新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第2讲 点差法（2份打包，解析版+原卷版）

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第2讲 点差法一．解答题（共9小题） 1．过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．【解答】解：设直线与椭圆的交点为，、，为的中点，又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是，即，故所求直线的方程为，即．2．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．【解答】解：椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，可得宗坐标为，可得中点．设椭圆标准方程为：．设直线与椭圆相交于点，，，．则，，相减可得：，又，，，，又，联立解得，．椭圆的标准方程为：．3．已知曲线，试确定的取值范围，使得对于直线，曲线上总有不同两点关于该直线对称．【解答】解：设椭圆上关于直线对称的点，，，，则根据对称性可知线段被直线垂直平分．可得直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点，在直线，故可设直线 的方程为，联立方程组，整理可得，，△，，，，代入，，，的范围就是，．4．已知椭圆过点，，且与椭圆有相同的焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆，可得，可得焦点．设椭圆的标准方程为，则，解得，．椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为：，，，，，线段的中点，．联立，化为：．△，化为：．，．，．，解得，代入．可得．实数的取值范围是．5．在中，是、的等差中项，且，．（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由题意，，顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去，，共线），且，，，顶点的轨迹的方程；（2）解：设关于直线对称的点为，，则的方程为，与椭圆方程联立，消去整理得：．即．由△，得．设，，，，则，，再设的中点为，，则，又在上，得，在上，得，即．则，得．6．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于、，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：设过点的直线方程为或（1）当存在时有得    （1）当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△，又方程（1）的两个不同的根是两交点、的横坐标又为线段的中点即，使但使△因此当时，方程（1）无实数解故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在．（2）当时，直线经过点但不满足条件，综上，符合条件的直线不存在7．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆的顶点为，，又，，，椭圆的方程为：．（2）当过点的直线斜率不存在时，显然不成立，设直线的斜率为，则其方程为：，联立方程组，消去并整理，得，△，整理，得，，，且点是线段的中点，，，故存在这样的直线，此时，直线方程为：，即，存在符合条件的直线，它的方程．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，点，在上（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为，证明：的斜率与直线的斜率的乘积为定值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由题意可得：，即，又点，在椭圆上，可得，解得：，，，的方程：；（5分）（Ⅱ）证明：设直线的方程为，，，，，（6分），整理得：，由韦达定理可知：，（8分）即有的中点的横坐标为，纵坐标为，（10分）直线的斜率为，即有，故的斜率与直线的斜率的乘积为定值．（12分）9．已知椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆两个不同的点，关于直线对称，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，椭圆过点，所以，解得，，，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知，可设直线的方程为．由消去得因为直线与椭圆有两个不同交点，所以①设，，，，由韦达定理知，，于是线段的中点坐标为，将其代入直线，解得②将②代入①，得，解得或．因此，所求实数的取值范围．