新高考数学二轮专题《立体几何》第17讲 立体几何建系繁琐问题（2份打包，解析版+原卷版）

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第17讲 立体几何建系繁琐问题一、解答题1． 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面平面；（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：，分别为，的中点，底面为正三角形，，四边形为矩形，，，，，，，，平面，平面，平面平面，综上，，且平面平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，，，面，面，面面，，四边形为平行四边形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直线在平面内的投影为，直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，在等腰梯形中，令，过作于，则，，，，直线与平面所成角的正弦值为．2． 如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，，分别是，的中点（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值．      【答案】（1）取的中点，连接，，在中，根据余弦定理可以算出，发现，可以得出，又，又，可以得出，而，平面，而平面，，又，．又，平面．（2）由（1）知，平面，所以为二面角的平面角，在中，，，，由余弦定理得，因此二面角的余弦值为．3． 如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．（1）证明：；（2）已知点，为线段，上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值．      【答案】（1）证明：连接，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以．在中，．在中，，为等腰三角形，且点是底边的中点，故．在中，，所以为△，且．因为，，且，所以平面，而平面，．因为，，且，所以平面，而平面，．（2）设平面与平面的交线为．由，，知．而平面，平面，而平面平面，．由（1）知，平面，平面，而，平面，，，是平面与平面所成二面角的平面角．在中，，，．在中，由知，，由余弦定理得，由正弦定理得，，即，．故平面与平面所成二面角的正弦值为．4． 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面．（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：　　　　，则三棱锥为“鳖臑”；（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，．（ⅰ）证明：平面平面；（ⅱ）设平面与平面的交线为，若，，求二面角的大小．      【答案】（1）由题意，四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，而平面，要使三棱锥为“鳖臑”，则只需或或或；（2）证明：平面，平面，，又，即，，，平面，平面，又平面，，又，，，平面，平面，又平面，，又，，，平面，平面，又平面，平面平面；由题意知，在平面中，直线与直线相交，如图所示，设，连接，则即为，平面，平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，又，平面，，，即为二面角的一个平面角，在中，，，，又，，，，即二面角的大小为．5． 已知四面体，，，且平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．      【答案】（Ⅰ）证明：，，，取中点，则，平面，．（Ⅱ）解：过点作交延长线于，连结，平面平面，平面，为与平面所成角，，，，，在中，直线与平面所成角的大小为．6． 已知四面体，，且平面平面．（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）求二面角的正切值．      【答案】（Ⅰ）证明：，，，，，取中点，则，，平面，平面，.（Ⅱ）解：过点作交延长线于，过作于，连结，平面平面，平面，根据三垂线定理知，为二面角的平面角，由已知可知，设，则，在中，，，，二面角的正切值为.注：用空间向量做，酌情给分．