新高考数学二轮专题《立体几何》第20讲 立体几何综合问题（2份打包，解析版+原卷版）

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第20讲 立体几何综合问题一．解答题（共14小题）1．如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，，，，分别是与的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【解答】【答案】（1）连接，，底面为平行四边形，是的中点，是的中点，，是的中点，是的中点，，，，平面平面，平面，平面；（2）由平面，平行四边形平面底面，，，四边形为矩形，且底面，，过作，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系（如图）由，知，，，，设平面的法向量，则，取，，，即，设平面的法向量，则，取，，，即，二面角的平面角的余弦值．2．如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．证明：平面平面；求二面角的余弦值．【解答】证明：连接，设，连接，，，在菱形中，不妨设，由，可得．由平面，可知，，又，，，在中，可得，故．在中，可得．在直角梯形中，由，，可得，，，，平面，面，平面平面．解：如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，0，，，0，，，0，，，，，，，设平面、平面的法向量分别为，则，可得面与面的法向量，，即面面，所以二面角的余弦值为03．如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形．，．（1）证明：平面（2）求与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取中点，连结，则四边形为矩形，．连结，则又，故所以为直角，所以，由，，，得平面，所以．因为，所以平面分（2）解：由平面知，平面平面．作，垂足为，则平面，作，垂足为，则．连结，则又，，故平面，平面平面，作，为垂足，则平面，即到平面的距离为．由于，所以平面，到平面的距离也为．设与平面所成的角为，则分．4．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，．（Ⅰ）证明：是侧棱的中点；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：作交于点，则，平面，连接，则四边形为直角梯形，作，垂足为，则为矩形，设，则，，，，由，得，解得，即，从而，为侧棱的中点．（Ⅱ）解：，又，，为等边三角形．又由（Ⅰ）知为中点，，，，，，取中点，连结，取中点，连结，则，，由此知为二面角的平面角，连结，在中，，，，．二面角的余弦值为．5．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且，，为等边三角形，平面平面；点、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：设的中点为，连结，，为中点，为的中位线，，且，在梯形中，，且，，且，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．（2）解：四棱锥的底面为直角梯形，，且，，，为等边三角形，平面平面，点是的中点．设的中点为，则，，到平面的距离，三棱锥的体积．（3）平面平面，交线为，平面，平面，又，，，，，，两两垂直，以为原点，，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，，，直线与平面所成角的正弦值为．6．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的取值范围．【解答】解：（1）在中，，，，则，，，四边形为菱形，，平面平面，平面平面，平面，平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，，，，0，，当时，，，，，，，，，0，，，，异面直线与所成角的大小为．（2）平面的一个法向量，1，，设，，，由，，，，，得，，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，，，．7．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，其中，，，，，，点在棱上且，点为棱的中点．在棱上且，点位棱的中点．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值的大小．【解答】证明：（1）在中，由，得，同理在中，由，得，所以，即（亦可通过勾股定理来证明）在中，在，所以，即解：（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，，0，，，，，，，，设平面的法向量为则：不妨设，则设平面的法向量为则，不妨设，则记二面角为（应为钝角）故二面角的余弦值为．8．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．【解答】证明：（Ⅰ）几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，，又，平面，又平面，平面平面．解：（Ⅱ）以 为原点，、、的正方向为，，轴，建立空间直角坐标系设正四棱棱的高为，，则，0，，，2，，，0，，，，设平面的一个法向量，，，，2，，，0，，则，取，得，，，设平面的一个法向量，，，则，取，则，1，，二面角的余弦值，，解得．9．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【解答】证明：（1）由顶点在上投影为点，可知，．取的中点为，连结，．在中，，，所以．在中，，，所以．所以，，即．，，面．又面，所以面面．解：（2）由（Ⅰ）知，，，且所以  面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，，，，，，，，设平面，的法向量分别为，，则，即，取，得，，，，即，取，得，设二面角的平面角为．则．所以二面角的余弦值为．10．如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．求证：；若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：取中点为，连结，，，，．解：由及知，，又，以，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，1，，，，，，，，，，设平面的法向量为，，，平面的法向量为，，，则，取，，，，，设平面与平面所成锐二面角为，则．平面和平面所成锐二面角的余弦值为．11．在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为2的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（1）求证：平面；（2）求二面角．【解答】证明：（1）由题意知，，都是边长为2的等边三角形取中点，连接，，则，，（2分）又平面平面，平面，作平面，那么，根据题意，点落在上，和平面所成的角为，，，，（4分）四边形是平行四边形，，不包含于平面，平面，平面（6分）（2）以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，0，，，，，，，，，，，平面的一个法向量为，0，，设平面的一个法向量为，，，则，取，得，，，（9分），又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角的余弦值为．（12分）12．如图，在四面体中，已知，，（1）求证：；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：，，．，．取的中点，连结，，则，．又，平面，平面，平面，． （2）解：过作于点．则平面，又平面平面，平面平面，平面．过做于点，连接．平面，，又，平面，．为二面角的平面角．连接．，．，，，．，．，．，，二面角的余弦值为．13．三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且，．（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：连接，底面，，底面，，，且与底面所成的角为，即．在等边三角形中，易求得．在中，由余弦定理，得，，即．又，．，，，又，，平面，又平面，，又，平面．（2）如下图所示，以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则故由（1）可知，可得点的坐标为，平面的一个法向量是．设平面的法向量，，，由得，令，则，，则，，易知所求的二面角为钝二面角，二面角的平面角的余弦角值是．14．如图，将矩形沿折成二面角，其中为的中点，已知，．，为的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取的中点，连结，，则，，所以四边形是平行四边形，因此，（4分）又平面，所以平面．（6分）解：（2）取的中点，中点，连结，，，由，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以平面平面，（8分）又，所以平面，（9分）所以，又，所以平面，（10分）所以是与平面所成角，（12分）又，，所以，（14分）所以与平面所成角的正弦值．（15分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/4/3 11:04:25；用户：程长月；邮箱：hngsgz031@xyh.com；学号：25355879