新高考数学二轮专题《立体几何》第3讲 空间中两直线所成的角（2份打包，解析版+原卷版）

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第3讲 空间中两直线所成的角一．选择题（共8小题） 1．空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为　　A． B． C． D．【解答】解：过点作的平行线，交于，连结，，、分别是、上的点，且，，，，，，，，是与所成角或所成角的补角，由余弦定理得，，异面直线和所成的角为．故选：．2．在正方体中，、分别是棱、的中点，则与所成角的余弦值为　　A． B． C． D．【解答】解：在正方体中，、是、的中点，设取的中点，的中点，连结，，、所成的角即为与所成的角．利用勾股定理得：    在中，利用余弦定理故选：．3．过正方体的顶点的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为　　A． B． C． D．【解答】解：如图，，，平面，则，同理，则平面，过正方体的顶点的平面与直线垂直，平面平面，平面平面，平面平面，直线与直线所成角即为与所成角．△为等边三角形，直线与直线所成角的大小为．故选：．4．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　A． B． C． D．0【解答】解：设的中点为，连接，，则，异面直线与所成的夹角就是与所成的夹角，由题意：设正四面体的棱长为，则，，由余弦定理可得故选：．5．如图，在直三棱柱中，，，点、分别是棱、的中点，则直线和所成角的度数是　　A． B． C． D．【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，设直线和所成角为，则，．直线和所成角为．故选：．6．如图，在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为　　A． B． C． D．【解答】解：如图：连结，，则异面直线与所成角为，在△中，；；；则，，故选：．7．在直三棱柱中，，，点，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是　　A． B． C． D．【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，设直线和所成角为，则．故直线和所成角的余弦值是．故选：．8．在直三棱柱中，，，点，分别是棱，的中点，当二面角为时，直线与的夹角为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得为二面角的平面角，为等腰直角三角形，连，取得中点，，分别是棱，的中点，平行且等于，或其补角，即为直线与的夹角．由于，，，由余弦定理可得，，故选：．二．填空题（共6小题）9．平面过正方体的棱，平面，平面，则直线与直线所成角的正弦值为　　．【解答】解：由题意，在正方体的一边在补形一个正方体，平面过棱，的屏幕为，且平面，平面，如图，可知为对角线，通过平移，，直线与直线所成角为，，，都是正方体的对角线，△为等边三角形，因此故答案为：．10．图，，分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为　　．【解答】解：取的中点，连接，由中位线定理可得：，且，是异面直线，所成的角（或所成角的补角），在中由余弦定理可得：，，异面直线与所成的角为：．故答案为：．11．将正方形沿对角线折成直二面角，①与平面所成角的大小为；②是等边三角形；③与所成的角为；④；⑤二面角为．则上面结论正确的为　②③④　．【解答】解：将正方形沿对角线折成直二面角，设对角线的交点为．则，平面，．又．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取．则，0，，，0，，，，，，1，，，0，，，0，，，0，，，0，，，0，，①与平面所成角为，大小为，因此不正确．②，可得是等边三角形，正确．③，1，，，1，，，，与所成的角为，因此正确．④由已知可得：平面，，因此正确．⑤，0，，设平面的法向量为，，，则，则，取，，．设平面的法向量为，则，取，1，．则，，可得二面角为钝角．因此不正确．综上可得：只有②③④正确．故答案为：②③④．12．在正四棱柱中，，，，分别是线段与上的动点，则异面直线与所成角的余弦值为　　，线段的长度的最小值为　 　．【解答】解：以为原点，为轴，这轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，，，，，1，，设异面直线与所成角为，，异面直线与所成角的余弦值为．设点的坐标为，，，，，点的坐标为，，，，，，当且仅当，时，线段的长度取得最小值．故答案为：，．13．如图，长方体中，，，点、、分别是、、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是　0　．【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，点、、分别是、、的中点，，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，，，，，异面直线与所成的角的余弦值为0．故答案为：0．14．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为　　．【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，，，设异面直线与所成角为，，异面直线与所成角为．故答案为：．三．解答题（共4小题）15．空间四边形中，、分别是、的中点，，且，，求异面直线与所成角的大小．【解答】解：取中点，连结、，、分别是、的中点，，且，，，且，，且，是异面直线与所成角，，，，．异面直线与所成角的大小为．16．四面体的棱长均为，、分别为棱、的中点，求异面直线与所成的角的余弦值．【解答】解：由题意可得四面体为正四面体，如图，连接，取的中点，连接，则，故即为所求的异面直线角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在中，，，，．中，由余弦定理可得．17．长方体中，已知，，，且，求：（1）下列异面直线之间的距离：与；与；与．（2）异面直线与所成角的余弦值．【解答】（1）解：为异面直线与的公垂线段，故与的距离为．为异面直线与的公垂线段，故与的距离为．过作，垂足为，则为异面直线与的公垂线，，即与的距离为． （2）解法一：连接交于点，取的中点，连接、，则，就是异面直线与所成的角．，，，在中，．解法二：如图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连接、，则，（或其补角）为与所成的角．，，，在△中，，故所求的余弦值为．18．如图所示，在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中点，求异面直线和所成的角的余弦值．【解答】解：在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中点，以为原点，过点作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，，，，，，，，，设异面直线和所成的角为．则，异面直线和所成的角的余弦值为．