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河北省保定市清苑区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)
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这是一份河北省保定市清苑区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省保定市清苑区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列角度不是多边形内角和的是（ ）
A．180° B．360° C．480° D．540°
3．（3分）比较7a与4a的大小关系是（ ）
A．7a＜4a B．7a＝4a C．7a＞4a D．不能确定
4．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤1的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
5．（3分）用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab）
B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y）
C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c）
D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x）
6．（3分）下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（ ）
计算：
解：原式＝①
＝②
＝③
＝4④
A．①：同分母分式的加减法法则
B．②：合并同类项法则
C．③：提公因式法
D．④：等式的基本性质
7．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．3
8．（3分）如图，将三角尺ABC的一边AC沿位置固定的直尺推移得到△DEF，下列结论不一定正确的是（ ）
A．DE∥AB
B．四边形ABED是平行四边形
C．AD∥BE
D．AD＝AB
9．（3分）若分式“”可以进行约分化简，则“〇”不可以是（ ）
A．1 B．x C．﹣x D．4
10．（3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式1．规则是：每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁
11．（2分）有一道题：“甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若▄，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是（ ）
A．甲队每天修路比乙队2倍还多30m
B．甲队每天修路比乙队2倍还少30m
C．乙队每天修路比甲队2倍还多30m
D．乙队每天修路比甲队2倍还少30m
12．（2分）利用一次函数y＝ax+b的图象解关于x的不等式ax+b＜0，若它的解集是x＞﹣2，则一次函数y＝ax+b的图象为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2分）下面是小林同学证明三角形中位线定理的过程：
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：，DE∥BC．
证明：在△ABC中，延长DE到点F，使得EF＝①，连接CF；
又∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（②），
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴③，
又∵AD＝BD，∴CF＝BD，
∴四边形BCFD是④，
∴DE∥BC，．
则回答错误的是（ ）
A．①中填DE B．②中填SAS
C．③中填DF∥BC D．④中填平行四边形
14．（2分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.75
16．（2分）如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF．则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝23，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分.）
17．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 ．
18．（3分）已知x为整数，且﹣+为正整数，则整数x＝ ．
19．（4分）定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正n边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为 ；
（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为 ．（用含a的代数式表示）
三、解答题（本大题有7个小题，共68分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
20．（20分）（1）因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2；
（2）计算：（）•；
（3）解不等式组：；
（4）解方程：．
21．（8分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．求证：AE与DF互相平分．
22．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD＝AE＝2，∠A＝60°，求四边形EBFD的周长和面积．
23．（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝
42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明28是否为“神秘数”；
（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．
①小能发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．
②小仁发现：2016是“神秘数”．
24．（8分）阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1： ）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2： ）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
25．（8分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
26．（8分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
2021-2022学年河北省保定市清苑区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列角度不是多边形内角和的是（ ）
A．180° B．360° C．480° D．540°
【分析】根据多边形的内角和公式，多边形的内角和除以180所得结果应该是：大于或等于1的正整数，据此即可判断．
【解答】解：A、180°是三角形的内角和，故选项不符合题意；
B、360°是四边形的内角和，故选项不符合题意；
C、480÷180＝，则不是多边形的内角和，故选项符合题意；
D、540÷180＝3，则是多边形的内角和，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
3．（3分）比较7a与4a的大小关系是（ ）
A．7a＜4a B．7a＝4a C．7a＞4a D．不能确定
【分析】利用作差法比较大小，分三种情况讨论即可得出答案．
【解答】解：7a﹣4a＝3a，
当a＝0时，3a＝0，
∴7a＝4a；
当a＞0时，3a＞0，
∴7a＞4a；
当a＜0时，3a＜0，
∴7a＜4a；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小，考查分类讨论，利用作差法比较大小是解题的关键．
4．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤1的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】首先解不等式2x﹣a≤1可得x≤，根据数轴可得x≤﹣1，进而得到＝﹣1，再解方程即可．
【解答】解：2x﹣a≤1，
2x≤a+1，
x≤，
∵x≤﹣1，
∴＝﹣1，
解得：a＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，关键是正确解出不等式的解集．
5．（3分）用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab）
B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y）
C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c）
D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x）
【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【解答】解：A、12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3abc），故本选项错误；
B、3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2），故本选项错误；
C、﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c），正确；
D、x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x﹣1），故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．
6．（3分）下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（ ）
计算：
解：原式＝①
＝②
＝③
＝4④
A．①：同分母分式的加减法法则
B．②：合并同类项法则
C．③：提公因式法
D．④：等式的基本性质
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：A、①：同分母分式的加减法法则，正确，故A不符合题意；
B、②：合并同类项法则，正确，故B不符合题意；
C、③：提公因式法，正确，故C不符合题意；
D、④：分式的基本性质，故错误，故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
7．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．3
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣5＝0，所以增根是x＝5，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣5），得
2﹣x+m＝0
∵由最简公分母x﹣5＝0，可知增根是x＝5，
把x＝5代入整式方程，得
2﹣5+m＝0，
∴m＝3．故选：D．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（3分）如图，将三角尺ABC的一边AC沿位置固定的直尺推移得到△DEF，下列结论不一定正确的是（ ）
A．DE∥AB
B．四边形ABED是平行四边形
C．AD∥BE
D．AD＝AB
【分析】由平移性质可得AD∥BE，且AD＝BE，即可知四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形性质可得DE∥AB，从而可得答案．
【解答】解：由平移性质可得AD∥BE，且AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE∥AB，故A、B、C均正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平移的性质得出四边形是平行四边形是解题的关键．
9．（3分）若分式“”可以进行约分化简，则“〇”不可以是（ ）
A．1 B．x C．﹣x D．4
【分析】分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可．
【解答】解：∵分式“”可以进行约分化简，
∴“〇”可以是1，则A不符合题意；
“〇”可以是x，则B不符合题意；
“〇”不可以是﹣x，则C符合题意；
“〇”可以是4，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是明确分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式．
10．（3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式1．规则是：每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁
【分析】根据题目中的解答过程，可以分别进行解答，从而可以得到谁负责的自己的一步出现错误，本题得以解决．
【解答】解：1，
3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，故甲错误；
3（1+x）﹣2（2x+1）≤3，
3+3x﹣4x﹣2≤3，故乙错误；
3+3x﹣4x+2≤3，
﹣x≤﹣2，故丙正确；
﹣x≤﹣2，
x≥2，故丁错误；
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解不等式利用不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
11．（2分）有一道题：“甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若▄，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是（ ）
A．甲队每天修路比乙队2倍还多30m
B．甲队每天修路比乙队2倍还少30m
C．乙队每天修路比甲队2倍还多30m
D．乙队每天修路比甲队2倍还少30m
【分析】根据图中的方程，可以写出被遮住的条件，本题得以解决．
【解答】解：由图表可得方程：，
故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队2倍还少30m，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮住的条件．
12．（2分）利用一次函数y＝ax+b的图象解关于x的不等式ax+b＜0，若它的解集是x＞﹣2，则一次函数y＝ax+b的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式ax+b＜0的解集是x＞﹣2即可得出结论．
【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集是x＞﹣2，
∴当x＞﹣2时，函数y＝ax+b的图象在x轴下方．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象与一元一次不等式解集的关系是解答此题的关键．
13．（2分）下面是小林同学证明三角形中位线定理的过程：
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：，DE∥BC．
证明：在△ABC中，延长DE到点F，使得EF＝①，连接CF；
又∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（②），
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴③，
又∵AD＝BD，∴CF＝BD，
∴四边形BCFD是④，
∴DE∥BC，．
则回答错误的是（ ）
A．①中填DE B．②中填SAS
C．③中填DF∥BC D．④中填平行四边形
【分析】延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF，由“SAS”可证△ADE≌△CFE，可得∠A＝∠ECF，AD＝CF，可证四边形BCFD是平行四边形，可得结论．
【解答】证明：如图，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴CF∥AB，
又∵AD＝BD，
∴CF＝BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．（2分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和求出∠BFC＝66°，根据∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到结论．
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.75
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE长度取最小值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝1.5，
∴ED＝2OD＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
16．（2分）如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF．则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝23，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①证△AEB≌△ADC（SAS），得BE＝CD，故①正确；再由平角的定义和三角形内角和定理得∠BDE＝∠CAD，故②正确；由∠EBC+∠ACB＝180°，得EB∥GC．则四边形BCGE是平行四边形．故③正确；证出BD＝2CD，得S△ACD＝S△ABC＝3，再证AF＝2BF，得S△AEF＝S△AEB＝S△ACD＝2，故④错误．即可求解．
【解答】解：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，故①正确；
∵∠BDE+∠ADE+∠ADC＝180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°，∠ADE＝∠ACD＝60°，
∴∠BDE＝∠CAD，故②正确；
由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ACB＝60°．
又∵∠ABC＝∠C＝60°，∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠ACB＝180°，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形，故③正确；
∵AC＝BC＝6，CD＝2，
∴BD＝4＝2CD，
∴S△ACD＝S△ABC＝62＝3，
∵EG∥BC，
∴∠BFE＝∠ABC＝60°＝∠ABE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF＝BE，
∴BF＝CD＝2，
∴AF＝4＝2BF，
∴S△AEF＝S△AEB＝S△ACD＝2，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AEB≌△ADC是解题的关键．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分.）
17．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 90° ．
【分析】由△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．
【解答】解：如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴OB＝OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD＝90°，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
【点评】此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
18．（3分）已知x为整数，且﹣+为正整数，则整数x＝ 4或5 ．
【分析】先通分，再进行同分母分式的加减运算得到原式＝，约分得到原式＝，由于x为整数，且为正整数，根据整数的整除性得到x﹣3＝1或x﹣3＝2，然后解一次方程即可．
【解答】解：﹣+＝﹣+
＝
＝，
∵x为整数，﹣+为正整数，
∴x为整数，且为正整数，
∴x﹣3＝1或x﹣3＝2，
∴x＝4或x＝5．
故答案为4或5．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
19．（4分）定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正n边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为 6 ；
（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为 27a ．（用含a的代数式表示）
【分析】根据正多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，可求出正多边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
【解答】解：（1）正六边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
所以正六边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为6；
（2）若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为360°﹣60°＝300°，
所以正n边形的一个内角是150°，
所以（n﹣2）×180＝150n，
解得n＝12，
所以边长为a的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为27a．
故答案为：6；27a．
【点评】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．
三、解答题（本大题有7个小题，共68分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
20．（20分）（1）因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2；
（2）计算：（）•；
（3）解不等式组：；
（4）解方程：．
【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简即可求出答案；
（3）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大”即可得出不等式组的解集；
（4）根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）2
＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝（3x+3y）（x﹣y）
＝3（x+y）（x﹣y）；
（2）（）•
＝•
＝
＝
＝2x+8；
（3），
由①得：x＞﹣4，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集是：x＞1；
（4）解方程：，
去分母，方程两边同时乘以x﹣4，得：
3﹣x﹣1＝x﹣4，
∴x＝3，
经检验：x＝3是原分式方程的解．
【点评】本题主要考查了分解因式，分式的混合运算，解一元一次不等式组以及解分式方程，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．求证：AE与DF互相平分．
【分析】由三角形中位线定理得DE∥AC，EF∥AB，再证四边形ADEF为平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵D、E、F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AE与DF互相平分．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线的定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD＝AE＝2，∠A＝60°，求四边形EBFD的周长和面积．
【分析】（1）在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE＝CF，因此四边形EBFD是平行四边形；
（2）由AD＝AE＝2，∠A＝60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB＝BF＝FD＝DE＝2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2＝8．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD．
∴BE＝DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
（2）解：∵AD＝AE，∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE＝AD＝2，
由（1）知四边形EBFD是平行四边形，
∵BE＝AE＝2，
∴四边形EBFD的周长＝2（BE+DE）＝8．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
23．（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝
42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明28是否为“神秘数”；
（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．
①小能发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．
②小仁发现：2016是“神秘数”．
【分析】（1）根据题意，可以写出28是否可以表示为两个连续的偶数的平方之差，从而可以解答本题；
（2）选择其中的一个，先判断，然后说明理由即可．
【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，
∴28是神秘数；
（2）当选择①时，两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数是真命题，
理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2
＝4k2+8k+4﹣4k2
＝8k+4，
k取非负整数，
∴8k+4一定能被4整除，
∴两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数；
当选择②时，2016是“神秘数”是假命题，
理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2
＝4k2+8k+4﹣4k2
＝8k+4，
令8k+4＝2016，得k＝251.5，
∵k为非负整数，
∴k＝251.5不符合实际，舍去，
∴2016是“神秘数”错误．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
24．（8分）阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1： 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2： 两点确定一条直线 ）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可．
（2）作点C，D关于AB的对称点C′，D′，连接AC′，BC′，AD′，BD′即可．
【解答】解：（1）连接AC，CB，AD，DB．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∴直线就是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）．
故答案为：线段的垂直平分线的性质，两点确定一条直线．
（2）如图所示：
【点评】本题考查利用旋转设计图案，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（8分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【分析】（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合n≥10且m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，
依题意，得：×＝，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝180．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，
依题意，得：15000m+12000n＝100000+140000，
∴m＝16﹣n．
又∵n≥10，且m，n均为正整数，
∴，，
∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
26．（8分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ DE ，BC＝ AE ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）①作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，证明△ABF≌△DAM，根据全等三角形的性质得到EN＝DM，再证明△DMG≌△ENG，根据全等三角形的性质证明结论；
②过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，仿照①的证明过程解答．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SAS）
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE；AE；
（2）①如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，
∵BC⊥AF，
∴∠BFA＝∠AMD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°，
∴∠B＝∠2，
在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD，
，
∴△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理，AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，即点G是DE的中点；
②如图3，△ABO和△AB′O是以OA为斜边的等腰直角三角形，
过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE＝OC，OE＝CD，
由①可知，△ADB≌△BCO，
∴AD＝BC，BD＝OC，
∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2，
∴BC+BC+2＝4，
解得，BC＝1，OC＝3，
∴点B的坐标为（3，1），
同理，点B′的坐标为（﹣1，3），
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（3，1）或（﹣1，3）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2021-2022学年河北省保定市清苑区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列角度不是多边形内角和的是（ ）
A．180° B．360° C．480° D．540°
3．（3分）比较7a与4a的大小关系是（ ）
A．7a＜4a B．7a＝4a C．7a＞4a D．不能确定
4．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤1的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
5．（3分）用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab）
B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y）
C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c）
D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x）
6．（3分）下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（ ）
计算：
解：原式＝①
＝②
＝③
＝4④
A．①：同分母分式的加减法法则
B．②：合并同类项法则
C．③：提公因式法
D．④：等式的基本性质
7．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．3
8．（3分）如图，将三角尺ABC的一边AC沿位置固定的直尺推移得到△DEF，下列结论不一定正确的是（ ）
A．DE∥AB
B．四边形ABED是平行四边形
C．AD∥BE
D．AD＝AB
9．（3分）若分式“”可以进行约分化简，则“〇”不可以是（ ）
A．1 B．x C．﹣x D．4
10．（3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式1．规则是：每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁
11．（2分）有一道题：“甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若▄，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是（ ）
A．甲队每天修路比乙队2倍还多30m
B．甲队每天修路比乙队2倍还少30m
C．乙队每天修路比甲队2倍还多30m
D．乙队每天修路比甲队2倍还少30m
12．（2分）利用一次函数y＝ax+b的图象解关于x的不等式ax+b＜0，若它的解集是x＞﹣2，则一次函数y＝ax+b的图象为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2分）下面是小林同学证明三角形中位线定理的过程：
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：，DE∥BC．
证明：在△ABC中，延长DE到点F，使得EF＝①，连接CF；
又∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（②），
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴③，
又∵AD＝BD，∴CF＝BD，
∴四边形BCFD是④，
∴DE∥BC，．
则回答错误的是（ ）
A．①中填DE B．②中填SAS
C．③中填DF∥BC D．④中填平行四边形
14．（2分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.75
16．（2分）如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF．则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝23，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分.）
17．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 ．
18．（3分）已知x为整数，且﹣+为正整数，则整数x＝ ．
19．（4分）定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正n边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为 ；
（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为 ．（用含a的代数式表示）
三、解答题（本大题有7个小题，共68分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
20．（20分）（1）因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2；
（2）计算：（）•；
（3）解不等式组：；
（4）解方程：．
21．（8分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．求证：AE与DF互相平分．
22．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD＝AE＝2，∠A＝60°，求四边形EBFD的周长和面积．
23．（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝
42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明28是否为“神秘数”；
（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．
①小能发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．
②小仁发现：2016是“神秘数”．
24．（8分）阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1： ）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2： ）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
25．（8分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
26．（8分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
2021-2022学年河北省保定市清苑区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列角度不是多边形内角和的是（ ）
A．180° B．360° C．480° D．540°
【分析】根据多边形的内角和公式，多边形的内角和除以180所得结果应该是：大于或等于1的正整数，据此即可判断．
【解答】解：A、180°是三角形的内角和，故选项不符合题意；
B、360°是四边形的内角和，故选项不符合题意；
C、480÷180＝，则不是多边形的内角和，故选项符合题意；
D、540÷180＝3，则是多边形的内角和，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
3．（3分）比较7a与4a的大小关系是（ ）
A．7a＜4a B．7a＝4a C．7a＞4a D．不能确定
【分析】利用作差法比较大小，分三种情况讨论即可得出答案．
【解答】解：7a﹣4a＝3a，
当a＝0时，3a＝0，
∴7a＝4a；
当a＞0时，3a＞0，
∴7a＞4a；
当a＜0时，3a＜0，
∴7a＜4a；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小，考查分类讨论，利用作差法比较大小是解题的关键．
4．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤1的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】首先解不等式2x﹣a≤1可得x≤，根据数轴可得x≤﹣1，进而得到＝﹣1，再解方程即可．
【解答】解：2x﹣a≤1，
2x≤a+1，
x≤，
∵x≤﹣1，
∴＝﹣1，
解得：a＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，关键是正确解出不等式的解集．
5．（3分）用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab）
B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y）
C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c）
D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x）
【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【解答】解：A、12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3abc），故本选项错误；
B、3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2），故本选项错误；
C、﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c），正确；
D、x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x﹣1），故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．
6．（3分）下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（ ）
计算：
解：原式＝①
＝②
＝③
＝4④
A．①：同分母分式的加减法法则
B．②：合并同类项法则
C．③：提公因式法
D．④：等式的基本性质
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：A、①：同分母分式的加减法法则，正确，故A不符合题意；
B、②：合并同类项法则，正确，故B不符合题意；
C、③：提公因式法，正确，故C不符合题意；
D、④：分式的基本性质，故错误，故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
7．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．3
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣5＝0，所以增根是x＝5，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣5），得
2﹣x+m＝0
∵由最简公分母x﹣5＝0，可知增根是x＝5，
把x＝5代入整式方程，得
2﹣5+m＝0，
∴m＝3．故选：D．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（3分）如图，将三角尺ABC的一边AC沿位置固定的直尺推移得到△DEF，下列结论不一定正确的是（ ）
A．DE∥AB
B．四边形ABED是平行四边形
C．AD∥BE
D．AD＝AB
【分析】由平移性质可得AD∥BE，且AD＝BE，即可知四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形性质可得DE∥AB，从而可得答案．
【解答】解：由平移性质可得AD∥BE，且AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE∥AB，故A、B、C均正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平移的性质得出四边形是平行四边形是解题的关键．
9．（3分）若分式“”可以进行约分化简，则“〇”不可以是（ ）
A．1 B．x C．﹣x D．4
【分析】分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可．
【解答】解：∵分式“”可以进行约分化简，
∴“〇”可以是1，则A不符合题意；
“〇”可以是x，则B不符合题意；
“〇”不可以是﹣x，则C符合题意；
“〇”可以是4，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是明确分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式．
10．（3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式1．规则是：每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁
【分析】根据题目中的解答过程，可以分别进行解答，从而可以得到谁负责的自己的一步出现错误，本题得以解决．
【解答】解：1，
3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，故甲错误；
3（1+x）﹣2（2x+1）≤3，
3+3x﹣4x﹣2≤3，故乙错误；
3+3x﹣4x+2≤3，
﹣x≤﹣2，故丙正确；
﹣x≤﹣2，
x≥2，故丁错误；
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解不等式利用不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
11．（2分）有一道题：“甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若▄，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是（ ）
A．甲队每天修路比乙队2倍还多30m
B．甲队每天修路比乙队2倍还少30m
C．乙队每天修路比甲队2倍还多30m
D．乙队每天修路比甲队2倍还少30m
【分析】根据图中的方程，可以写出被遮住的条件，本题得以解决．
【解答】解：由图表可得方程：，
故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队2倍还少30m，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮住的条件．
12．（2分）利用一次函数y＝ax+b的图象解关于x的不等式ax+b＜0，若它的解集是x＞﹣2，则一次函数y＝ax+b的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式ax+b＜0的解集是x＞﹣2即可得出结论．
【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集是x＞﹣2，
∴当x＞﹣2时，函数y＝ax+b的图象在x轴下方．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象与一元一次不等式解集的关系是解答此题的关键．
13．（2分）下面是小林同学证明三角形中位线定理的过程：
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：，DE∥BC．
证明：在△ABC中，延长DE到点F，使得EF＝①，连接CF；
又∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（②），
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴③，
又∵AD＝BD，∴CF＝BD，
∴四边形BCFD是④，
∴DE∥BC，．
则回答错误的是（ ）
A．①中填DE B．②中填SAS
C．③中填DF∥BC D．④中填平行四边形
【分析】延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF，由“SAS”可证△ADE≌△CFE，可得∠A＝∠ECF，AD＝CF，可证四边形BCFD是平行四边形，可得结论．
【解答】证明：如图，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴CF∥AB，
又∵AD＝BD，
∴CF＝BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．（2分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和求出∠BFC＝66°，根据∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到结论．
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.75
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE长度取最小值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝1.5，
∴ED＝2OD＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
16．（2分）如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF．则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝23，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①证△AEB≌△ADC（SAS），得BE＝CD，故①正确；再由平角的定义和三角形内角和定理得∠BDE＝∠CAD，故②正确；由∠EBC+∠ACB＝180°，得EB∥GC．则四边形BCGE是平行四边形．故③正确；证出BD＝2CD，得S△ACD＝S△ABC＝3，再证AF＝2BF，得S△AEF＝S△AEB＝S△ACD＝2，故④错误．即可求解．
【解答】解：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，故①正确；
∵∠BDE+∠ADE+∠ADC＝180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°，∠ADE＝∠ACD＝60°，
∴∠BDE＝∠CAD，故②正确；
由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ACB＝60°．
又∵∠ABC＝∠C＝60°，∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠ACB＝180°，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形，故③正确；
∵AC＝BC＝6，CD＝2，
∴BD＝4＝2CD，
∴S△ACD＝S△ABC＝62＝3，
∵EG∥BC，
∴∠BFE＝∠ABC＝60°＝∠ABE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF＝BE，
∴BF＝CD＝2，
∴AF＝4＝2BF，
∴S△AEF＝S△AEB＝S△ACD＝2，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AEB≌△ADC是解题的关键．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分.）
17．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 90° ．
【分析】由△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．
【解答】解：如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴OB＝OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD＝90°，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
【点评】此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
18．（3分）已知x为整数，且﹣+为正整数，则整数x＝ 4或5 ．
【分析】先通分，再进行同分母分式的加减运算得到原式＝，约分得到原式＝，由于x为整数，且为正整数，根据整数的整除性得到x﹣3＝1或x﹣3＝2，然后解一次方程即可．
【解答】解：﹣+＝﹣+
＝
＝，
∵x为整数，﹣+为正整数，
∴x为整数，且为正整数，
∴x﹣3＝1或x﹣3＝2，
∴x＝4或x＝5．
故答案为4或5．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
19．（4分）定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正n边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为 6 ；
（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为 27a ．（用含a的代数式表示）
【分析】根据正多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，可求出正多边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
【解答】解：（1）正六边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
所以正六边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为6；
（2）若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为360°﹣60°＝300°，
所以正n边形的一个内角是150°，
所以（n﹣2）×180＝150n，
解得n＝12，
所以边长为a的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为27a．
故答案为：6；27a．
【点评】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．
三、解答题（本大题有7个小题，共68分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
20．（20分）（1）因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2；
（2）计算：（）•；
（3）解不等式组：；
（4）解方程：．
【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简即可求出答案；
（3）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大”即可得出不等式组的解集；
（4）根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）2
＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝（3x+3y）（x﹣y）
＝3（x+y）（x﹣y）；
（2）（）•
＝•
＝
＝
＝2x+8；
（3），
由①得：x＞﹣4，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集是：x＞1；
（4）解方程：，
去分母，方程两边同时乘以x﹣4，得：
3﹣x﹣1＝x﹣4，
∴x＝3，
经检验：x＝3是原分式方程的解．
【点评】本题主要考查了分解因式，分式的混合运算，解一元一次不等式组以及解分式方程，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．求证：AE与DF互相平分．
【分析】由三角形中位线定理得DE∥AC，EF∥AB，再证四边形ADEF为平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵D、E、F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AE与DF互相平分．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线的定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD＝AE＝2，∠A＝60°，求四边形EBFD的周长和面积．
【分析】（1）在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE＝CF，因此四边形EBFD是平行四边形；
（2）由AD＝AE＝2，∠A＝60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB＝BF＝FD＝DE＝2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2＝8．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD．
∴BE＝DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
（2）解：∵AD＝AE，∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE＝AD＝2，
由（1）知四边形EBFD是平行四边形，
∵BE＝AE＝2，
∴四边形EBFD的周长＝2（BE+DE）＝8．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
23．（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝
42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明28是否为“神秘数”；
（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．
①小能发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．
②小仁发现：2016是“神秘数”．
【分析】（1）根据题意，可以写出28是否可以表示为两个连续的偶数的平方之差，从而可以解答本题；
（2）选择其中的一个，先判断，然后说明理由即可．
【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，
∴28是神秘数；
（2）当选择①时，两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数是真命题，
理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2
＝4k2+8k+4﹣4k2
＝8k+4，
k取非负整数，
∴8k+4一定能被4整除，
∴两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数；
当选择②时，2016是“神秘数”是假命题，
理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2
＝4k2+8k+4﹣4k2
＝8k+4，
令8k+4＝2016，得k＝251.5，
∵k为非负整数，
∴k＝251.5不符合实际，舍去，
∴2016是“神秘数”错误．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
24．（8分）阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1： 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2： 两点确定一条直线 ）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可．
（2）作点C，D关于AB的对称点C′，D′，连接AC′，BC′，AD′，BD′即可．
【解答】解：（1）连接AC，CB，AD，DB．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∴直线就是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）．
故答案为：线段的垂直平分线的性质，两点确定一条直线．
（2）如图所示：
【点评】本题考查利用旋转设计图案，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（8分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【分析】（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合n≥10且m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，
依题意，得：×＝，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝180．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，
依题意，得：15000m+12000n＝100000+140000，
∴m＝16﹣n．
又∵n≥10，且m，n均为正整数，
∴，，
∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
26．（8分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ DE ，BC＝ AE ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）①作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，证明△ABF≌△DAM，根据全等三角形的性质得到EN＝DM，再证明△DMG≌△ENG，根据全等三角形的性质证明结论；
②过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，仿照①的证明过程解答．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SAS）
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE；AE；
（2）①如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，
∵BC⊥AF，
∴∠BFA＝∠AMD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°，
∴∠B＝∠2，
在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD，
，
∴△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理，AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，即点G是DE的中点；
②如图3，△ABO和△AB′O是以OA为斜边的等腰直角三角形，
过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE＝OC，OE＝CD，
由①可知，△ADB≌△BCO，
∴AD＝BC，BD＝OC，
∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2，
∴BC+BC+2＝4，
解得，BC＝1，OC＝3，
∴点B的坐标为（3，1），
同理，点B′的坐标为（﹣1，3），
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（3，1）或（﹣1，3）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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