（2）求二面角的余弦值．【解答】解：（1）如图所示，平面即为平面，点为线段的中点．（2分）理由如下：因为直线平面，平面平面，直线平面，所以直线直线，又直线，所以四边形是平行四边形，则，即点为的中点．（4分）（2）如图，取的中点，由题意，，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示．不妨设棱长为2，则，1，，，2，，则，，设面的法向量，，，则由得令，得．取平面的一个法向量，0，，于是．所以二面角的余弦值为．（12分）2．如图，三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点．（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）取中点，连接，则，连接，取中点，连接，则，，即，，，四点共面，连接交于，连接，则，，，四点共面，过作交于，即为所求．（2）作平面，与延长线交于，则，，，，，，，，，作，则直线与平面所成角直线与平面所成角，，，设到平面的距离为，则，，直线与平面所成角的正弦值．3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值．【解答】证明：（1），，，平面，平面，，，平面，平面，平面平面．解：（2）作于点，在中，，，平面，设，，，则，，由，得，解得，，故为的中点．（3）连结，，与交于点，连结，由（2）知平面，，为正方形，，，平面，，是二面角的平面角，平面，平面平面，二面角与二面角互余，设二面角的平面角为，则，在中，，，，，二面角的余弦值为．4．如图，在多面体中，四边形为矩形，，均为等边三角形，，．（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）当为的中点时，平面．证明：连结交于，连结．四边形是矩形，是的中点，是的中点，，又平面，平面，平面．（2）过作平面，垂足为，过作轴，作轴于，则为的中点．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，．，，，，，，，，，，0，，，，．，2，，，，，，，．设平面的法向量为，，，则，，令得，0，，，，．，．直线与平面所成角的正弦值为，．5．如图，三棱柱中，四边形为菱形，，，，平面平面，在线段上移动，为棱的中点．（1）若为线段的中点，为中点，延长交于，求证：平面；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离．【解答】证明：（1）如图，取中点，连接，，为中点，，在平行四边形中，，分别为，的中点，，又，，平面平面，平面，平面．解：（2）连接，，四边形为菱形，又，△为正三角形为的中点，平面平面，平面平面，平面，平面，在平面内过点作交于点建立如图所示的空间直角坐标系，，设，，，，，设平面的法向量为，则得，令，则，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，二面角的平面角为，则，或（舍，，．又，，，连接，设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为．6．如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若与底面所成角为，求二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接交于点，连接．因为平面，平面，平面平面，所以．（2分）又因为四边形为平行四边形，所以为的中点，所以为△的中位线，所以为的中点．又因为为等边三角形，所以．（4分）解：（Ⅱ）过作平面垂足为，连接，设．因为与底面所成角为，所以．在△中，因为，所以，．因为平面，平面，所以．又因为四边形为矩形，所以，因为，所以．因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．又因为，所以为的中点．（7分）以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．则，，，，，0，，，1，．因为，所以，，因为，所以，，，，．（8分）设平面的法向量为，，，由得令，得，所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为，，，由得令，得，，所以平面的一个法向量为．（10分）所以，因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．（12分）7．如图，四棱锥中，底面为梯形，，．是的中点，底面．在平面上的正投影为点，延长交于点．（1）求证：为中点；（2）若，，在棱上确定一点，使得平面，并求出与面所成角的正弦值．【解答】解：（1）连接，，是的中点，．，，四边形是平行四边形．．底面．平面，．在平面上的正投影为点，面．．又，面，．又，为中点．（2），，，底面，故以为原点建立空间直角坐标系，如图．，0，，，0，，，1，，，0，，，，为的外心，，是的重心．．设，，．又是平面的法向量，且面．，，解得．．设是面的法向量．，，可取．．与面所成角的正弦值为．8．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，且平面，，点，分别是线段，上的中点，在上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．【解答】证明：（Ⅰ）在中，点，分别是线段，上的中点，，平面，平面，平面．解：（Ⅱ）底面是边长为2的菱形，，平面，，，如图，以为原点，、、分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，，，则，令，得，，，直线与平面的成角的正弦值为．（Ⅲ）法1：延长，分别交，延长线于，，连接，发现刚好过点，连接，，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线．法2：记平面与直线的交点为，设，则由，解得．所以即为点．所以连接，，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线．9．在等腰直角中，，分别为，的中点，，将沿折起，使得二面角为．（1）作出平面和平面的交线，并说明理由；（2）二面角的余弦值．【解答】解：（1）在面内过点作的平行线即为所求．证明：因为，而在面外，在面内，所以，面．同理，面，于是在面上，从而即为平面和平面的交线．（2）由题意可得为二面角的平面角，所以，．过点作的垂线，垂足为，则面．以为原点，所在直线为轴正方向，垂直 的直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立空间直角坐标系；如图：则，0，，，4，，，0，，，2，，，从而，，设面的一个法向量为，则由得，所以，不妨取．由面知平面的法向量不妨设为于是，，所以二面角的余弦值为．10．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，平面平面，且与棱，，分别交于，，三点．（1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；（2）若将三棱锥分成体积之比为的两部分（其中，四面体的体积更小），为线段的中点，求四棱锥的体积．【解答】解：（1）作法：取的中点，连结，则直线即为要求的直线．证明如下：，，，平面，平面平面，平面平面，平面平面，，平面，又平面，．又，是的中点，．直线为要求的直线．（2）平面将三棱锥分成体积之比为的两部分，，平面平面，，又，．，到平面的距离，是的中点，到平面的距离，四棱锥的体积．11．如图，在三棱锥中，，．两两垂直，，平面平面，且与棱．．分别交于，，三点．（1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；（2）若将三棱锥分成体积之比为的两部分（其中，四面体的体积更小），为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）作法：取的中点，连结，则直线即为要求作的直线．证明如下：，，且，平面，平面平面，且平面，平面平面，，平面，，又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线．（2）将三棱锥分成体积之比为的两部分，四面体的体积与三棱锥的体积之比为，又平面平面，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角系，设，则，1，，，1，，，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，1，，设平面的法向量为，，，则，取，得，3，，则，．直线与平面所成角的正弦值为．12．如图，在三棱柱中，，，．（Ⅰ）证明：点在底面上的射影必在直线上；（Ⅱ）若二面角的大小为，，求与平面所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为，，，所以平面．                                         （2分）所以平面平面．                                    （4分）过点作，则由面面垂直的性质定理可知平面．又平面，所以与重合，所以点在底面上的射影必在直线上．                （6分）（Ⅱ）是二面角的平面角，即．   （8分）法一：连接，，，．平面，平面平面．              （10分）   过作，则平面．是直线与平面所成角．（12分），，．又，．                       （15分）法二：在平面内过点作，以，，为，，轴建系．则，（8分）  所以．（10分）由可以求得平面的法向量．  （12分）所以．        （15分）13．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点．（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．【解答】（1）证明：底面，平面，，由于底面为长方形，，而，平面，平面，，，为中点，，，平面，，又，，平面；（2）解：由题意易知、、两两垂直，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，可得，0，，，0，，，1，．设，则有，．，1，，，，，，设平面的法向量，由，令，则．由（1）平面，为平面的法向量，设二面角为，则．故．二面角的正弦值为．14．在如图所示的几何体中，，平面，，，，．（1）证明：平面；（2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积．【解答】证明：（1）在中，．所以，所以为直角三角形，．又因为平面，所以．而，所以平面．解：（2）取的中点，的中点，连接，，，平面即为所求．理由如下：因为，，所以四边形为平行四边形，所以，从而平面，同理可证平面．因为，所以平面平面．由（1）可知，平面，平面．因为，，所以，夹在该截面与平面之间的几何体的体积：．15．如图，在四棱锥中，，，，．（1）求证：；（2）若，，为的中点．过点作一直线与平行，在图中画出直线并说明理由；求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．【解答】证明：（1）取中点，连接，（1分），为中点，，又，为中点，，又，面，（3分）又面，．（4分）（2）取中点，连接，，则，即为所作直线．（5分）理由如下：在中、分别为、中点，，且，又，，且，四边形为平行四边形．（6分）．（7分），，，面，（8分）又在中，，，，又，面（9分）方法一：，（10分），（11分）．（12分）方法二：在中，为中位线，，（10分），（11分）．（12分）方法三：，，（11分）．．（12分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/4/3 11:04:58；用户：程长月；邮箱：hngsgz031@xyh.com；学号：25355879