新高考数学二轮专题《立体几何》第2讲 空间向量和空间直角坐标系（2份打包，解析版+原卷版）

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第2讲 空间向量和空间直角坐标系一．选择题（共8小题） 1．如图，在直三棱柱中，若，则　　A． B． C． D．【解答】解：直三棱柱中，，所以．故选：．2．空间四边形中，若向量，5，，，，点，分别为线段，的中点，则的坐标为　　A．，3， B．，， C．，， D．，2，【解答】解：点，分别为线段，的中点，，，．，，，，，，．故选：．3．已知直线的方向向量为，0，，点，2，在上，则点，，到的距离为　　A． B．4 C． D．【解答】解：根据题意，得；，3，，，0，，，，，；又，点，，到直线的距离为，．故选：．4．同时垂直于，2，，，5，的单位向量是　　A． B． C． D．或【解答】解：设同时垂直于，2，，，5，的单位向量为，，，则，即，解得或故，，，或，，，故选：．5．已知正四面体的棱长为1，点、分别是、中点，则　　A． B． C． D．【解答】解：点、分别是、中点故选：．6．如图所示，已知空间四边形，，且，则，的值为　　A． B．0 C． D．【解答】解：空间四边形中，，，，，，．故选：．7．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为　　A． B． C． D．【解答】解：如图，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，平面的一个法向量为，0，，当时，，此时角最大为．故选：．8．点为底边长为，高为2的正三棱柱表面上的动点，是该棱柱内切球的一条直径，则取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：由题意，问题等价于已知是边长为的正内切圆的一条直径，为边上的一动点，求的取值范围．建立如图所示的直角坐标系，是边长为的正内切圆，内切圆的半径．正内切圆的方程为．，将之转化成到内切球球心的距离求解，当位于底面中心时，位于顶角时根号5，所以的取值范围的取值范围是，．的取值范围的取值范围是，．故选：．二．填空题（共6小题）9．由空间向量基本定理可知，空间任意向量可由三个不共面的向量唯一确定地表示为，则称，，为基底下的广义坐标．特别地，当为单位正交基底时，，，为直角坐标．设分别为直角坐标中，，正方向上的单位向量，则空间直角坐标，2，在基底下的广义坐标为　　．【解答】解：根据平面向量基本定理，空间直角坐标，2，对应的向量为，由于，则空间直角坐标，2，在基底下的广义坐标为故答案为：．10．在四棱锥中，设向量，，，则顶点到底面的距离为　2　【解答】解：四棱锥中，向量，，，设底面的法向量，，，则，取，得，4，，顶点到底面的距离为：．顶点到底面的距离为2．故答案为：2．11．在空间直角坐标系中，若原点到平面的距离等于，则的值为　　．【解答】解：平面的法向量，，，原点到平面的距离等于，，解得．故答案为：．12．空间直角坐标系中，过点，，且一个法向量为的平面的方程为，过点，，且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为　　．【解答】解：联立，解得，可得直线与平面的交点，2，，平面的方程为，变为：，可得平面的法向量，，．直线是两个平面与的交线，可得直线的方程为：，可得直线的方向向量，1，．直线与平面所成角的正弦值．故答案为：．13．已知点是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的取值范围是　　．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．，0，，，0，，，1，，设，，，，，．，，，，，，．当，时，取得最小值．当点取，0，，，0，，，1，，，1，，取得最大值1．．故答案为：．14．将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为　　．【解答】解：由题意，翻折后，则由，，解得．故答案为：．三．解答题（共10小题）15．已知，，且、、不共面，若，求，的值．【解答】解：，且是非零向量，即．又向量，，不共面，解之得，16．已知向量，，，，1，，点，，，，，．（1）求：；（2）在直线上，是否存在一点，使得？为原点）【解答】解：（1），，，1，，，，；（2）假设存在点，，满足条件，则，且得，又，，，，，，，解得，在直线上，存在一点，，，使得17．三棱锥中、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，．【解答】解：由题意，；；．18．如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点．（1）求证：，；（2）求的长．【解答】（1）证明：如图所示，连接，，，．与是边长为的等边三角形，，，在中，，，，同理可得：．（2）解：由，，．19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和、的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长．【解答】解：是的中点，设，，，底面是边长为2的正方形，．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和、的夹角都是，，，，，，，，即的长为．20．如图：为矩形，平面，，，、分别是、中点，请选择适当的坐标系证明：平面．【解答】证明：根据题意，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示；则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，，；，，，，0，，，1，，，，，，即，，且，又平面，平面，平面．21．如图，平行四边形中，，，；将沿折起到的位置，使平面平面．（1）求证：；（2）若点为的中点，求直线与平面所成角正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：为平行四边形，且，，，由余弦定理，得，，，，将沿折起到的位置，使平面平面，，平面平面，平面，．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，，，故以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，平行四边形中，，，，，则，0，，，0，，点为的中点，，，，，，0，，，2，，，，，，0，，设平面的法向量，，，则，，，取，得，，，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角正弦值为．22．如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，，是的中点．（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求点到平面的距离；（3）若点是棱上一点，且，求的值．【解答】解：（1）以点为原点，，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，0，，故，1，，1，，，2，．，与所成的余弦值为（2）平面的单位法向量，，，点到平面的距离为（3）设，，，则，，，又，即，，，2，，，故，，，，，．23．如图（1），等腰中，，，以边上的中线为折痕，将沿折起，构成二面角，在平面内作，且，连，，，如图（2）所示．（1）求证：平面；（2）如果二面角为直二面角，求二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：在平面中，，，，平面，平面，平面．（2）解：，，是二面角的平面角，二面角为直二面角，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．24．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两夹角为．（1）求的长；（2）求与夹角的余弦值．【解答】解：设，，，则两两夹角为，且模均为1．（1）．，，即的长为．（2）．．，，，．与夹角的余弦值为．