浙江省绍兴市越城区2021-2022学年八年级下学期期末检测数学试题(word版含答案)

这是一份浙江省绍兴市越城区2021-2022学年八年级下学期期末检测数学试题(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省绍兴市越城区2021-2022学年八年级下学期期末检测
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）化简的结果是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．10
2．（3分）平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，那么∠B的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
3．（3分）已知x＝﹣1是方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
4．（3分）“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给某位选手打出“原始分”．按照比赛规则，评定该选手成绩采用是“有效分”，即从7个“原始分”中去掉一个最高分和一个最低分，得到5个数据为“有效分”．那么5个“有效分”与7个“原始分”这两组数据相比，相等的一个量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
5．（3分）对函数y＝的描述错误的是（　　）
A．图象过点（1，1） B．图象在第一、三象限
C．当0＜x＜1时，y＞1 D．y随x的增大而减小
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于点E，则AE的长为（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（　　）
A．3 B．5 C．15 D．25
8．（3分）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
9．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为（　　）

A．2.5 B．3 C．5 D．6
10．（3分）已知某四边形的两条对角线相交于点O．动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C．设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）根式中字母x的取值范围是 　 　．
12．（3分）如果一个八边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于　 　度．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么这个两个相等的实数根为　 　．
14．（3分）由5个整数组成的一组数据，中位数为4，将它们从小到大排列，如果排列后这组数据的众数是6，那么这5个整数的和最大是 　 　．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝30°，连结AC，按以下步骤作图：分别以点C，B为圆心，以BC的长为半径作弧，两弧相交于点P，连结BP与CP，则∠ACP的度数为 　 　．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 　 　．

三、解答题（本大题共52分）
17．（6分）（1）计算：（3﹣）﹣+|﹣2|；
（2）解方程：x2﹣4x＝2．
18．（6分）如图均是由边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、Q、R均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法．
（1）如图1，以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN，且M、N在格点上；
（2）如图2，画△PQR边RQ上的高线PH，点H是垂足．


19．（6分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为多少件？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
20．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若OE＝，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．

21．（8分）甲乙两人在相同的条件下各射击10次，每次射击的成绩情况如图所示．（方差的计算公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+……+（xn﹣）2]．）

（1）请你填写甲的相关数据：

平均数
众数
方差
甲



（2）如果甲第11次射击的成绩是8环，则甲得分中的三个统计量，即平均数、众数、方差发生哪些变化？
（3）根据甲、乙10次射击的成绩，如果教练选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？如果教练选择乙参加射击比赛，教练的理由又是什么？
22．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．

（1）如图1，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．

23．（12分）已知点A（3，2）、点B（m，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点C是x轴上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）若m＝1，C（﹣1，0），试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点C在x轴正半轴上，当△ABC为等腰直角三角形时，求出点C的坐标．



浙江省绍兴市越城区2021-2022学年八年级下学期期末检测
数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）化简的结果是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．10
【分析】根据二次根式的积的算术平方根的性质计算即可．
【解答】解：＝＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
2．（3分）平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，那么∠B的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，即可求∠B的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，且∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°，
∴∠B＝110°，
故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握“平行四边形的对角相等”是本题的关键．
3．（3分）已知x＝﹣1是方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【分析】把x＝﹣1代入方程得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x＝﹣1是方程x2+ax+2＝0的一个根，
∴1﹣a+2＝0，
∴a＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
4．（3分）“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给某位选手打出“原始分”．按照比赛规则，评定该选手成绩采用是“有效分”，即从7个“原始分”中去掉一个最高分和一个最低分，得到5个数据为“有效分”．那么5个“有效分”与7个“原始分”这两组数据相比，相等的一个量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、极差、方差的意义即可求解．
【解答】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．
故选：A．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．平均数、极差、方差与每一个数据都有关系，都会受极端值的影响，而中位数仅与数据的排列位置有关，代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响．
5．（3分）对函数y＝的描述错误的是（　　）
A．图象过点（1，1） B．图象在第一、三象限
C．当0＜x＜1时，y＞1 D．y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质即可判断．
【解答】解：A、当x＝1时，y＝1，即该函数图象经过点（1，1）；
故本选项正确，不合题意；
B、∵反比例函数y＝中的k＝1＞0，
∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限；
故本选项正确，不合题意；
C、∵反比例函数y＝中的k＝1＞0，
∴反比例函数y＝的图象在每一支上，y随x的增大而减小，
∴当0＜x＜1时，y＞1，
故本选项正确，不合题意；
D、∵反比例函数y＝中的k＝1＞0，
∴反比例函数y＝的图象在每一支上，y随x的增大而减小，
故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝（k≠0），当k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小，当k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一支上，y随x的增大而增大．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于点E，则AE的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出AC＝6，再由菱形的面积求出AE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
在Rt△OBC中，OC＝＝＝3，
∴AC＝2OC＝6，
∵菱形ABCD的面积＝AE×BC＝BD×AC＝OB×AC，
∴AE＝，
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
7．（3分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（　　）
A．3 B．5 C．15 D．25
【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
【解答】解：∵＝3，若是整数，则也是整数；
∴n的最小正整数值是15；
故选：C．
【点评】解答此题的关键是能够正确的对进行开方化简．
8．（3分）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．
【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，

由折叠可知CA＝AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又△ABC和△BCD关于直线BC对称，
∴四边形BACD是菱形，
故选：D．
【点评】本题主要考查折叠的性质及学生动手操作能力：逆向思维也是常用的一种数学思维方式．
9．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为（　　）

A．2.5 B．3 C．5 D．6
【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y＝b代入y＝得，b＝，则x＝，即A的横坐标是；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB＝﹣（﹣）＝．
则S▱ABCD＝×b＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．
10．（3分）已知某四边形的两条对角线相交于点O．动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C．设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】通过点P经过四边形各个顶点，观察图象的对称趋势问题可解．
【解答】解：C、D选项A→B→C路线都关于对角线BD对称，因而函数图象应具有对称性，故C、D错误，对于选项B点P从A到B过程中OP的长也存在对称性，则图象前半段也应该具有对称特征，故B错误．
故选：A．
【点评】本题动点问题的函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断．解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）根式中字母x的取值范围是 　x≥　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵2x﹣1≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（3分）如果一个八边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于　135　度．
【分析】根据n边形的外角和为360°得到正八边形的每个外角的度数360°÷8＝45°，然后利用补角的定义即可得到正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每个外角的度数＝360°÷8＝45°，
∴正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么这个两个相等的实数根为　x1＝x2＝3　．
【分析】根据一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根得到Δ＝36﹣4（m﹣1）＝0，求出m的值即可得到结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数，
∴Δ＝36﹣4（2m﹣1）＝0，
∴m＝5，
∴x2﹣6x+9＝0，
∴x1＝x2＝3，
故答案为x1＝x2＝3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
14．（3分）由5个整数组成的一组数据，中位数为4，将它们从小到大排列，如果排列后这组数据的众数是6，那么这5个整数的和最大是 　21　．
【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案．
【解答】解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是4，这组数据的唯一众数是6，
所以这5个数据分别是x，y，4，6，6，
所以当x＝2，y＝3时这5个整数的和最大，
这5个数的和的最大值是2+3+4+6+6＝21．
故答案为：21．
【点评】本题主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝30°，连结AC，按以下步骤作图：分别以点C，B为圆心，以BC的长为半径作弧，两弧相交于点P，连结BP与CP，则∠ACP的度数为 　15°或135°　．

【分析】根据作图过程可以完成作图；根据作图过程可得△BCP和△BCP′是等边三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，点P或点P′即为所求；

在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，
由作图过程可知：CD＝CP＝DP＝DP′＝CP′，
∴△BCP和△BCP′是等边三角形，
∴∠BCD＝∠BCP′＝60°，
∴∠ACP＝75°﹣60°＝15°，
∴∠ACP′＝60°+75°＝135°，
则∠BPD的度数为15°或135°．
故答案为：15°或135°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 　12　．

【分析】连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOF＝9，可得S△FME＝S△EOF＝3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM，
∴ON•AN＝•OM•FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOF＝9，
∴S△FME＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6，
∴k＝12．

故答案为：12．
【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（本大题共52分）
17．（6分）（1）计算：（3﹣）﹣+|﹣2|；
（2）解方程：x2﹣4x＝2．
【分析】（1）原式利用二次根式性质，乘法法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2﹣2+2﹣
＝0；
（2）配方得：x2﹣4x+4＝6，
变形得：（x﹣2）2＝6，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
18．（6分）如图均是由边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、Q、R均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法．
（1）如图1，以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN，且M、N在格点上；
（2）如图2，画△PQR边RQ上的高线PH，点H是垂足．


【分析】（1）画一个底为3，高为3的平行四边形即可．
（2）根据三角形的高的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，四边形PMQN即为所求；
（2）如图2中，线段PH即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
19．（6分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为多少件？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每件降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，根据该商店每天销售该种商品的利润为1200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可得出每件商品应降价10元．
【解答】解：（1）20+2×3＝26（件）．
答：若降价3元，则平均每天销售数量为26件．
（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵每件盈利不少于25元，即40﹣x≥25，
∴x≤15，
∴x＝10．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若OE＝，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF＝，进而得出EF的长；
（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO＝CO，
∴∠FCO＝∠EAO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝，
∴EF＝2OE＝3；
（2）四边形AECF是菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．（8分）甲乙两人在相同的条件下各射击10次，每次射击的成绩情况如图所示．（方差的计算公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+……+（xn﹣）2]．）

（1）请你填写甲的相关数据：

平均数
众数
方差
甲



（2）如果甲第11次射击的成绩是8环，则甲得分中的三个统计量，即平均数、众数、方差发生哪些变化？
（3）根据甲、乙10次射击的成绩，如果教练选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？如果教练选择乙参加射击比赛，教练的理由又是什么？
【分析】（1）根据平均数、众数和方差的定义解答即可；
（2）根据平均数、众数和方差的定义解答即可；
（3）根据方差的定义解答即可．
【解答】解：（1）甲的10次射击的成绩分别为：9、7、8、9、7、8、8、9、8、7，
故甲的平均数为：（9+7+8+9+7+8+8+9+8+7）＝8（环）；
因为8出现的次数最多，故众数为8环；
甲的方差为：[3×（9﹣8）2+4×（8﹣8）2+3×（7﹣8）2]＝0.6；
（2）如果甲第11次射击的成绩是8环，则甲的平均数不变，依然为8环；众数不变，依然为8环；方差改变，为；
（3）如果教练选择甲参加射击比赛，教练的理由是甲的稳定性比乙高；如果教练选择乙参加射击比赛，教练的理由是乙有多次成绩为10环，而甲没有．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了折线统计图，算术平均数、众数与方差，解答本题的关键是掌握相关统计量的定义．
22．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．

（1）如图1，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．

【分析】（1）①由菱形的性质可得∠BAC＝∠BCA，由平行线的性质可得∠FGA＝∠BCA＝∠FAG，可得结论；
②由等腰三角形的性质可得BG⊥AC，由余角的性质可得∠FBG＝∠FGB，可得BF＝FG；
（2）由菱形的面积公式可求AM的长，由勾股定理可求BM，CM的长，由“ASA”可证△AOF≌△COE，可得AF＝CE＝EM＝1，即可求解．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵四边形EFGH是矩形，
∴FG∥BC，
∴∠FGA＝∠BCA，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AF＝FG；
②如图，连接BG，

∵AB＝BC，点G是AC的中点，
∴BG⊥AC，
∵∠FAG＝∠FGA，
∴∠FBG＝∠FGB，
∴BF＝FG；
（2）解：如图，设AC的中点为O，过点A作AM⊥BC于M，

∵BC＝AB＝10，S菱形ABCD＝60，
∴AM＝6，
∴BM＝＝＝8，
∴CM＝2，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠AFE＝∠FEM＝90°，
又∵AM⊥BC，
∴四边形AMEF是矩形，
∴AF＝ME，AM＝EF＝FG＝6，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵点O是AC中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AF＝CE＝EM＝1，
∴AG＝AF+FG＝7．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（12分）已知点A（3，2）、点B（m，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点C是x轴上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）若m＝1，C（﹣1，0），试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点C在x轴正半轴上，当△ABC为等腰直角三角形时，求出点C的坐标．


【分析】（1）见点A坐标代入解析式可求k的值；
（2）先求出点B坐标，分别求出AB，AC，BC的长，由勾股定理的逆定理可求解；
（3）分三种情况讨论，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质先求出点B坐标，代入解析式可求解．
【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴k＝2×3＝6；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
当m＝1，k＝6时，
∴点B（1，n），反比例函数解析式为y＝，
∴n＝6，
∴点B（1，6），
∵点A（3，2），点B（1，6），点C（﹣1，0），
∴AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝2，
∴AB＝AC，AB2+AC2＝40＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰三角形三角形；
（3）如图，当∠ACB＝90°时，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

∵点A（3，2），
∴OE＝3，AE＝2，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°＝∠AEC＝∠BFC，
∴∠ACE+∠BCF＝90°＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BCF＝∠EAC，
又∵∠AEC＝∠BFC＝90°，AC＝BC，
∴△ACE≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF＝2，BF＝CE，
设CE＝BF＝a，
∴OF＝5+a，
∴点B（5+a，a），
∴（5+a）a＝6，
∴a＝1，a＝﹣6（舍去），
∴EC＝1，
∴OC＝4，
∴点C（4，0）；
如图，当∠CAB＝90°时，过点B作BG⊥x轴于G，过点A作AE⊥BE，交GB的延长线于E，过点C作CD⊥AE，交直线AE于D，

同理可得：点C（，0），
如图，当点∠ABC＝90°时，过点B作BG⊥x轴于G，过点A作AE⊥BG交，GB的延长线于E，

同理可得：点C（﹣2，0），
综上所述：点C坐标为（4，0）或（，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．