新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第24讲 直径问题（2份打包，解析版+原卷版）

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第24讲 直径问题1．如图，，为椭圆长轴的左、右端点，为坐标原点，，，为椭圆上不同于，的三点，直线，，，围成一个平行四边形，求. 2．已知椭圆，为坐标原点，，是椭圆上两点，，的斜率存在并分别记为、，且，求的最小值. 3．已知椭圆的离心率是，是坐标原点，点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别是，．（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，，，且的面积是，求椭圆的标准方程．4．如图，已知椭圆的离心率为，且过点，，为椭圆上一点，过坐标原点作圆的两条切线分别交椭圆于点，，直线，的斜率存在且不为零，分别记为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值；（Ⅲ）请问的面积是否为定值？若是，请求出定值并证明；若不是，请说明理由．5．在平面直角坐标系中，已知椭圆，其焦点到相应准线的距离为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图所示，是椭圆上两点，且的面积，设射线，的斜率分别为，①求的值；②延长到，使得，且交椭圆于，求证：为定值．6．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，过椭圆右焦点且垂直于轴的一条直线交椭圆于，两点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知两点，设，，是椭圆上的三点，满足，点为线段的中点，求的值．7．已知椭圆的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为4．求椭圆的方程；如图，椭圆内切于四条直线，所围成的矩形，、是矩形的两个顶点．（1）设是椭圆上任意一点，且，求证：动点在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若、是椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积等于直线、的斜率之积，试探求的面积是否为定值，并说明理由．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，，若，，成等比数列，推断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．9．已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，，使得动点满足，若存在，求出的值和定点，；若不存在，请说明理由．10．已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意，求证：．11．设F1,F2分别为椭圆C(1)若椭圆C上的点(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试写出双曲