【通用版】2023届高考数学一轮复习计数原理与概率统计专练（5）分类加法计数原理与分步乘法计数原理

（5）分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为(   )

A.8 B.9 C.12 D.24

2.从6人中选出4人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为(   )

A.94 B.180 C.240 D.286

3.某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为(   )

A.12 B.24 C.48 D.720

4.旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线数为(   )
A.24 B.18 C.16 D.10

5.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小区域A，B，C，D，E涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有(   )

A.120种 B.260种 C.340种 D.420种

6.已知从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，若要从其中面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则不同的走法最多时应(   )
A.从东面上山 B.从西面上山 C.从南面上山 D.从北面上山

7.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须都使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有(   )
A.6个 B.9个 C.18个 D.36个

8.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全（每组号买一注），需要(   )
A.3360元 B.6720元 C.4320元 D.8640元

9.由中华人民共和国商务部和上海市人民政府主办的第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在中国上海国家会展中心举办，本届进口博览会新设了公共卫生防疫、节能环保、智慧出行和体育用品及赛事等四大专区.将甲、乙、丙、丁等5名志愿者分派到新设的四个专区，要求每个新设的专区至少分到一人，则甲被分派到公共卫生防疫专区的分法种数为(   )
A.24 B.36 C.60 D.72
 

10.某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有(   )

A.12 B.13 C.14 D.15

11.某新闻采访组由5名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长.甲、乙、丙、丁分别来自A，B，C，D四个地区.现在该新闻采访组要到A，B，C，D四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有___________种.

12.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有___________个.（用数字作答）

13.某栏目组在一节目中拿出两个信箱，信箱中放着观众的来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封.现由主持人不放回地抽取来信，若先从两箱中抽取一封确定来信者为幸运之星，再从两箱中各抽取一封确定来信者为幸运观众，则有__________种不同的结果.

14.有A，B，C三个城市，每天上午从A城去B城有5班汽车，2班火车，都能在12:00前到达B城，下午从B城去C城有3班汽车，2班轮船.某人上午从A城出发去B城，要求12:00前到达，下午从B城去C城，则不同的走法有__________种.

15.从甲、乙、丙等10名学生中选派4人参加某项活动，若甲入选则乙一定入选，若甲不入选则丙一定入选，则共有_________种选派方案.

答案以及解析

1.答案：B

解析：设四个班分别是A、B、C、D，对应的数学老师分别是a、b、c、d.

让a老师先选，可从B、C、D班中选一个，有3种选法，

不妨假设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.

由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法.

故选：B.

2.答案：C

解析：第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的4人中选1人参加化学比赛，共有4种选法；

第二步，在剩下的5人中任选3人参加数学、物理、生物比赛，共有种选法.

由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为，

故选：C.

3.答案：C

解析：先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有种不同的排法，再排2本语文书，有种不同的排法，最后排2本英语书，有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，得共有种不同的排法.故选C.

4.答案：D

解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的路线有种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有种.所以小李可选的旅游路线数为.

5.答案：D

解析：分四步：①区域A涂色方案有5种；②区域B涂色方案有4种；③区域C涂色方案有3种；④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E涂色方案有3种，若D与B颜色不同，则区域D，E涂色方案均有2种，所以区域D，E涂色方案共有（种）.故不同的涂色方案有（种）.故选D.

6.答案：D

解析：从东面上山，不同的走法共有（种）；从西面上山，不同的走法共有（种）；从南面上山，不同的走法共有（种）；从北面上山，不同的走法共有（种）.所以应从北面上山.故选D.

7.答案：C

解析：由题意，知1，2，3中必有某一个数字使用2次，第一步，确定谁被使用2次，有3种情况；第二步，把这2个相同的数字放在四位数不相邻的两个数位上，有3种情况；第三步，将余下的2个数字放在四位数余下的两个数位上，有2种情况.故符合题意的四位数有（个）.故选C.

8.答案：D

解析：从01至10中选3个连续的号，有8种选法；从1l至20中选2个连续的号，有9种选法；从21至30中选1个号，有10种选法；从31至36中选1个号，有6种选法.故总的选法有（种），可得需要（元）.故选D.

9.答案：C

解析：若甲被单独分派到公共卫生防疫专区，则有种分法，若甲没有被单独分派到公共卫生防疫专区，则有种分法，根据分类加法计数原理可得，共有种分法.

10.答案：C

解析：由题意知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：

第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：

第一步，从会英语的另外2人中选出1人，有2种选法，将选出的人和甲安排到2个需要会英语的旅游团，有2种安排方法，所以有种安排方法；

第二步，从会日语的另外2人中选出1人安排到需要会日语的旅游团，共2种选法.

故此时共有种安排方法；

第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：

第一步，将会英语的另外2人安排到需要会英语的旅游团，有2种安排方法；

第二步，从会日语的3人（包括甲）中选出1人安排到需要会日语的旅游团，有3种选法.

故此时共有种选法.综上，不同的安排方法种数为.故选：C.

11.答案：44

解析：分两类：

①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有；

②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有.

所以总数.故答案为：44.

12.答案：48

解析：依题意，组成的没有重复数字的四位数的百位上的数字为5，分两步进行分析：①组成的四位数的千位上的数字不能为0，则千位上的数字有4种选法；②在剩下的4个数字中选出2个，分别安排在十位和个位上，不同的安排方法共有（种）.则符合条件的四位数共有（个）.

13.答案：28800

解析：分两类：①当幸运之星在甲箱中抽取时，不同的结果有（种）；②当幸运之星在乙箱中抽取时，不同的结果有（种）.
所以不同的结果共有（种）.

14.答案：35

解析：由题意，知从A城到B城的走法有（种）；从B城到C城的走法有（种）.故不同的走法有（种）.

15.答案：84

解析：当甲入选时，乙一定入选，另外2人可从剩余的8人中选取，共有种方案；当甲不入选时，丙一定入选，另外3人可从剩余的8人中选取，共有种方案.根据分类加法计数原理，得选派方案共有（种）.