新高考数学二轮专题《平面向量》第3讲 平面向量中的范围、 最值问题（2份打包，解析版+原卷版）

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第3讲 平面向量中的范围、 最值问题一．选择题（共17小题）1．如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于　　A． B． C． D．1【解析】解：以为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，设点，，则，，，，．所以，．由于点在内（包含边界），目标函数为，如图所示，当点为点时，取得最大值，其最大值为，故选：．2．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于　　A．13 B．15 C．19 D．21【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，，，，，，，，由基本不等式可得，，当且仅当即时取等号，的最大值为13，故选：．3．已知，，，，；若是所在平面内一点，且，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，，，，，，，，，，，当且仅当，即，，时，取等号，由可得，由可得，的最大值为13，最小值为．则的范围是，．故选：．4．已知，是平面内互不相等的两个非零向量，且，与的夹角为，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：如图所示，设，，则．由于，与的夹角为，可得中，，．由正弦定理可得：的外接圆的半径．则点为圆上的动点．由图可令，则．．故选：．5．设向量，的夹角定义： 若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为　　A．2 B． C． D．【解析】解：设，，则，，与的夹角为，中，，，由正弦定理可得：的半径为1，则点为圆上与不重合的动点，设，由正弦定理可得，，，则，当时，取得最大值，且为．故选：．6．已知平面内互不相等的非零向量，满足，与的夹角为，则的最大值为　　A．2 B． C． D．【解析】解：如图所示，设，．则．，与的夹角为，中，，．由正弦定理可得：的外接圆的半径．则点为圆上与点重合的动点．由图可令：，．，当时取等号．的最大值为．故选：．7．已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：由题意得：，，，由二次函数知，当上式取最小值时，，，，解得．的取值范围为．故选：．8．已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值．当时，夹角的取值范围为　　A． B．， C．， D．【解析】解：由题意可得，，，由二次函数知，当上式取最小值时，，由题意可得，求得，，故选：．9．设向量、满足：，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：向量、满足：，，的夹角是，．若与的夹角为钝角，则，且与不共线，即，且，即，且．求得，，即，，，故选：．10．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　A． B． C． D．【解析】解：点在直线上运动，存在实数使得，，，，．，当且仅当时，上式取得最小值，．故选：．11．已知的面积为1，为直角顶点，设向量，，，则的最大值为　　A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，，则，，，，，的面积为1，即有，则．当且仅当时，取得最大值1．故选：．12．已知向量，均为单位问量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为　　A． B．1 C． D．2【解析】解：由，向量，为单位向量，可得，的夹角为．设，，．由向量，向量，均为单位问量，，，．设，，．向量满足与的夹角为，．由等边三角形，点在外且为定值，可得的轨迹是两段圆弧，是所对的圆周角．可知：当时是弧所在圆（上述圆弧）的直径时，取得最大值，在中，由正弦定理可得：．，取得最大值取得最大值是2．故选：．13．已知平面向量，，，满足，．若，，则　　A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【解析】解：的最大值为故选：．14．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是　　A．1 B．2 C． D．【解析】解：由题意可得，可得，，，即为，，当，即，同向时，的最大值是．故选：．15．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是　　A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0【解析】解：，，，最大值为4，最小值为0．故选：．16．已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是　　A． B． C．， D．【解析】解：由是单位向量，且，则可设，，；向量满足，，，即，它表示圆心为，半径为的圆；又，，它表示圆上的点到点的距离，如图所示：且，；即的取值范围是，．故选：．17．设，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，则的最小值为　　A． B． C．1 D．4【解析】解：，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，，则，则，当且仅当时，取等号，故选：．二．填空题（共7小题）18．在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为　，　．【解析】解：由题意可得和的夹角为，设，，，，故当时，取得最小值为，当时，取得最大值为3，故的取值范围为，19．已知向量满足，与的夹角为，，则的最小值为　　．【解析】解：由向量，，与的夹角为，可设，，，，，由，得；化为，所以点在以为圆心，以1为半径的圆的上；且表示圆上的点到点的距离，如图所示：由图形知，的最小值为．故答案为：．20．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数的值是　　，向量的取值范围是　　．【解析】解：（1）设与的夹角为，则，，当，上式有最小值为，的最小值为，的最小值为3，，解得．又，，，此时．（2）由（1）可知，，与的夹角为，且，，，不妨设，，，，向量的取值范围是．故答案为：；．21．已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　且　．【解析】解：，，且与的夹角为锐角，，解得，但当，即时，两向量同向，应舍去，的取值范围为：且，故答案为：且．22．在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是　　．【解析】解：以和做平行四边形．则因为为的中点所以且反向，设，，其对称轴所以当时有最小值故答案为23．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于　　．【解析】解：，只考虑，则，当且仅当时取等号．则的最大值等于．故答案为：．24．已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量，，，若，则的最小值为　1　．【解析】解：．，．．当时，取得最小值1．的最小值为1．故答案为：1．三．解答题（共1小题）25．设两向量、满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为，，求实数的取值范围．【解析】解：两向量、满足，，、的夹角为，不妨设，，则，，．向量与向量的夹角为，，向量，化为，解得或．实数的取值范围是或．