新高考数学模拟卷分类汇编（三期)专题15《函数与导数》解答题(2份打包，解析版+原卷版)

这是一份新高考数学模拟卷分类汇编（三期)专题15《函数与导数》解答题(2份打包，解析版+原卷版)，文件包含新高考数学模拟卷分类汇编三期专题15《函数与导数》解答题解析版doc、新高考数学模拟卷分类汇编三期专题15《函数与导数》解答题原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
专题15 函数与导数解答题
1．（2021·山东省实验中学高三月考）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）单增区间是，单减区间是，极小值，无极大值；（2）.
【解析】
（1）的定义域是，，
可得，
x

-2



0


减函数
极小值
增函数
所以的单增区间是，单减区间是
当时，取得极小值，无极大值.
（2）由（1）以及当，，
，， ，
因为方程有两个不同的解，
所以a的取值范围为.
2．（2021·福建莆田二中高三月考）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：




1


+
0
-
0
+

递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，
要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
3．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知函数.
（I）求函数的解析式及定义域；
（II）若恒成立，求实数的最小值.
【答案】（I）定义域为；（II）1.
【解析】
（I）令，
即定义域为
（II）令
令，由二次函数知识，该二次函数开口向上，对称轴，而1离对称轴更远，故最大值在取得，即，，故实数的最小值为1.
4．（2021·山东新泰市第一中学高三月考）2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并日出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形垫依饮艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品.某口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模.已知该厂生产口罩的固定成本为万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当年产量不足万箱时，；当年产量不低于万箱时，，若每万箱口罩售价万元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当年可以全部销售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（万箱）的函数关系式；
（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大.（注：）
【答案】（1）；（2）当年产量为万箱时，该口罩生产厂所获得年利润最大.
【解析】
依题意，当时，，
当时，
所以所求的函数关系式是：；
当时，，即当时，取最大值，最大值为万元，
当时，，
当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得最大值，且(万元)，
而，于是得的最大值是，此时，
所以，当年产量为万箱时，该口罩生产厂所获得年利润最大，年最大利润为万元.
5．（2021·辽宁省盘锦市高级中学高三月考）已知函数.
（1）判断的奇偶性，并用单调性定义证明在上单调递增；
（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意可知的定义域为R，
，则，，
所以=，
所以函数为偶函数；
（2）任取，
则=-=，
因为==，
当，，，
所以在上单调递增.
设，则t≥2，
所以原命题等价于当t≥2时，不等式恒成立，
令=，即，
则或，解得或，
综上可知.
6．（2021·江苏苏州高三月考）已知函数在处的切线与轴垂直.
（1）求的值；
（2）判断在上零点的个数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）有且只有一个零点，理由见解析.
【解析】
（1），所以，所以；
（2）由，可得，
令，所以
①当时，，，所以，所以在上单调递增，又因为，所以在上无零点；
②当时，令，所以，即在上单调递减，又因为，，所以存在，使得，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以在上且只有一个零点；综上所述：在上有且只有一个零点.
7．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求使在区间上恒成立的的所有值.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意得，
①当时，，则在区间上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）时，，
∵在区间上恒成立，
∴，∴.
令，解得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴.
∴，即.
设，则，
令，得，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴，
∴在区间上恒成立，当且仅当时，，
∴满足不等式的的值为．
综上，使在区间上恒成立的的所有值为．
8．（2021·湖南湘潭高三一模）已知为自然对数的底数，函数，（）．
（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）因为的图象与的图象相切，设切点为，
又，所以，解得，．
所以；
（2）因为等价于，令，
当时，在上为增函数，且当时，，所以不满足题意；
当时，对任意的恒成立，
所以，故，此时的最大值为0；
当时，因为，由，得，
又当时，，当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，有最小值，
所以，即，
所以，
令（），则，
所以当时，为增函数，当时，为减函数，
所以，故，所以的最大值为；
综上所述，的最大值为．
9．（2021·湖北省武汉市第一中学高三月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）记，若，是函数的两个极值点，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）的定义域为，，
当时，在区间上单调递增，
当时，令，
，，
，，函数单调递增；
，，函数单调递减；
，，函数单调递增．
综上，当时，在区间上单调递增，
当时，在区间，上单调递增，
在区间上单调递减．
（2），，
方程的两个正根，，
∴，，，
∴

．
10．（2021·河北邢台高三月考）已知函数满足.
（1）试问是否存在，使得函数为奇函数?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（2）若，，，求的取值范围.
【答案】（1）存在，；（2）.
【解析】
（1）由得：，
两个等式联立，消去得：，，
为奇函数，则，解得：，
时，函数为奇函数.
（2）设函数，则.
当或时，；当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
又，所以.
，， ，
对恒成立，
对恒成立.
设函数，令，
则，
当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值，
，的取值范围为.
11．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）已知函数为奇函数.
（1）求实数的值并证明的单调性；
（2）若实数满足不等式，求的取值范围.
【答案】（1），证明见解析；（2）.
【解析】
（1）因为是定义域为R奇函数，
由定义，所以
所以，∴.
所以
证明：任取，
∵.
∵，∴，
∴，即.
∴在定义域上为增函数.
（2）由（1）得是定义域为R奇函数和增函数

所以.
12．（2021·福建三明市二中高三月考）已知函数，，其中.
（1）求的极值；
（2）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
（1）函数的定义域为，.
①当时，函数在上单调递减，从而没有极大值，也没有极小值.
②当时，令得，和的情况如下表所示.





-
0
+

递减
极小值
递增
故的单调递减区间为，单调递增区间为，函数在处取得极小值，没有极大值.
综上：①当时，无极值；②当时，有极小值，无极大值.
（2）的定义域为，且.
①当时，，故函数在上单调递增，
由（1）知，当时，函数在上单调递增，符合题意.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，不符合题意；
③当时，在上单调递减，若存在区间，使得和在区间上有相同的单调性，则，，只须，解得，
因此存在区间，使得和在区间上单调递减.
综上，的取值范围是.
13．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
（1）当时，，所以.
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）.
当时，在时，，
此时，函数的单调增区间是；
当时，若，则；若，则.
此时，函数的单调递减区间是，递增区间是.
综上所述：当时，的单调增区间是；
当时，的单调递减区间是，递增区间是.
14．（2021·江苏扬州中学高三月考）已知函数，其中e是自然对数的底数.
（1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知正数a满足：，试比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
（1）若关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
∵，∴，即在（0，+∞）上恒成立，
设，则在上恒成立.
∵.
当且仅当，即时上式等号成立.∴.
（2）由已知，令，，
由，解得.
当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.
∴在上的最小值为.注意到，
① 时，，即，从而；
② 时，；
③ 时，，即，从而.
综上可知：当时，；当时，；当时，.
15．（2021·江苏南京市中华中学高三月考）设函数f（x）=excosx+ax，（a∈R）.
（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[0，π]上的最小值；
（2）若，f（x）≤1恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）最小值为-eπ；（2）（-¥，-1].
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=excosx，则f′（x）=ex（cosx-sinx），
令f′（x）=0，解得x=，且当x∈[0，]时，f′（x）>0，即函数f（x）在[0，]上单调递增；
当x∈[，π]时，f′（x）g（π），
①若g（π）=a-eπ≥0，解得a∈[eπ，+¥），此时g（x）=f′（x）≥0，
故f（x）在[0，]上单调递增，则f（x）max=f（）=a≤1，与a的范围矛盾，故舍去；
②若g（0）>0，g（）>0，g（π）